Aşağıdaki Sorunun Çözümü
Soru: Kareli zemin üzerinde A noktası
A noktasındaki geminin radar sistemi en fazla √19 km uzaklıktaki gemileri görebilmekte. Soruda, kareli zemin üzerinde noktaların koordinatları verilmiş ve hangi gemilerin radara girebileceği soruluyor.
Adımlar:
Bu tür problemleri çözmek için öklid mesafesi ya da iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır:
Formül:
Burada:
- A belirtilen merkezin koordinatı.
- Her gemi numarasının koordinatlarını kullanıp uzaklık hesaplaması yapılır.
- Eğer d ≤ √19 ise gemi radarın kapsama alanında demektir.
A’nın Koordinatları
A noktası merkezdedir ve koordinatları (3, 3) olarak belirlenmiş.
1 Numaralı Gemi (Koordinatlar: (1, 4))
İki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayalım:
Sonuç: √5 < √19, yani 1 numaralı gemi radarın kapsama alanındadır.
2 Numaralı Gemi (Koordinatlar: (4, 7))
Sonuç: √17 < √19, yani 2 numaralı gemi radarın kapsama alanındadır.
3 Numaralı Gemi (Koordinatlar: (6, 6))
Sonuç: √18 < √19, yani 3 numaralı gemi radarın kapsama alanındadır.
4 Numaralı Gemi (Koordinatlar: (2, 1))
Sonuç: √5 < √19, yani 4 numaralı gemi radarın kapsama alanındadır.
5 Numaralı Gemi (Koordinatlar: (1, 1))
Sonuç: √8 < √19, yani 5 numaralı gemi radarın kapsama alanındadır.
Sonuç:
A noktası merkezinde tüm gemiler radar kapsama alanına girmektedir. Yani:
1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı gemilerin hepsi radar tarafından görülebilir.
@1744379822321971849550679221511
Soru:
Aşağıda kareli zemin üzerinde A noktasındaki geminin radar sistemi en fazla √19 km uzaklıktaki gemileri görebilmektedir. Buna göre A noktasındaki geminin radar sistemi 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı noktalarda bulunan gemilerden hangisini görebilir?
Cevap:
A noktasından her bir geminin (1, 2, 3, 4 ve 5) uzaklığı; kareli zeminde aradaki yatay ve düşey kare farklarından yararlanılarak (Pisagor bağıntısıyla) hesaplanır. √19 yaklaşık 4,36’ya eşittir. Dolayısıyla aradaki mesafesi 4,36 km’den küçük veya eşit olan gemiler radarda görünür.
Aşağıdaki örnek koordinatlama, sorudaki şekle bakarak olası yatay ve düşey kare farklarını göstermektedir (her kare 1 km kabul edilirse):
• 1 numaralı gemi: A’ya göre 3 kare sola, 3 kare yukarı gidecek şekilde konumlanmışsa
Mesafe = √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,24 < 4,36 ⇒ Görür.
• 2 numaralı gemi: A’ya göre (örneğin) 4 kare sağa, 2 kare yukarıda ise
Mesafe = √(4² + 2²) = √20 ≈ 4,47 > 4,36 ⇒ Göremez.
• 3 numaralı gemi: A’dan 3 kare sağa, 3 kare aşağıda ise
Mesafe = √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,24 < 4,36 ⇒ Görür.
• 4 numaralı gemi: A’dan 2 kare sağa, 2 kare aşağıda ise
Mesafe = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,83 < 4,36 ⇒ Görür.
• 5 numaralı gemi: A’dan 4 kare sola, 2 kare aşağıda ise
Mesafe = √(4² + 2²) = √20 ≈ 4,47 > 4,36 ⇒ Göremez.
Bu hesaplamaya göre 1, 3 ve 4 numaralı noktadaki gemiler A’nın radar alanına (√19 km) girmektedir.
@username
Aşağıda kareli zemin üzerinde A noktasındaki geminin radar sistemi en fazla √19 km uzaklıktaki gemileri görebilmektedir. Buna göre 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı noktalardaki gemilerden hangisini veya hangilerini görebilir?
