Merhaba! Görselde paylaşılan sayfa üzerinde belirttiğiniz problemlerin çözümünü birlikte ele alalım.
Problem 1: Dolu şişedeki suyun tamamı ile 12 adet A ve 4 adet B bardağı tamamen dolmaktadır. Şişenin yarısı ile A bardağından 10 tanesi tamamen doldurulabilmektedir.
Buna göre, şişenin tamamı dolu iken kaç tane B bardağı tamamen doldurulabilir?
Çözüm:
-
Şişenin Tamamı:
- Şişenin tamamı 12 adet A bardağı ve 4 adet B bardağı dolduruyor.
-
Şişenin Yarısı:
- Şişenin yarısı, 10 adet A bardağı dolduruyor.
Bu bilgiye göre, A bardaklarının çıkardığı miktarı bulalım. Çünkü 1 A bardağının hacmi gerekiyor:
$$ 1 \text{ Şişe} = 2 \times \text{(Yarım Şişe)} $$Yarısı 10 A doluyorsa tam şişe için:
$$ \text{Tam Şişe} = 20 \text{ A}$$ Y bost Kere
@dad
Soru 1: (Şişe – A ve B bardakları)
Dolu bir şişede toplam su miktarı S olsun.
• Tam dolu hâlde bu şişe ile 12 adet A ve 8 adet B bardağı doluyormuş. Yani:
S = 12a + 8b …(1)
• Şişenin yarısı (S/2) ile ise 10 adet A bardağı tam doluyormuş:
S/2 = 10a ⇒ S = 20a …(2)
Bu iki bilgiyi birleştirelim: (1) den ve (2) den
12a + 8b = 20a
8b = 8a ⇒ b = a
Yani A ve B bardaklarının kapasiteleri eşit çıkıyor (b = a). O hâlde (2) eşitliğine göre S = 20a, demek ki bir B bardağı da “a” olduğuna göre, tam dolu şişe yalnızca B bardaklarına boşaltılırsa:
Şişenin tamamı ÷ bir B bardağının hacmi
= S ÷ b
= 20a ÷ a
= 20
Dolayısıyla teorik olarak 20 tane B bardağı doldurulabilir. Ancak sorunun basılı seçeneklerinde (10, 12, 15, 16, 18) gibi bir liste görülüyorsa ve “20” seçeneği yoksa muhtemelen soruda (ya da metinde) eksik/yanlış bir ifade bulunuyor. Doğru okunmuş bir klasik metne göre bu problemde sonuç 20 çıkmaktadır.
––––––––––––––––––––––––––––––––
Soru 3: (Terazi – A ve B nesneleri)
Bir tartıda:
• 25 tane A nesnesi + 5 tane B nesnesi birlikte tartılıyor,
• 20 tane B nesnesi + 20 tane A nesnesi birlikte tartılıyor.
Her iki tartımda sonuç eşit çıkıyor. Denklemini kuralım:
25A + 5B = 20A + 20B
(25A – 20A) = (20B – 5B)
5A = 15B ⇒ A = 3B
Bir A nesnesi 12 kg olarak verildiğine göre:
12 = 3B ⇒ B = 4
Yani bir tane B nesnesi 4 kg’dır.
––––––––––––––––––––––––––––––––
1. Soru: Dolu bir şişedeki suyun tamamı ile 12 adet A ve 4 adet B bardağı tamamen dolmaktadır. Şişenin yarısı ile A bardağından 10 tanesi tamamen doldurulabilmektedir. Buna göre, şişenin tamamı dolu iken kaç tane B bardağı tamamen doldurulabilir?
Cevap: Bu problemde toplam şişe hacmi ve bardakların hacimleri arasında bir ilişki vardır. Şişenin tamamının ne kadar su aldığını ve her bir bardağın kapasitelerini bulduğumuzda, kaç adet B bardağının dolacağını rahatlıkla hesaplayabiliriz. Bu tür sayı problemlerinde genellikle değişken tanımlaması ve denklemler aracılığıyla çözüme ulaşmak esastır.
Bu soruyu aşamalı olarak çözelim:
A) Problemin Adım Adım Analizi
Adım 1: Değişken Tanımlama
- V: Şişenin tamamının hacmi (yani tam dolu şişenin hacmi).
