Gönderen

YKS TYT
1

Screenshot_2025-04-05-14-47-56-242
Screenshot_2025-04-05-14-47-56-2421192×326 98.3 KB

Mantık yürüterek yap

2

Soruyu çözme adımları:

Soru:
2. Bir sınıfın öğrencileri sıralara ikişer ikişer otururlarsa 8 öğrenci ayakta kalıyor. Üçer üçer otururlarsa 4 sıra boş kalıyor ve bir sırada ise iki kişi oturuyor. Buna göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

Çözüm:
Bu tarz bir problemi çözmek için matematiksel denklemler kurabiliriz. Sınıfta toplam kaç sıra olduğunu ve kaç öğrenci olduğunu bulmamız gerekiyor.

Verilerin tanımlanması:

  • Toplam öğrenci sayısı: x
  • Toplam sıra sayısı: y

1. Veriye Göre Denklem Kurulumu: İkişer Kişilik Oturma Durumu

Her sırada 2 kişi oturursa:

  • 2y, sıralarda oturan öğrenci sayısı olur.
  • x - 2y = 8, çünkü oturmayan 8 öğrenci ayakta kalıyor.

Bunu Denklem 1 olarak yazalım:

x - 2y = 8

2. Veriye Göre Denklem Kurulumu: Üçer Kişilik Oturma Durumu

Her sırada 3 kişi oturursa:

  • 3y, sıralarda oturan öğrenci sayısı olur.
  • 4 sıra ise boş olduğundan, oturan toplam öğrenci sayısı, kalan sıralardaki 3 öğrenci ile hesaplanır.
    Sıra sayısını boş sıralar üzerinden ifade edersek:
  • Oturan öğrenci sayısı: 3(y - 4)
  • Buradan toplam öğrenci sayısına ulaşılır:
x = 3(y - 4) + 2

Bunu Denklem 2 olarak yazabiliriz:

x = 3(y - 4) + 2

Denklemleri Çözmeye Başlayalım:

1. Adım: Denklem 1’i çözerek x’i ifade edelim:

x = 2y + 8

2. Adım: Denklem 2’de x yerine 2y + 8’i koyarak denklem çözümüne geçelim:

2y + 8 = 3(y - 4) + 2

Şimdi bu denklemi düzenleyelim:

2y + 8 = 3y - 12 + 2
2y + 8 = 3y - 10

Değişkenleri bir tarafa toplarsak:

8 + 10 = 3y - 2y
y = 18

3. Adım: y değerini Denklem 1’e koyarak x’i hesaplayalım:

x = 2y + 8
x = 2(18) + 8
x = 36 + 8 = 44

Sonuç:

Bu sınıfta toplam 44 öğrenci ve 18 sıra bulunmaktadır.

Kontrol:

  • İkişer kişi oturursa: 2y = 36, 8 kişi ayakta kalıyor.
  • Üçer kişi oturursa: 3(y - 4) = 42, oturanlar tamamdır.

@username

3

2. Bir sınıfın öğrencileri sıralara ikişer ikişer otururlarsa 8 öğrenci ayakta kalıyor. Üçer üçer otururlarsa 4 sıra boş kalıyor ve bir sırada ise iki kişi oturuyor. Buna göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

Cevap:

Bu tip sorularda öncelikle sıra (desk) sayısı ve toplam öğrenci sayısı için değişkenler belirleyerek denklemler kurmak faydalı olur.

  1. Sınıfta toplam D adet sıra olsun.
  2. Sınıfta toplam N öğrenci olsun.

H2: İkişer oturduklarında 8 öğrenci ayakta

  • Her sırada 2 öğrenci oturduğunda, toplam oturan öğrenci sayısı: 2D
  • Ayakta kalan öğrenci sayısı: 8
  • Dolayısıyla toplam öğrenci sayısı:
    N = 2D + 8

H2: Üçer oturduklarında 4 sıra boş + 1 sırada 2 öğrenci

  • Üçer oturulduğunda kullanılan sıra sayısı: (D - 4) (çünkü 4 sıra boş)
  • Bu (D - 4) sıranın birinde 2 öğrenci, geri kalanında 3’er öğrenci oturacak.
  • Kullanılan sıralardan 1 tanesinde 2 öğrenci, geri kalan ((D - 4) - 1 = D - 5) sırada ise 3’er öğrenci vardır.
  • Oturan öğrenci sayısı toplamı:
    3 \times (D - 5) + 2 = 3D - 15 + 2 = 3D - 13
  • Bu da toplam öğrenci sayısına eşittir:
    N = 3D - 13

H2: Denklemleri Birleştirerek Çözüm

İki ifade de aynı N’yi temsil ettiği için:

2D + 8 = 3D - 13
8 + 13 = 3D - 2D
D = 21

Yani sınıfta 21 sıra vardır. Toplam öğrenci sayısını bulmak için:

N = 2D + 8 = 2 \cdot 21 + 8 = 42 + 8 = 50

Bu durumda sınıftaki öğrenci sayısı 50’dir.

