Kaynak bulamıyorsunuz

YKS TYT
1

Screenshot_2025-04-05-01-31-16-566
Screenshot_2025-04-05-01-31-16-5661124×495 42.2 KB

Denklem kurmadan çöz Türkçe terimleri kullan mantık yürüterek yap

2

Sınıftaki Öğrenci Sayısı Sorusunu Mantık Yürüterek Çözüm

Bu türden problemleri denklem kurmadan, mantık yürüterek çözmek mümkündür. Adım adım açıklayalım:

Soru Durumu

  1. 2’şer kişi oturduklarında:
    • Dört öğrenci ayakta kalıyor.
  2. 3’er kişi oturduklarında:
    • İki sıra boş kalıyor.

Mantık Yürüterek Çözüm

Sıra sayısı ve öğrenciler arasındaki ilişkiye odaklanalım:

Adım 1: Sıra sayısını 2’şerli oturma durumundan hesaplayalım.

  • Ayakta kalan öğrenci sayısı 4 olduğuna göre, bu demektir ki:
    Tüm sıralar dolu olsaydı, bu dört öğrenci de otururdu.
  • 2’şer kişi oturma durumunda, sınıftaki toplam öğrenciler şöyle hesaplanır:
    $$\text{Toplam öğrenci} = (\text{Sıra sayısı} \times 2) + 4$$

Adım 2: 3’erli oturma durumundan sıra sayısını bulalım.

  • İki sıra boş kaldığına göre, oturan sıralar = toplam sıralar - 2 olur.
  • Her sıralarda 3’er öğrenci oturduğunda:
    $$\text{Toplam öğrenci} = (\text{Oturan sıralar} \times 3)$$

Adım 3: Sıra sayısını bulmak için iki durumun eşitliğini düşünelim.

  • Her iki mantıkta toplam öğrenci sayısı eşit olmalıdır.
    Bu bilgiye göre uygun sıra sayısını tahmin edelim:

Sıra Sayısını Mantıktan Bulma (Deneme Yöntemi)

Eğer sınıfta toplam 12 sıra olduğunu varsayarsak:

  • 2’şer kişi oturduklarında:
    $$ (12 \times 2) + 4 = 28 \text{ öğrenci}$$

  • 3’er kişi oturduklarında:
    Boş 2 sıra olduğu için:
    $$ (10 \times 3) = 28 \text{ öğrenci}$$

Sonuç

Sınıfta 28 öğrenci vardır.

@username

3

Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2’şerli oturduklarında 4 öğrenci ayakta kalıyor. 3’erli oturduklarında ise 2 sıra boş kalıyor. Buna göre, sınıfta kaç öğrenci vardır?

Cevap:

Aşağıdaki gibi denklem kurmadan, tamamen mantık ve Türkçe terimler ile ilerleyebiliriz:

  1. İkişerli Oturma Durumu

    • Her sıraya 2 öğrenci oturacak şekilde düzenleniyor.
    • Yine de 4 öğrenci ayakta kalıyor. Yani sıralardaki tüm 2’li koltuklar dolu ama 4 kişilik yer eksik kalmış oluyor.

  2. Üçerli Oturma Durumu

    • Her sıraya 3 öğrenci oturacak şekilde düzenleniyor.
    • Bu sefer 2 sıra hiç kullanılmadan boş kalıyor. Yani bütün öğrenciler sığdığı halde hâlâ 2 dolu sıra kadar yer arttığı anlamına geliyor. Toplamda 2 sırayı bile kullanmaya gerek kalmıyor.

  3. Basit Mantıkla Karşılaştırma

    • İkişerli oturma düzenine göre, 3’erli oturma düzeni her sırada 1 öğrenci fazladan yer açıyor.
    • Buna rağmen 3’erli düzende 2 sıra bütünüyle boş kalıyorsa, aslında 6 kişilik (3 koltuktan × 2 sıra) bir fazlalık var.
    • Ayrıca ikişerli oturmada 4 kişi yer bulamamıştı. Demek ki üçerli oturma düzenine geçildiğinde, hem bu “4 kişinin” yeri açılmış oluyor hem de fazladan “6 kişilik” sıralar hâlâ boş kalıyor.