- V(A): Bir adet A bardağının hacmi.
- V(B): Bir adet B bardağının hacmi.
Adım 2: Verilen Bilgilerin Denkleme Dönüştürülmesi
-
Dolu şişe ile 12 A bardağı + 4 B bardağı dolmaktadır
Bu bilgi,12 \times V(A) + 4 \times V(B) = Vşeklinde bir denklem verir.
-
Şişenin yarısı ile 10 adet A bardağı dolmaktadır
Şişenin yarısı $V/2$’ye eşittir. 10 adet A bardağının toplam hacmini de 10 \times V(A) şeklinde ifade ederiz. Dolayısıyla:10 \times V(A) = \frac{V}{2}Buradan,
V(A) = \frac{V}{20}elde ederiz.
Adım 3: V(A) Değerini Birinci Denklemde Kullanma
Elimizdeki birinci denklem şuydu:
Ancak artık V(A) yerine \frac{V}{20} yazabiliriz:
Bu ifade sadeleştirildiğinde:
Dolayısıyla denklem,
Buradan 4 adet B bardağı hacminin (toplam),
Buna göre,
Yani bir adet B bardağının hacmi $V/10$’dur.
Adım 4: Kaç Tane B Bardağı Doldurulur?
Şişe tam dolu iken hacim V kadardır. Bir B bardağı V/10 hacme eşit ise;
Dolayısıyla cevap 10’dur.
B) Benzer Sorularda İzlenecek Yöntemler
- Problemi adım adım bölmek.
- Değişken tanımlama: Şişenin hacmini bir değişken (V), bardak hacimlerini başka değişkenler (V(A) ve V(B)) olarak ele almak.
- Denklem kurma: Verilen her sözel bilgiyi matematiksel bir denklem biçiminde ifade etmek.
- Çözüm: Bir denklemden elde edilen veriyi diğerinde kullanarak tüm değişkenleri bulmak ve istenilen değeri hesaplamak.
C) Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, yukarıdaki adımların ve denklem kurulumunun kısa bir özeti yer almaktadır:
| Adım | İşlem | Elde Edilen Denklem/Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Değişken Tanımlama | Şişede: V, A bardağı: V(A), B bardağı: V(B) | - |
| 2. Tam Şişe & Bardaklar | 12 A + 4 B = V | $$12,V(A) + 4,V(B) = V$$ |
| 3. Yarım Şişe & 10 A Bardağı | 10 A = V/2 | $$10,V(A) = \frac{V}{2} \implies V(A) = \frac{V}{20}$$ |
| 4. A’nın Hacmini Yerleştirme | $$12 \times \frac{V}{20} + 4,V(B) = V \implies \frac{3V}{5} + 4V(B) = V$$ | $$4V(B) = \frac{2V}{5} \implies V(B) = \frac{V}{10}$$ |
| 5. İstenen Hesaplama (B sayısı) | Şişedeki toplam hacim bölü B bardağı hacmi | $$\frac{V}{V/10} = 10$$ |
Sonuç: 10 adet B bardağı.
2. Soru (Görsel 3. Soru Metni):
“Bir tartıya özdeş A nesnelerinden 25 tane, özdeş B nesnelerinden 5 tane konulup ağırlık ölçülüyor. Eğer tartıya özdeş B nesnelerinden 20 tane, özdeş A nesnelerinden 20 tane konulup ölçülürse her iki durumda da sonuç aynı oluyor. Bir tane A nesnesi 12 kg olduğuna göre, bir tane B nesnesi kaç kg’dır?”
Cevap: Burada bize verilmiş olan, iki farklı kombinasyonla tartının okuduğu değerin aynı olmasıdır. Yani:
- Durum 1: 25 tane A nesnesi + 5 tane B nesnesi
- Durum 2: 20 tane B nesnesi + 20 tane A nesnesi
Her iki durumda ölçüm aynıdır. Buna göre:
Adım 1: Denklemi Kurma
A nesnelerinin ağırlığına A kg, B nesnelerinin ağırlığına B kg diyelim. Soruda “Bir tane A = 12 kg” verilmiştir. O hâlde A = 12 yazabiliriz.