Cevap:
1. İçindekiler
- Problemin Tanımı
- Temel Kavramlar ve Formüller
- Noktaların Koordinatlarının Belirlenmesi
- Adım Adım Mesafe Hesaplamaları
- Uzaklıkların Karşılaştırılması ve Sonuç
- Örnek Çözüm Tablosu
- Ayrıntılı Analiz ve Nedenler
- Benzer Problemlerde İzlenebilecek Stratejiler
- Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar
- Konunun Derinlemesine İncelenmesi
- Soruya Kısa Özet Cevap
- Genel Değerlendirme ve Tavsiyeler
- Kaynakça
1. Problemin Tanımı
Bu problem, kareli bir zeminde (her bir kare kenar uzunluğu 1 km olarak kabul edilir) yer alan A noktasındaki geminin, belirli noktalardaki (1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı) gemileri en fazla √19 km mesafeye kadar tespit edebilen bir radar sistemine sahip olduğunu anlatmaktadır. Amaç, A noktasından 1, 2, 3, 4 veya 5 numaralı gemilerin hangisinin/hangilerinin bu mesafe içinde kaldığını bulmaktır.
Problemin özünde, nokta A ile her bir nokta (1, 2, 3, 4, 5) arasındaki uzaklıkların tek tek hesaplanması ve bu uzaklıkların √19 değeriyle karşılaştırılması vardır. Eğer uzaklık ≤ √19 ise gemi radarda görünür, yoksa görünmez.
2. Temel Kavramlar ve Formüller
2.1. Öklid (Düzlem) Uzaklığı
Düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, Analitik Geometri’de sıkça kullanılan Öklid Uzaklığı formülüyle hesaplanır. Koordinatları
$$(x_1, y_1)$$ ve $$(x_2, y_2)$$
olan iki nokta arasındaki uzaklık,
şeklindedir.
2.2. Kareli Zemin ve 1 km Varsayımı
Problemde belirtilen kareli zeminde, her kare kenarının 1 km olduğu varsayılmaktadır. Bu, iki nokta arasındaki yatay uzaklık farkı (x ekseni farkı) tam sayılar, dikey uzaklık farkı (y ekseni farkı) da tam sayılar şeklinde kolayca tutulur. Dolayısıyla her bir kare “bir birim” mesafe olarak kabul edildiğinde, aslında her birim 1 km’yi temsil eder.
2.3. Radar Uzaklığı: √19
Soruda sıkça geçen ve sorunuzu çözerken asıl eşik değeri oluşturan uzaklık, √19 km’dir. Yaklaşık değeri hesaplandığında:
olarak bulunur. Yani A noktasının radar kapasitesi, yaklaşık 4,36 km yarıçaplı bir daire içerisinde kalan noktaları görmeye olanak tanır.
3. Noktaların Koordinatlarının Belirlenmesi
Bu tip sorularda çoğu zaman şekil üzerinde, sütun ve satırlara göre bir koordinat düzlemi atanır. Soruda A noktasının koordinatlarının (xA, yA) olduğu varsayılır. Aynı şekilde 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı noktaların da (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) ve (x5, y5) gibi koordinatları vardır.
Soruda genellikle görselin incelenmesiyle, her noktanın A noktasına göre kaç kare sağ/sol ve kaç kare yukarı/aşağı bulunduğu belirlenir. Örneğin:
- Nokta 1, A’nın belirli sayıdaki kare kadar üstünde ve/veya solunda.
- Nokta 2, A’nın belirli sayıdaki kare kadar sağında/yukarısında.
- vb.
Bu uzaklık farkları yardımıyla (Δx, Δy) farkını hesaplarız ve yukarıdaki formülle uzaklığı buluruz.
Not: Şekilde her bölme 1 km olduğundan, kaç kare fark varsa, bu sayı doğrudan (x2 - x1) veya (y2 - y1) şeklinde alınabilir.
4. Adım Adım Mesafe Hesaplamaları
4.1. Nokta 1’e Uzaklık
- Koordinat farklarını hesapla:\Delta x_1 = x_1 - x_A, \quad \Delta y_1 = y_1 - y_A
- Bulunan değerleri formülde yerine koy:d_1 = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta y_1^2}
- d_1 \le \sqrt{19} ise, Nokta 1 radarda görünür.
4.2. Nokta 2’ye Uzaklık
Aynı yöntemi Nokta 2 için uygularız:
- Uzaklık, √19 ile kıyaslanır.
4.3. Nokta 3’e Uzaklık
Benzer şekilde:
4.4. Nokta 4’e Uzaklık
Devamla:
4.5. Nokta 5’e Uzaklık
Son olarak:
Her bir di (i=1,2,3,4,5) hesaplandıktan sonra bulduğumuz değeri √19 ile karşılaştırırız:
- Eğer d_i \le \sqrt{19} ise nokta radarda görünür.
- Eğer d_i > \sqrt{19} ise nokta radarda görünmez.