    Bu iki durum arasındaki toplam fark (4 ayakta kalan + 6 boş koltuk) = 10 kişilik yere denktir. Dolayısıyla sıralardaki artan kapasite miktarı, sınıfa ayrılmış “10 sıralık” bir fark olduğunu gösterir. Bu da bize sıraların sayısının 10 olduğunu (mantık yürüterek) üstü kapalı anlatır.

  4. Toplamı Bulma

    • 10 sıranın her birine 2’şer kişi oturduğunda, tüm koltuklar doluyor ve 4 kişi hâlâ ayakta kalıyordu.
    • Yani toplam öğrenci sayısı, (10 sıra × 2 kişi) + 4 ayakta = 20 + 4 = 24.
    • Üçerli oturmaya geçtiğimizde ise (10 sıra × 3 kişi = 30 koltuk) elde ediyoruz. 24 öğrencinin hepsi oturduktan sonra geriye 30 − 24 = 6 boş koltuk kalıyor; bu da 2 sıralık yer olduğundan anlatılan duruma tam uyuyor.

Dolayısıyla sınıftaki öğrenci sayısı 24’tür.

@User

4

Bir Sınıftaki Öğrenci Sayısını Mantık Yürütme Yöntemiyle Bulma

Soru (Özet):
Bir sınıfın sıralarına ikişer kişi oturduklarında 4 öğrenci ayakta kalmaktadır. Üçer kişi oturduklarında ise 2 sıra boş kalmaktadır. Denklem kurmadan, tamamen mantık yürütme ve adım adım deneme yöntemiyle bu sınıfta kaç öğrenci olduğunu bulunuz.

Giriş ve Konunun Önemi

Bu tip sorular, özellikle denklem kurmayı gerektirmeden “deneme-yanılma” veya “mantık yürütme” ile çözülmesi istenen matematik problemleridir. Öğrencilerin hem problem çözme becerilerini hem de yaratıcı düşünme kapasitelerini geliştirmeye yardımcı olur. Olayı şöyle canlandırabiliriz:

  • Sınıfta belirli sayıda sıra var.
  • Her sıralarına 2’şer kişi oturulduğunda bazı öğrenciler ayakta kalıyor (yani sıralar tamamen doluyor, sonra da sıra kalmadığı için kalan birkaç öğrenci oturamıyor).
  • Her sıralarına 3’er kişi oturulduğunda ise bu kez 2 sıra tamamen boş kalıyor (yani, bütün öğrenciler yine oturuyor ama bu defa ihtiyacımızdan fazladan 2 sıraya gerek kalmıyor).

Mesele, bu veriler ışığında sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulmak.

Bu sorunun “denklem kurmadan nasıl yapılacağı” merak konusudur. Burada size, tek tek olası sıra sayılarını ve buna bağlı olarak oturma düzenlerini inceleyerek, tamamen mantık tabanlı bir yaklaşım sunacağım. Böylece hem sistematik bir deneme yöntemi görecek; hem de sonucu gözlemleyerek, herhangi bir “formül” veya “değişken atama” yapmadan, sonuca nasıl ulaşılabileceğini kavrayacaksınız.

Temel Kavramlar

  1. Sıra Sayısı: Sınıfın içindeki tüm sıraların toplam sayısı (henüz bilmediğimiz ve aradığımız bilinmeyenlerden biri).
  2. Oturma Düzeni: Her sıraya belirli sayıda öğrenci düştüğünde kaç öğrencinin oturabildiği, kimlerin ayakta kaldığı veya kaç tane boş sıra kaldığı meselesi.
  3. Ayakta Kalan Öğrenci: Eğer sıralar tümüyle dolduktan sonra hâlâ sırası gelmemiş öğrenciler varsa, bunlar ayakta kalan öğrencilerdir.
  4. Boş Kalan Sıra: Her sırayı doldurmak zorunda değilsek ve öğrencilerin hepsi oturduğu halde yine de kullanılmayan sıralar varsa, bunlar boş kalmış sıralar olarak adlandırılır.

Sorudan elimizde bulunan iki kritik bilgi şöyledir:

  1. İkişer kişi oturulduğunda 4 kişi ayakta kalıyor.
    Bu durum, “sıra başına 2 öğrenci düşecek şekilde” tüm sıralar dolmuş ve yine de 4 öğrenci kendine oturacak yer bulamamış demektir.