Aşağıdaki denklem, iki ayrı ölçümün eşit olduğunu söyler:
Adım 2: Bilinen Değeri Yerleştirme ve Sadeleştirme
A = 12 olduğuna göre, denklemi önce A ve B cinsinden sadeleştirelim:
A’ları bir tarafa, B’leri diğer tarafa toplayalım:
Her iki tarafı 5’e bölelim:
Ama biz biliyoruz ki A = 12 kg. Dolayısıyla:
Adım 3: Sonuç
Bir tane B nesnesi 4 kg’dır. Soru genellikle şu biçimde çoktan seçmeli verilmiştir: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 şeklinde. Doğru yanıt 4 kg’dır.
3. (Görseldeki 4. Soru ve Benzeri) Sinema Bilet Problemi
Görselde yer alan 4. soruda da benzer “sayı problemleri” mantığı kullanılır. Orada A ve B salonundaki bilet fiyatları verilmekte, farklı kişilerin sattığı bilet sayıları tablolarla ifade edilmekte ve eşit ödemelere dair bir koşul bulunmaktadır. Bu tipte sorularda da izlenecek yöntem yine değişken tanımlama ve kesişen denklemleri çözmektir.
Bu soruda (görsel kısmen kapalı olduğundan) genel yaklaşımlar aşağıdaki gibidir:
-
Salon Bilet Fiyatları:
- A salonu bilet fiyatı: 12 TL
- B salonu bilet fiyatı: 20 TL
-
Kişilerin Sattığı Biletler:
- Era ve Kerem isimli iki kişi, her iki salona bilet satıyor.
- Tablodaki değerler (x, x+7 vb.) genelde her kişinin satmış olduğu bilet sayısını ifade eder.
- Toplam bilet sayısı 15 veya benzeri bir ifade verilir.
-
Eşit Tutar Koşulu:
- Era’nın sattığı biletlerden gelen toplam hasılat = Kerem’in sattığı biletlerden gelen toplam hasılat.
-
Denklem Kurulumu:
- “Era’nın A salonundan sattığı bilet sayısı \times 12 + B salonundan sattığı bilet sayısı \times 20 = Toplam ödemesi”
- Aynı şekilde “Kerem’in A salonundan sattığı bilet sayısı \times 12 + B salonundan sattığı bilet sayısı \times 20 = Toplam ödemesi”
- Bu iki tutarın eşit olduğu bilgisi kullanılarak x, y vb. değişkenler çözülür.
Tablonun net değerleri görülmediğinden spesifik sayısal sonuca tam erişemiyor olsak da, temel mantık bu şekildedir.
Benzer Soruların Çözümünde Faydalı İpuçları
- 1) Soruyu Parçala: Sözel problemleri kısa cümlelere ayırarak her bir cümlenin hangi matematiksel bilgiyi verdiğini tespit edin.
- 2) Değişkenler Belirle: Çözmek istediğiniz büyüklükleri (şişe hacmi, bardak hacmi, bilet sayısı, nesne ağırlığı vb.) net şekilde sembolleştirin.
- 3) Denklemleri Kur: Her bir cümlede belirtilen eşitlik veya oranı matematiksel forma dönüştürün.
- 4) Hesaplama ve Sadeleştirme: Bir denklemde bulduğunuz bilgiyi diğerine yerleştirerek adım adım sadeleştirin.
- 5) Mantık Kontrolü: Bulduğunuz sonuçlar probleme mantıklı ölçüde uyuyor mu? Örneğin pozitif değerler, tam sayılar vb.
Daha Derinlemesine Bir Bakış (2000+ Kelimelik Açıklama)
Aşağıdaki kapsamlı açıklamada, özellikle sayısal mantık problemlerinin çözümü ve bu sorularda öne çıkan stratejileri ele alacağız. Hedef, öğrencilerin problem çözme becerilerini sistematik bir yaklaşımla geliştirmektir.
1. Sayısal Mantık Problemlerinin Tanımı ve Önemi
Sayısal mantık problemleri, günlük hayatta karşımıza çıkan hikâye biçiminde yazılmış, niceliksel ilişkileri anlamamızı ve denklemlerle ifade etmemizi gerektiren sorulardır. Bu tip problemlerde:
- Belli bir toplam hacmi, kütleyi ya da fiyat tutarını farklı şekillerde paylaştırma durumu olabilir.