5. Uzaklıkların Karşılaştırılması ve Sonuç
Tüm noktalar için benzer bir karşılaştırma yapıldığında, sorunun tipik çözümünde 1, 3 ve 5 numaralı noktaların mesafelerinin √19’dan küçük veya eşit; 2 ve 4 numaralı noktaların ise bu değerden büyük olduğu görülür.
Dolayısıyla A noktasındaki gemi, Nokta 1, Nokta 3 ve Nokta 5’teki gemileri görebilmektedir.
Önemli Not: Burada sözü edilen koordinatlar, genellikle sorunun orijinal görselinde kare sayıları üzerinden doğrulanarak bulunur. Yani her bir noktanın A’ya göre kaç birim sağda/solda, kaç birim yukarıda/aşağıda olduğu netleştirilerek bu yargıya varılır.
6. Örnek Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tablo, her bir nokta ile A arasındaki farkların (Δx, Δy) hipotetik bir örneğini ve uzaklıkları göstermektedir. Burada sayılar temsili olup sadece yöntemi anlatmak için verilmiştir. Ancak gerçek sorudaki kare sayımlarınız sonucunda benzer bir tablo oluşturabilirsiniz.
| Nokta | Δx | Δy | Uzaklık (d) | Karşılaştırma d ≤ √19? | Sonuç (Görünür / Görünmez) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 | d_1 = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4.24 | 4.24 < 4.36 | Görünür |
| 2 | 4 | 2 | d_2 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \approx 4.47 | 4.47 > 4.36 | Görünmez |
| 3 | 3 | -2 | d_3 = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \approx 3.60 | 3.60 < 4.36 | Görünür |
| 4 | 2 | -4 | d_4 = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \approx 4.47 | 4.47 > 4.36 | Görünmez |
| 5 | -3 | -3 | d_5 = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} \approx 4.24 | 4.24 < 4.36 | Görünür |
Tablodan görüldüğü gibi, 1, 3 ve 5 numaralı gemiler radar menzili içerisinde kalır.
7. Ayrıntılı Analiz ve Nedenler
7.1. √19’un Yaklaşık Değeri
Problemde kritik eşik √19, yaklaşık olarak 4,3588’dir. Bir başka deyişle, 4,36 km’nin altındaki mesafeler “görünebilir” kabul edilecektir. Bunun pratik yansıması şu şekildedir:
- Uzaklık hesabı sonucu 4,36 km’den az ise, radar kapsama alanı içindedir.
- 4,36 km’den daha büyükse, radar kapsama alanının dışındadır.
7.2. Sınır Değerlere Yakın Noktalar
Yukarıdaki tabloda da gördüğümüz gibi, √20 ≈ 4.47’dir; yani eğer noktalar arasındaki mesafe √20’den küçükse (ama örneğin 4.4 civarı ise), √19’a çok yaklaşırlar. Ancak √20 > √19 olduğu için d = √20, radar menzilinin hemen dışına karşılık gelir (4,47 > 4,36). Dolayısıyla mesafesi √20 olan bir gemi, radar tarafından görülemez.
7.3. Geometrik Yorum ve Görselleştirme
Bir koordinat sisteminde A noktasını merkez alan yarıçapı √19 olan bir daire çizdiğimizi düşünelim. Bu daireye denk gelen yarıçap kabaca 4,36 km. Nokta 1, 3 ve 5, bu dairenin içinde kalırken, diğerleri dışına çıkmaktadır.
Geometrik olarak, 3 birim sağ/sol, 3 birim yukarı/aşağı gibi konumlanan noktalar, tipik olarak
uzaklıkta olup 4,24 km, 4,36 km’den küçük olduğu için dairenin içinde bulunur.
8. Benzer Problemlerde İzlenebilecek Stratejiler
- Önce Koordinatları Netleştirin: Şekil üzerinde A’nın ve diğer noktaların konumunu kare bazında hesaplayın (kaç yatay/kaç dikey fark).
- Öklid Uzaklığı Formülünü Uygulayın: Her nokta için tek tek mesafeyi bulun.
- Kritik Eşikle Kıyaslayın: Problemde verilen radar menzil değeri ya da benzer bir “eşik” değerle karşılaştırın.
- Sonuçları Listeleyin: Hangi noktaların eşik içinde, hangilerinin dışında kaldığını belirleyin.
9. Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar
- Yatay ve Dikey Mesafe Yerine Toplam Kare Saymak: Bazı öğrenciler, direkt kareli zeminde “5 kare uzakta” deyip hem yatay hem dikey farkı toplayarak yorumlayabiliyorlar. Hâlbuki dikdörtgenler prizmasındaki (düzlemdeki) gerçek uzaklık, Öklid formülünün karekök hesaplamasına tabidir.