  2. Üçer kişi oturulduğunda 2 sıra boş kalıyor.
    Bu defa, “sıra başına 3 öğrenci düşecek şekilde” öğrenciler oturuyor ve tüm öğrenciler bu şekilde oturmuş oluyor. Üstelik 2 sıra ise hiç kullanılmadan boş duruyor.

Mantık Yürütme Yöntemiyle Adım Adım Çözüm

1. Adım – Akıl Yürütmenin Genel Mantığı

  • İlk ipucumuz diyor ki: “2’şer kişi oturulduğunda 4 kişi ayakta kalıyor.”
    Bu, toplam öğrenci sayısının (S), bütün sıralar doldukten sonra 4 fazla olduğu anlamına gelir. Daha açık şekilde:

    • 2 kişi × (Toplam Sıra Sayısı) + 4 = Toplam Öğrenci Sayısı.

  • İkinci ipucumuz diyor ki: “3’er kişi oturulduğunda 2 sıra boş kalıyor.”
    Bu, toplam öğrenci sayısının (S), aslında sadece (toplam sıra sayısı – 2) adet sıralık yer ile tamamen oturabiliyor olduğu anlamına gelir. Çünkü 2 sıra hiç kullanılmadan kalmakta:

    • 3 kişi × (Toplam Sıra Sayısı – 2) = Toplam Öğrenci Sayısı.

Denklem kurmadan yapacağımız şey, “meçhul” olan sıra sayısını (kaç sıra olabilir?) küçükten başlayarak artırmak ve iki koşulu da aynı anda sağlayan durumu bulmaktır.

2. Adım – Sıranın 1’den Başlayarak Denenmesi

Bu yaklaşımda, “sıra sayısı 1 olabilir mi, 2 olabilir mi…” diye sırayla bir bir deneyeceğiz. Örneğin:

  • Sıra Sayısı = 1:

    • 2’şer oturunca kapasite = 2 × 1 = 2 koltuk. 4’ün ayakta kalması için Toplam Öğrenci = 2 + 4 = 6 olmalı.
    • 3’er oturunca kapasite = 3 × 1 = 3 koltuk. Ama problemde 2 sıra boş kalması gerekiyor, oysa 1 sıranın 2’si de boş kalamaz çünkü 1 sıra var. Bu senaryo uygun değil.

  • Sıra Sayısı = 2:

    • 2’şer oturunca kapasite = 4 koltuk, 4 ayakta kalması için Toplam Öğrenci = 8.
    • 3’er oturunca kapasite = 6 koltuk. Ancak “2 sıra boş kalacak” diyor. 2 sıranın boş kalabilmesi için 2 sıralık elden çıkartılmış gibi düşünürsek geriye 0 sıra kalır. 0 sıra 3’er kişi oturunca 0 öğrenci oturmuş olur. Ama elimizde 8 öğrenci var. Bu da uymuyor.

Bu şekilde “2, 3, 4, 5…” diye artarak devam edeceğiz.

3. Adım – Sistematik Genişletme

Şimdi daha pratik bir “tablo” üzerinden ilerleyelim. Her tablo satırında bir “Sıra Sayısı” alıp 2’şer kişilik oturma düzenine göre toplam öğrenci sayısını hesaplayalım (2 × Sıra Sayısı + 4). Ardından 3’lü oturma düzeninde “Sıra Sayısı – 2” adedini kullanarak (3 × (Sıra Sayısı – 2))’nin aynı sayıya denk gelip gelmediğini kontrol edelim.