- Değişkenler sıklıkla bardak hacmi, şişe kapasitesi, bilet fiyatı, nesnelerin adet ve kütle ilişkileri gibi konuları içerir.
- Öğrenciler, soyut düzeyde bir matematiksel model (örn. x, y değişkenleri) kurarak bu hikâyeyi çevirir ve ardından model üzerinde cebirsel işlemler yapar.
Bu sorular okul müfredatında “Problem Çözme” başlığı altında önemli bir yer tutar. ÖSYM tarafından yapılan sınavlarda da (TYT, AYT vb.) sıkça yer alan bu problemler, pratik zekânın yanı sıra temel cebirsel becerilerimizi de ölçer. Ayrıca iş dünyasında ve gündelik hayatta planlama, maliyet hesaplama ve kaynak yönetimi gibi konularda sayısal mantık son derece yararlıdır.
2. Değişken Tanımlama Stratejileri
Bir problemi okuduktan sonra, en temel adım değişken tanımlamaktır. Örneğin:
- “Şişenin kapasitesi” gibi tek bir boyut var ise V gibi bir değişken,
- “A bardağı” ve “B bardağı” gibi iki farklı kapasite var ise bunlara V(A), V(B) adlarını vererek problemi daha anlaşılır kılmak mümkündür.
Aynı yaklaşım kütle, fiyat, adet gibi tüm büyüklükler için de geçerlidir.
3. Matematiksel Modelleme: Denklemler ve Oranlar
Okuduğumuz her cümle, genellikle bir denklem ya da oran ilişkisi verir. Örneğin:
- “Bir şişenin yarısı ile 10 tane A bardağı doluyor” → 10 \times V(A) = V/2.
- “25 A + 5 B = 20 A + 20 B” → Hem A’nın hem B’nin ağırlığı bilinmiyorsa, A ve B değişkenleriyle bir denklem kurarız.
4. Cebirsel Çözüm ve Değerleri Yerleştirme
Matematiksel olarak kurduğumuz denklemlerin sayısı, tipik olarak bilinmeyenlerin sayısı kadardır. Eğer soruda ekstra bir bilgi “Bir tane A: 12 kg” gibi verilmişse, bu sabit değeri sistemimizdeki bir değişkenle eşleştirip çözüme ulaşırız.
5. Kontrol Aşaması ve Mantıklı Sonuç
Sonucu bulduktan sonra sorunun mantığına bakmak gerekir. Örneğin, bardak sayısı negatif, çok büyük ya da mantıksız bir sayı çıkmamalıdır. Yukarıdaki örnek #1’de yaptığımız gibi, bir B bardağı şişenin 1/10’u kadar ise, tam şişe 10 B bardağı dolduruyor olması gayet tutarlı bir sonuçtur.
6. Soru #1’e Geniş Perspektiften Tekrar Bakış
6.1. Neden Denklemler?
Sayı problemlerinde hikâyelerdeki her cümle, su kaplarına veya nesnelere dair bir toplam ya da paylaştırma bilgisi verir. Bardak doldurma problemi de bunun tipik bir örneğidir. Bir şişeye ait toplam hacim (V) farklı boyutlardaki bardaklara bölünerek doldurulur. Dolayısıyla:
- Toplam hacim = Bardakların hacimlerinin toplamı
- Yarısı, üçte biri vb. durumlarda yine aynı mantık geçerlidir.
6.2. Birlikte Kullanılan İki Bilgi
İlk bilgi:
“Tam şişe 12 A ve 4 B’yi dolduruyor.”
Yani: 12 \cdot V(A) + 4 \cdot V(B) = V.
İkinci bilgi:
“Şişenin yarısı, 10 A’yı dolduruyor.”
Yani: 10 \cdot V(A) = \frac{V}{2}.
Bu ikili, aynı problemdeki iki temel veriye dönüşür. Tek bir denklemle çözülemez; iki denklem birlikte çözülür. Hangi bilinmeyenleri bulduğumuzu netleştiririz.
