“Üçgenin dış açı ölçülerinin toplamı 360°’dir” önerisinin ispatı
1. Teoremin iki paralel doğrunun bir kesenle yaptığı açılar kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız.
Üçgenin dış açılarını ispatlamak için kullanılabilecek bir yöntem, iki paralel doğrunun bir kesenle yaptığı açılar prensibini kullanmaktır. Aşağıda bu yöntemi açıklayacak ve pratikte nasıl uygulandığını göstereceğiz:
Açıklama:
-
Bir üçgendeki dış açı, bir kenarın uzantısıyla komşu olmayan açının ölçüsüdür.
-
Bir üçgenin üç dış açısını göz önünde bulunduralım. Üçgenin iç açılarına \alpha, \beta, \gamma dersek, dış açılar ise bu iç açılarla komşu olan kenarların uzantılarıyla oluşturduğu açılardır: x, y, z.
-
Şimdi, bir üçgenin iç ve dış açılarının toplamı bazı durumlarda paralel doğrunun kesişim açısını anımsatır.
-
Bir paralel çizgi çifti, bu çizgilerden birine dik bir doğru ile kesildiğinde, aynı kural geçerlidir. Kesen doğru ile oluşan iç ve dış açılar birbirinin tümler açısıdır ve toplamları 180° eder. Benzer bir şekilde, üçgenin iç açılarının toplamı da 180°’dir.
Uygulama:
-
Üçgenin bir kenarını uzatalım ve diğer iç açılarla olan kesişimini gözlemleyelim.
-
Üç paralel doğru çizin: A’dan uzayan ve eksen üzerindeki AC doğrusu ile paralel olan bir doğru, B’den geçen ve eksen üzerindeki BC doğrusu ile paralel olan bir doğru ve C’den geçen ve eksen üzerindeki AB doğrusu ile paralel olan bir doğru. Bu doğruların her biri kesişim alanında dış açıları temsil eder.
-
Bu aşamada, birçok paralel kesişim ve dış açının toplamı, iç açıların toplamı gibi görünse de, her bölmenin komşu dış açılarla olan ilişkisi 180° olup gerekirse herhangi bir eksikliğin telafisi yapılabilir.
2. Birinci adımda karar verdiğiniz ispat yöntemine uygun olarak gerekli çizimleri yapınız ve çiziminizle ilgili açıklamaları yazınız.
Çizimle üç paralel doğru ve bunların kesişen doğrusunun açısını gösterin. Daha sonra bu çizime göre üçgen üzerindeki dış açılarla ilişkilendirin:
-
Üçgenin bir kenarı boyunca bir extension yapın ve diğer iki kenarı üzerindeki kesişim açılarını işaretleyin. Her dış açının, diğer iç açılarla yaptığı kesişimlerle olan ilişkisi üzerinde durun.
-
Gerekli notasyonları ekleyin; her iç açı için bir uç açı dan bir extension yapın ve paralel doğrular arasındaki açısal pozisyonu işaretleyin.
-
Diğer taraflardan da benzer şekilde devam edin ve bu durumdaki diğer paralel doğrularla ve kesişen doğrularla ilişkileri çizin.
3. Yaptığınız çizim sonucunda oluşan açılar ile üçgenin dış açıları arasındaki ilişkiyi açıklayınız ve matematiksel olarak ifade ediniz.
İlişki Açıklaması:
Her dış açı kendi iç açısına ek olarak uzatılmış diğer kenarlarla kurduğu açıya piramit üçgeni gibi bakıldığında şematik bir görüntü sunar. Bir dış açının, karşısındaki uzantıdan manual bir kesitle nasıl birleştiğini ve iç açılarla nasıl bir karşıtlık sunduğunu inceleyelim. Bunun ne demek olduğunu gösterelim.
Matematiksel İfade:
-
Her bir dış açı x, y, z, iç açı 180° - \text{{ilgili iç açı}} olarak gösterilir.
-
\angle x + \angle y + \angle z = (180° - (\alpha) + 180° - (\beta) + 180° - (\gamma)) = 540° - 180°
-
Toplam: \angle x + \angle y + \angle z = 360°
4. Üçüncü adımda elde ettiğiniz ilişkileri kullanarak üçgenin dış açıların ölçüleri toplamına ilişkin ulaştığınız sonucu yazınız.
Son Uygulama ve Sonuç:
Elde ettiğimiz ilişkilerle ulaşılmış olan sonuç, üçgenin dış açılarının toplamının 360° olduğudur. Çizim ve analitik ifadeleriyle, üçgen üzerindeki iç ve dış açıların yerleştirilmesiyle aldığımız kararlar, bu teoremin geçerliliğini sağlayarak gerçekçiliğini ortaya koymaktadır. Vurgulanan oluşturucu prosedürlerle birlikte, üçgenin her köşesi etrafındaki paralel çizgilerin ve dış açı uzatmalarının bu sonucu gösterdiğini netleştirmiş oluyoruz.
Dolayısıyla, üçgenin dış açı ölçülerinin toplamı her daim 360° olacaktır.