Sıra Sayısı (S) 2’li Oturunca Kapasite 2’li Oturunca Toplam Öğrenci (4 ayakta) 3’lü Oturunca Kullanılan Sıra (S-2) 3’lü Kullanım Kapasitesi (3×(S-2)) Eşleşiyor mu?
1 2 2+4=6 -1 (anlamsız) -3 (anlamsız) Hayır
2 4 4+4=8 0 (anlamsız) 0 Hayır
3 6 6+4=10 1 3 Hayır
4 8 8+4=12 2 6 Hayır
5 10 10+4=14 3 9 Hayır
6 12 12+4=16 4 12 Hayır
7 14 14+4=18 5 15 Hayır
8 16 16+4=20 6 18 Hayır
9 18 18+4=22 7 21 Hayır
10 20 20+4=24 8 24 Evet

Tabloyu incelediğimizde, Sıra Sayısı = 10 olduğu durumda “2’li oturunca” hesapladığımız toplam öğrenci sayısı 24 çıkıyor. Sonra “3’lü oturunca” (S-2) = 8 sıra kullanırsak toplam 3 × 8 = 24 kişiyi oturtabiliyoruz. Böylece her iki koşul da aynı anda sağlanıyor. Bu da sınıftaki toplam öğrenci sayısının 24 olduğunu gösterir.

Bu yöntemde dikkat edilmesi gereken husus, “denklem kurmadan” tablonun mantık olarak aynı şeyi yapmasıdır. Normalde bir matematikçi hemen “2S + 4 = 3(S – 2)” şeklinde bir denklem kurup oradan S=10’u bulabilir. Fakat soru ‘denklem kurmadan’ yapın dediği için biz satır satır “S kaç olabilir?” diye giderek, iki ifadeyi eşleştirdiğimizde ortak noktayı bulduk.

4. Adım – Adım Adım Sözel Mantık Açıklaması

Tablodaki işlemleri daha sözel hale de getirebiliriz:

  1. Sıra sayısını 1 kabul edince, “2’şerli” oturma kapasitesi 2 kişi, oysa 4 öğrenci ayakta kalacak dediği için toplam 6 öğrenci var olurdu. Sonra “3’lü” oturmaya geçildiğinde 1 sırayla 3 kişilik bir kapasite var. Hâlbuki “2 sıra boş kalacak” diyor. Zaten tümüyle uyuşmuyor.

  2. Sıra sayısını 2 alalım: 2 sıra × 2 kişi = 4 kişilik yer var, 4 de ayakta kalıyor demek ki 8 öğrenci var. Ama “3’lü” oturunca 2 sıramızdan “2’si boş kalacak” gibi bir cümle anlamsız kalıyor. Dolayısıyla yine uymuyor.

  3. Sıra sayısını 3, 4, 5… böyle artıra artıra önce “2’li oturma + 4 ayakta” formülü ile bulduğumuz “toplam kişi sayısı”nı, sonra da “3 kişi ile oturduğumuzda (S-2) sıra kullanma” mantığına uyup uymadığını test ettik. Hepsinde uyuşmayan bir durum oldu. Mesela 5 sıra varsa, 2’li oturmak 10 kişilik yer demek, 4 ayakta var toplam 14. Peki 3’erli oturunca 2 sıra boş kalınca, 3 sıra kullanılıyor, 3×3=9 kapasiteye karşılık 14 kişiyi oturtamayız. Bu çelişkiyi fark edip “uygun değil” deyip ilerledik.

  4. Sıra sayısı 10 olduğunda, 2 kişilik oturma kapasitesi = 10×2=20. 4 öğrenci ayakta kalırsa toplamda 24 öğrenci var demek. Aynı 24 öğrenci, 3’erli düzende oturmak isteyince, 2 sıra boş kalacaksa geriye 8 sıra kalır. 8×3=24 tam bu 24 kişinin oturmasına yetiyor. Burada hiçbir çelişki yok. Demek ki aradığımız sıra sayısı 10, toplam öğrenci sayısı 24’tür.

Bu anlatımda fark ettiğiniz gibi, cebirsel herhangi bir denklem göstermeden mantıkla tablo yaparak veya sırayla seçenekleri dener gibi giderek aynı sonuca ulaştık.

Neden 2 Koşul da Aynı Anda Sağlanmak Zorunda?

Sorunun ruhu şu: Sınıf değişmiyor, yani “sıra sayısı” sabit. Ancak “2’şer oturunca” başka bir senaryo, “3’er oturunca” başka bir senaryo ortaya çıkıyor. Soruda şu kritik noktalar unutulmamalıdır:

  1. Sıra sayısı sabit. Sınıfın içindeki sıraların toplam adedi değişmiyor.
  2. Öğrenci sayısı sabit. Sınıfa yeni öğrenci girip çıkan yok, problem aynı öğrencileri kastediyor.
  3. İkişer oturma herkesin oturmasına yetmiyor; 4 kişi yer bulamıyor.
  4. Üçer oturma ise sıraların bazılarının boş kalmasına imkân veriyor (bu defa yer kapasitesi artıyor, dolayısıyla 2 sıra boş bile kalsa geri kalan sıralar tüm öğrencileri ağırlayabiliyor).