6.3. Elde Edilen Değerler
Görüldüğü üzere, V(A) = \frac{V}{20} yani A bardağının hacmi şişenin 20’de biri. Sonrasında B bardağının hacmi de \frac{V}{10} olarak geliyor. Bu, B bardağının A bardağından iki kat daha büyük olduğunu da ima etmektedir. Çünkü \frac{V}{10}, $\frac{V}{20}$’nin iki katıdır. Zaten 4 B bardağının hacmi, 8 A bardağının hacmine eşdeğer çıkar.
6.4. Sonuç Olarak 10 Bardağı Doldurur
Son olarak tüm şişe hacmini (V) bir B bardağı hacmine (\tfrac{V}{10}) böldüğümüzde 10 sayısına ulaşırız. Dolayısıyla tam dolu şişenin kaç B bardağı dolduracağı direkt 10 olur.
7. Soru #3’e Derin Bakış
7.1. A ve B Nesneleri
Bu tip ağırlık veya kütle problemlerinde “Her bir nesne A kg, diğeri B kg” diyeceğinize “Bir A nesnesi A kg, bir B nesnesi B kg” şeklinde isimlendirmek bazen kafa karıştırabilir. En güzeli net bir harf seçimi yapmak veya cümle içinde “A nesnesi = m_A kg, B nesnesi = m_B kg” gibi not almak.
7.2. Eşit Tartı Durumu
“25 A + 5 B = 20 A + 20 B” ifadesi, aynı tartı sonucunun çıktığını gösterir. Bunu cebirsel olarak sadeleştirirsek:
- Sol taraf: 25A + 5B
- Sağ taraf: 20A + 20B
Burada A = 12 kg verilmiştir. Denklemi sadeleştirdiğimizde (her iki tarafa A ve B’yi gruplandırarak) $5A = 15B$’ye ininir. Yani A = 3B. Bir tane A nesnesi 12 kg ise, B = 4 kg sonucu kolayca bulunur.
7.3. Benzer Ağırlık Paylaşımı Soruları
Bu tür sorularda şu tarz varyasyonlarla da karşılaşılabilir:
- “Farklı kombinasyonlarda aynı toplam kütleye ulaşılıyor.”
- “Bir nesnenin ağırlığı diğerinin iki katı.”
- “Toplam ağırlık 100 kg, A nesneleri 2 kg, B nesneleri 3 kg ise kaç tane A ve B vardır?” gibi.
Hepsinde yol haritası aynı olup, problemdeki sözel veriler cebirsel eşitliklerle ifade edilir.
8. Daha Geniş Bağlam: Oransal Düşünme ve Tablo Hazırlamanın Faydası
Özellikle “Bardak doldurma” veya “Çeşitli nesnelerin tartılması” gibi problemler, orantı kavramı ile yakından ilgilidir. Bazı sorularda tek bir denklem yerine “A bardağı, B bardağı” gibi orantısal ilişkiler de oluşturulabilir.
Bir tablo hazırlamak (aşağıdaki gibi) hem soruda geçen “miktar” ve “hacim” verilerini düzenli tutmamıza hem de sınav esnasında hata yapma ihtimalini azaltmamıza yardımcı olur.
Örneğin, “Bardak Tipi – Adet – Toplam Hacim” şeklinde bir tablo:
| Bardak Tipi | Adet | Tek Bardak Hacmi | Toplam Hacim |
|---|---|---|---|
| A Bardağı | 12 | V(A) | 12 \times V(A) |
| B Bardağı | 4 | V(B) | 4 \times V(B) |
| Toplam | - | - | V (şişenin toplam hacmi) |
Sonra soruda “Şişenin yarısı” demek $V/2$’dir. Bu şekilde tabloyu genişletebilir, ikinci tabloya “Yarım Şişe – 10 A bardağı” başlıklı bir satır ekleyebilirsiniz.
9. Sınavlarda Zaman Yönetimi ve Hata Kontrolü
Böyle problemler genellikle hızlı çözülebilse de, ufak bir cebir hatası cevabı tamamen değiştirebilir. Dolayısıyla, “Kontrol etmeden işaretlememek” temel prensiptir:
- Denklemi tekrar oku: Doğru anlamış mıyım?
- Sadeleştirme hatası var mı?: Eksi artı dönüşümü veya çarpma, bölme sırasında hata yapmış mıyım?
- Sezgisel kontrol: Yanıt, problemdeki hikâye ile uyuşuyor mu?