@User

4

2. Bir sınıfın öğrencileri sıralara ikişer ikişer otururlarsa 8 öğrenci ayakta kalıyor. Üçer üçer otururlarsa 4 sıra boş kalıyor ve bir sırada ise iki kişi oturuyor. Buna göre, bu sınıfta kaç öğrenci var?

Cevap:

Aşağıda, bu soruyu mantık yürüterek çözebilmek için adım adım açıklama ve gerekli matematiksel denklemler yer almaktadır. Amaç, sınıftaki toplam öğrenci sayısını belirlemektir.

1. Problemi Anlama ve Tanımlama

Bu tür problemler genellikle “sıra sayısı” ile “oturan ve ayakta kalan öğrenci sayısı” arasındaki ilişkiye dayalı olarak kurulan denklemleri içerir. Burada iki farklı senaryo verilmiştir:

  1. İkişer ikişer oturma durumu: Bütün sıralar ikişer kişilik kullanılırsa 8 öğrenci açıkta kalıyor (yani ayakta kalıyor).
  2. Üçer üçer oturma durumu: Sıraların 4 tanesi tamamen boş kalıyor, geri kalan sıraların birinde 2 öğrenci oturuyor, diğer sıralarda ise 3’er öğrenci oturuyor.

Tüm bu bilgiler doğrultusunda, aynı sınıftaki öğrenci sayısını (toplamını) bulmamız istenmektedir.

2. Temel Değişkenleri Belirlemek

Sorunun çözümünde kullanılacak temel değişken(ler) şunlardır:

  • R: Sınıfta toplam sıra sayısı (Bu, soruda doğrudan verilmez; bizim bulmamız gerekir).

  • N: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı (Bulmaya çalıştığımız değer).

2.1. İlk Senaryonun Denklemle Gösterimi

“Bütün sıralara ikişer ikişer oturulursa 8 öğrenci ayakta kalıyor” ifadesinden, şu denklem elde edilir:

  • Her sıraya 2’şer öğrenci sığabilir.
  • Toplam sıra sayısı R ise, tüm sıralar dolduğunda 2R öğrenci oturabilir.
  • Ayakta kalan 8 öğrenci olduğu için, toplam öğrenci sayısı N = 2R + 8 biçiminde yazılır.

2.2. İkinci Senaryonun Denklemle Gösterimi

“Üçer üçer otururlarsa 4 sıra boş kalıyor, bir sırada 2 kişi oturuyor, geri kalan sıralarda ise 3 kişi oturuyor” ifadesinden şu bilgiler elde edilir:

  1. 4 sıra boş kaldığına göre, dolu olan sıra sayısı:
    R - 4
  2. Bir sırada 2 öğrenci oturuyorsa, kalan dolu sıraların sayısı:
    (R - 4) - 1 = R - 5
    Bu R - 5 sırada ise üçer öğrenci oturmaktadır.
  3. Dolayısıyla, üçer kişilik sıralarda oturanların sayısı:
    3 \times (R - 5)
  4. Ayrıca tek bir sırada 2 öğrenci oturuyor:
    + 2
  5. Tüm bunların toplamı, sınıftaki öğrenci sayısı N’yi verir:
    N = 3 \times (R - 5) + 2
    Daha açık yazarsak:
    N = 3(R - 5) + 2 = 3R - 15 + 2 = 3R - 13

3. İki Denklemi Eşitlemek

Aynı sınıf için iki farklı yerleştirme senaryosundan elde ettiğimiz N değerleri özünde tek bir toplama, yani aynı öğrenci sayısına karşılık gelir. Dolayısıyla:

  1. İlk senaryodan:

    N = 2R + 8

  2. İkinci senaryodan:

    N = 3R - 13

Aynı N’yi tanımladıkları için:

2R + 8 = 3R - 13

Buradan R’yi çözmek için şöyle ilerleriz:

  • Eşitliğin her iki tarafının 3R terimini bulundurmadığını görecek şekilde sadeleştirme yapalım:
2R + 8 = 3R - 13
2R - 3R = -13 - 8
- R = -21
R = 21

Bu sonuca göre sınıfta toplam 21 sıra vardır.

4. Toplam Öğrenci Sayısını Hesaplamak

Elimizde artık R = 21 bilgisini edindik. Bunu, ilk (veya ikinci) senaryodan türettiğimiz formüllerden birine yerine koyarak N’yi bulabiliriz.

4.1. İlk Senaryoyu Kullanarak $N$’yi Bulma

İlk senaryo denklemi:

N = 2R + 8

Bu formülde R = 21 değerini yerine koyalım:

N = 2 \times 21 + 8 = 42 + 8 = 50

Dolayısıyla sınıftaki toplam öğrenci sayısı 50’dir.

4.2. Kontrol: İkinci Senaryo İle Uyum

Hesapladığımız sonucu ikinci senaryoda da kontrol edebiliriz; küçük bir kontrol yapmak, formülümüzün doğruluğunu onaylar:

İkinci senaryonun denklemi:

N = 3(R - 5) + 2 = 3 \times (21 - 5) + 2
= 3 \times 16 + 2 = 48 + 2 = 50

Aynı sonucu vermektedir.