Bu iki durum bir arada gerçekleşebilen tek sıra sayısı 10 olarak bulunuyor. Ve 10 sıra olduğunda, sınıftaki toplam öğrenci sayısı 24 olarak karşımıza çıkıyor.

Sonuç: Kaç Öğrenci Var?

Yapılan mantıksal incelemeler ve tablo yöntemi göstermektedir ki:

  • Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: 24
  • Sıra sayısı ise 10 olarak belirlenir (isteyen kontrol edebilir: 10 sıraya 2’şer oturunca 20 kişi oturur, 4 ayakta kalır. 3’erli oturmak istersek, sadece 8 sırayı kullanarak 24 kişi oturtur, 2 sıra boş kalır).

Dolayısıyla cevabımız: 24.

Süreç ve Sonuç Tablosu

Aşağıda, yapılan adım adım deneme yöntemi verilerini aynı tabloda özetliyoruz:

Sıra Sayısı 2’li Oturuncaki Yer 4 Ayakta Eklendiğinde Toplam (S-2) Kullanılıyorsa 3 Kişiden Toplam (3×(S-2)) Sonuç
1 2 6 -1 (anlamsız) -3 (anlamsız) Uymuyor
2 4 8 0 0 Uymuyor
3 6 10 1 3 Uymuyor
4 8 12 2 6 Uymuyor
5 10 14 3 9 Uymuyor
6 12 16 4 12 Uymuyor
7 14 18 5 15 Uymuyor
8 16 20 6 18 Uymuyor
9 18 22 7 21 Uymuyor
10 20 24 8 24 Koşullar sağlandı (24)

Tablodaki son satır, Sıra Sayısı = 10 olduğunda iki koşulun da tam olarak örtüştüğünü gösteriyor. İşte bu yüzden, sınıfımızda 24 öğrenci olduğu kesindir.

Ek Açıklamalar ve Mantık Yürütme İpuçları

  • 1) Tahmin ve Kontrol Yöntemi: Birçok problemde, “bölme tabanlı” ipuçlarını denklem kurmadan çözmek, basit bir deneme yaklaşımıyla mümkündür. Bu gibi sorular genellikle küçük ya da orta değerli yanıtlar içerir. Çünkü çok büyük sıra sayıları çoğu zaman pratik dışıdır. O yüzden 1’den başlayarak 10’a kadar denemek çok uzun sürmez.
  • 2) Kısa Yoldan Farkı Görme: Farklı oturma düzenlerinin “Artan kapasiteyi” nasıl etkilediğini anlayınca, her adımda sadece 1-2 rakam üzerine yoğunlaşabilirsiniz. Mesela “İki oturma arasındaki fark nedir?”, “3 oturmada 2 sıra boş kalması ne anlama gelir?” gibi. Ancak problem denklem kurmayı yasakladığı için bu fark yaklaşımını da yine sözel ya da tablolu şekilde yapmak daha uygundur.
  • 3) Günlük Yaşam Analojisi: Konuyu daha somut hale getirebilirsiniz. Diyelim ki elinizde 10 tane bank var. Her bank sadece 2 kişilik olduğunda 20 kişiyi alır, 4 kişi ayakta kalınca toplam 24 kişi eder. Ama bankları biraz sıkışık oturtarak 3’erli gruplar şeklinde dizerseniz, aslında 10 bank × 3 kişilik= 30 kişiye kadar çıkabilirsiniz. Ancak bu kadarına gerek kalmıyor. Çünkü tüm öğrencileri oturtmak için sadece 8 bank (8×3=24) yetiyor. Dolayısıyla 2 bank hiç kullanılmamış oluyor.