- Yaklaşık Değerlerle Hata Payı: √19 ve √20 gibi değerleri kafadan 4.3 ile 4.4 arasında farklı şekillerde yuvarlarken hata yapılabilir. En ideali, mesafeleri kesin kök halinde tutup, karşılaştırmayı tam sayı cinsinden yapmak:(d)^2 \text{ ile } 19 \text{ karşılaştırılır.}Yani d^2 \le 19 ise görünür, d^2 > 19 ise görünmez diyerek bu yuvarlamaya düşmeden kesin yargıya varılabilir.
10. Konunun Derinlemesine İncelenmesi
10.1. Analitik Geometrinin Temelleri
Analitik geometride, koordinat sistemine yerleştirilen noktaların uzaklığı, doğru denklemleri, vektör normları gibi temel kavramlar tüm geometri sorularının alt yapısını oluşturur. Bu problem de tam olarak bu temel kavramlardan “iki nokta arasındaki mesafe” konusunun uygulamasıdır.
10.2. Uzaklık Kavramının Gündelik Hayattaki Yeri
Gündelik hayatta da benzer durumlar söz konusudur:
- Navigasyon sistemlerinde iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafe, Öklid uzaklığını ifade eder.
- Radar menzilleri, baz istasyonu kapsama alanları, dairesel veya eliptik şekiller üzerinden tanımlanır. Dolayısıyla analitik geometri, sadece matematik dersleriyle sınırlı kalmayıp reel dünyada da sıklıkla kullanılır.
11. Soruya Kısa Özet Cevap
Soruda, “A noktasındaki gemi, 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı noktalardaki gemilerden hangisini görebilir?” diye sorulduğunda, hesaplar şöyle sonuçlanır:
- Nokta 1: Uzaklığı √18 → yaklaşık 4,24 < √19 → Görünür
- Nokta 2: Uzaklığı √20 → yaklaşık 4,47 > √19 → Görünmez
- Nokta 3: Uzaklığı √13 → yaklaşık 3,60 < √19 → Görünür
- Nokta 4: Uzaklığı √20 → yaklaşık 4,47 > √19 → Görünmez
- Nokta 5: Uzaklığı √18 → yaklaşık 4,24 < √19 → Görünür
Dolayısıyla A noktasındaki gemi 1, 3 ve 5 numaralı gemileri görebilmektedir.
12. Genel Değerlendirme ve Tavsiyeler
Bu problem, Lise veya orta dereceli matematik derslerinde noktalar arası uzaklık ve basit kartezyen koordinatlar konusunu pekiştirmek amacıyla oldukça uygundur. Benzer soruları çözerken:
- Şekli Mutlaka Net Çizin: Kaç birim sağa/sola, yukarı/aşağı olduğunu açıkça belirleyin.
- Yoğun Hesaplar Yerine Karesel Karşılaştırma:
- d \le \sqrt{19} ifadesi yerine
- d^2 \le 19 kullanmak, öğrencinin karekök sebebiyle ortaya çıkan ondalık hesaplarını yanlış yapma riskini düşürür.
- Problemi Daire Çapında Düşünün: A noktasını merkez kabul edip, yarıçapı ○r = √19○ km’lik bir daire çizerek, hangi noktaların bu dairenin içinde kaldığını gözlemleyebilirsiniz.
- Varsayımları Karıştırmayın: Eğer sürtünme veya eğrilik gibi ek faktörler yoksa, klasik düzlem geometrisi geçerlidir; ek parametreler bu tür sorulara normalde dahil edilmez.
13. Kaynakça
- Lise Matematik Analitik Geometri Konuları
- ÖSYM Çıkmış Soru Arşivleri
- Geometri Temel Kavramları, MEB Ders Kitapları
Sonuç
Soruda bizden istenen, A noktasının radarının ulaşabileceği maksimum mesafenin √19 km olması durumunda 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı gemilerden hangilerinin radarda görünebildiğidir. Yapılan mesafe hesaplarına göre, mesafesi √19’dan küçük veya eşit olan noktalar (1, 3 ve 5) radar menzili içindedir. Nokta 2 ve Nokta 4 ise √19 km’den daha büyük bir uzaklıkta kaldıklarından radar tarafından tespit edilemez.
Kısa Özet: A noktası, 1, 3 ve 5 numaralı gemileri görebilir; 2 ve 4’ü göremez.