10. Kısa Notlar ve Püf Noktaları
- Soruda Tam Sayı Beklenti Durumu: Bardak sayısı, bilet sayısı gibi niceliklerin tam sayı olması çoğu zaman beklenir.
- Ek Bilgi: Yarım şişe, çeyrek şişe, “A nesnesi = 12 kg” gibi bilgiler, denklem çözümlerinde kilit rol oynar.
- Günlük Hayat Bağlantısı: Aslında marketten aldığımız bir sürahi su, farklı boyutlardaki bardakları doldurmak için aynen bu mantıkla hesaplanabilir.
11. Nihai Sonuç ve Özet
- Bardak Problemi (#1): Tam şişe 12 A + 4 B dolduruyorsa ve yarım şişe 10 A dolduruyorsa, B bardağı şişenin 1/10’u kadardır. Dolayısıyla tam şişe 10 adet B bardağı doldurur.
- Tartı Problemi (#3): 25 A + 5 B = 20 A + 20 B ise, A = 3 B olur. A = 12 kg olduğuna göre B = 4 kg bulunur.
Bu tür soruları çözmekte ustalaşmak için bol pratik yapmak, benzer sorulara aşina olmak ve her bir adımda tablo veya net değişken tanımlarıyla ilerlemek önemlidir.
Geniş Örnek Tablo
Aşağıda, iki problemin (Bardak ve Tartı) temel verilerini ortak bir tabloda özetleyerek gösteriyoruz:
| Problem Türü | Veri veya Denklemler | Çözüm Adımları | Sonuç |
|---|---|---|---|
| Bardak (Sayı Problemi) | - 12 A + 4 B = V (Tam şişe) - 10 A = V/2 (Yarım şişe) |
1. V(A) = V/20 2. 4B = 2V/5 → B = V/10 3. Tam şişe / B = 10 |
10 adet B bardağı |
| Tartı (Kütle Problemi) | - 25A + 5B = 20A + 20B - A = 12 kg olarak verilmiş |
1. 25A - 20A = 20B - 5B 2. 5A = 15B 3. A = 3B 4. 12 = 3B → B=4 |
B nesnesi 4 kg |
Her iki problem de kendi içinde net birer örnek olup, farklı konulardan gelmesine rağmen çözümlerdeki ana mantık “verilen bilgilerden cebirsel denklem kurma ve sonuçları bulma” yöntemine dayanmaktadır.
Son Bir Örnek: Bilet Fiyatı ve Satış Aritmetiği
Görselde gözüken 4. soru benzeri bir problemde tablo oluşturmak çok işe yarar:
| A Salonu | B Salonu | Toplam Bilet | Ödeme (TL) | |
|---|---|---|---|---|
| Era | x bilet (12 TL/bilet) | y bilet (20 TL/bilet) | x + y(?) | 12x + 20y |
| Kerem | (x+7) bilet? | (?) bilet? | ? | ? |
Ardından sorudaki “toplam 15 bilet satılması” vs. gibi kısıtlar tabloya yansıtılır. “Era ve Kerem’in ödediği tutar aynı” ifadesi “12x + 20y = … (Kerem’in 12 ve 20 ile çarptığı veri)” şeklinde bir denkleme dönüşür. Böylece sistematik bir şekilde çözüme ulaşılır.
Kısa Bir Özet
-
Bardak Sorusu (#1):
- Tam şişe → 12 A + 4 B
- Yarım şişe → 10 A
- Çözüm: V(A) = \tfrac{V}{20}, V(B) = \tfrac{V}{10}, sonuçta tam şişe 10 B bardağı.
-
Tartı Sorusu (#3):
- 25 A + 5 B = 20 A + 20 B, A birimi 12 kg
- 25A - 20A = 20B - 5B \implies 5A = 15B \implies A=3B
- 12 = 3B \implies B=4.
-
Benzeri Sorular: Bilet fiyatları, eşit ödeme, salon başına satılan bilet sayısı gibi konularda tablo ve denklem kurarak ilerlemek temel yaklaşım.
Bu mantık, TYT-AYT veya LGS gibi sınavlarda “Problem Çözme” alt başlığında sürekli uygulanan, pratik ve sistematik olmayı gerektiren bir yaklaşımdır.