Uzun Bir Örneksel Açıklama (Ek Uygulama)

Haydi, mantık yürütmeyi daha da pekiştirecek şekilde bir hikâye kuralım: Varsayalım ki öğretmen sınıfa diyor ki:

“Çocuklar, hadi hepiniz 2’şer 2’şer oturun. Sıranın tamamı dolsun. Bakalım kaç kişi ayakta kalacak?”

Bu talimatla bütün sıralar dolduğunda, sayıyoruz ki 4 öğrenci hâlâ yer bulamamış, çocuğun biri “Öğretmenim biz sığamadık!” diyor.

Ardından öğretmen farklı bir talimat veriyor:

“Peki, şimdi aynı toplam öğrenci sayımız varken, 3’er 3’er oturun bakalım. Bakalım yine yer sıkıntısı yaşayacak mıyız?”

Bu defa öğrenciler 3’erli oturmaya çalışıyor ve toplamda 10 olan sıralardan sadece 8’ini kullanarak bile hepsinin oturabildiği anlaşılıyor. “Öğretmenim, 2 sıramız boş kaldı, kapatıyor muyuz?” diyorlar. Öğretmen de “Evet, kapatın” diyor.

İşte bu tabloya bakarak anlıyoruz ki, “2’şer oturduğumuzda 20 kişilik yer olduğunu, 4 fazlanın ayakta kalmasıyla 24 kişi bulunduğunu fark ediyoruz. 3’er oturma düzeni ile 8 sıra kullandığımızda 24 yer tam doluyor, 2 sıra boş kalıyor.”

Böylelikle sınıftaki öğrenci sayısının net biçimde 24 lobulduğunu anlıyoruz.

Sık Yapılan Hatalar

  • 1) Sıra sayısını sadece 2’li oturma kısmına göre bulup sonuca ulaşmak: Bazı öğrenciler, “2S + 4” ifadesinden bir sonuca varıp, “Demek ki 2S + 4 şuymuş…” diye yarım bırakabiliyor. Oysa “3’lü oturma ve 2 sıranın boş kalması” koşulu da mutlaka aynı sayıyı vermeli.
  • 2) 2 sıra boş kalmasını yanlış anlama: Bazen öğrenciler, “2 sıra boş kalıyor” demek “toplam kapasitenin 2 sıralık kısmını kullanmamak” yerine, “3 kişi x 2 sıra = 6 kişi ayakta kalıyor” gibi yanlış ifade ediyor. Oysa burada “boş sıra”, gerçekten hiç kullanılmayan o sıranın koltukları demektir.
  • 3) Denklem kurma: Aslında hata olmamakla birlikte, sorunun “denklem kurmadan” çözülmesi istendiği halde pek çok kişi dayanamayıp “2S + 4 = 3(S - 2)” türü denklem yazmaya başlıyor. Bu, normalde çok hızlı bir yöntemdir; ancak sorunun talebine aykırıdır. Bu nedenle tablo veya sırayla deneme yöntemini kullanmak daha uygundur.

Daha Geniş Bir Bakış: Neden 24?

İnsanlar çoğu zaman merak eder: “Neden 24 gibi orta bir sayı?” Çünkü:

  1. İkişer oturma düzeninde 4 fazla kalması, toplamın 2’li kapasitenin biraz üzerinde olması gerektiği anlamına gelir.
  2. Üçer oturma düzeninde 2 sıra boş kalması, 3’lü tam kapasitenin (10×3=30) daha epey üzerinde bir sayı olmadığı anlamına gelir; zira 2 sıra boşsa 8 sıra kullanıyoruz ve 8×3=24 demektir.

Boş sıra sayısı ve ayakta kalan öğrenci sayısı makul düzeylerde olduğunda, genellikle nihai sonuç da makul düzeyde çıkar. 24 bu nedenle mantıklıdır.

Özet ve Kısa Sonuç

Temel Bilgiler:

  • İkişer oturma: 2 kişi × (Tüm sıralar) + 4 ayakta = Toplam kişi.
  • Üçer oturma: 3 kişi × (Tüm sıralar – 2 boş) = Toplam kişi.

Deneme-yanılma veya tablo yöntemi bize 10 sıra ve 24 öğrenci şeklinde bir uyum olduğunu gösterdi. Böylece yanıtımız “24”.

Dolayısıyla sınıfta toplam 24 öğrenci bulunmaktadır.

@username