5. Mantık Yürütme ve Sonuçların Yorumu

Bu tür sorularda dikkat edilmesi gereken nokta, sıra sayısının sabit olduğu ve her iki senaryonun da aslında aynı toplam öğrenci sayısını ifade etmesidir. Birinci senaryoda kapasite yetersiz kaldığı için 8 öğrenci ayakta kalırken, ikinci senaryoda ise bazı sıraların boş kalması ama yine de toplamda 50 öğrencinin oturacak düzeni oluşturabilmesi ilginç bir durumdur. Buradaki fark, ikişer kişilik oturma düzeni ile üçer kişilik oturma düzeninin sınıfta sahip olduğu doluluk ve boşluk dağılımlarından kaynaklanmaktadır.

  • İkişer Kişilik Düzen: Toplam 21 sıra varsa, her sıraya 2 kişi oturduğumuzda 42 kişi oturabilir. 8 kişi açıkta kalır ve bu bize 50 öğrenciyi verir.
  • Üçer Kişilik Düzen: Toplam 21 sıranın 4’ü boş, dolu sıralar 17’dir (çünkü 21 - 4 = 17). Bu 17 sıranın 16’sında 3’er kişi (toplam 48) ve 1’inde 2 kişi oturmaktadır. Toplamda yine 50 öğrenciye ulaşırız.

6. Uzunca Bir Pekiştirme: Neden Aynı Sıra Sayısı Farklı Oturma Düzenine Farklı Şekilde Karşılık Verir?

Öğrenciler ikişer kişilik oturduğunda, maksimum kullanılabilir kapasite 2R kadardır (yani sıraların her biri iki kişilik). Buna ek olarak, yer kalmadığından ya da sıralar tamamen 2 kişi ile dolduğundan, 8 kişi ayakta kalmıştır.

Öte yandan, üçer kişilik oturma düzeninde kapasite daha yüksek gibi görünse de (her sıra potansiyel olarak 3 kişi alabilir), burada 4 sıra boş bırakılmış ve diğer sıralar arasından sadece bir tanesi 2 kişiyle yetinilmiştir. Dolayısıyla fiilen kullanılan koltuk sayısı, yine 50 öğrenciye denk gelecek biçimde planlanmıştır.

Bu örnek, aynı mekânın (sınıfın) farklı oturma planlarıyla nasıl farklı doluluk oranları ortaya çıkarttığını gösterir. Bazen daha fazla sayıda kişinin (örneğin 3 kişi) aynı sıraya oturması, pratikte artan konforsuzluk veya yönetimsel kararlara bağlı olduğundan her sırada eşit doluluk sağlanmadığı durumlar oluşabilir. Tek bir sırada 2 kişi oturup diğer sıralarda 3 kişinin bulunması gibi bir dağılım, bu tür mantık sorularında sıklıkla karşımıza çıkar.

7. Hesaplamaların Genel Tablosu

Aşağıdaki tablo, iki senaryo için kurduğumuz denklem ve elde ettiğimiz verileri özetler.

Senaryo Matematiksel İfade (Formül) Açıklama Sonuç
İkişer ikişer oturma N = 2R + 8 21 sıra, her sırada 2 kişi = 42 kişi. Ayakta 8 kişi kalıyor. N = 2 \times 21 + 8 = 50
Üçer üçer oturma N = 3(R - 5) + 2 = 3R - 15 + 2 21 sıranın 4’ü boş (dolayısıyla 21 - 4 = 17 dolu sıra). 16 sırada 3’er kişi, 1 sırada 2 kişi var. N = 3 \times 16 + 2 = 50
Denklem Eşitliği (2R + 8) = (3R - 13) İki senaryo da aynı N sayısına işaret eder. R = 21
Toplam Öğrenci Sayısı N = 50 Her iki senaryoyu sağlayan tek tutarlı değer. 50

Tabloda da görüldüğü gibi, R değeri 21 bulunmakta ve her iki oturma düzeninde de toplam öğrenci sayısı 50 olarak ortaya çıkmaktadır.

8. Adım Adım Mantık Yürütmesi (Detaylı Açıklama)

  1. Sıra Sayısını Bilmediğimizi Kabul Etme
    Sorudaki en büyük bilinmezlik, toplam sıra sayısıdır. Bu nedenle önce “$R$” sembolünü atadık.
  2. İkişer Kişilik Oturma Düzenine Bakma
    • Toplam sıra sayısı R.
    • Her sırada 2 kişi oturursa toplam 2R kişi oturabilir.
    • 8 kişi ayakta kaldığı için senaryoya ait denklem: N = 2R + 8.
  3. Üçer Kişilik Oturma Düzenine Bakma
    • Aynı R sıradan 4’ü boş, dolayısıyla R-4 sıra kalır.
    • Bu R-4 sıralardan 1’i sadece 2 kişiyle dolu, geri kalan R - 5 sıralarda 3’er kişi oturur.
    • Toplam: 3(R-5) + 2.
    • Denklem: N = 3R - 15 + 2 = 3R - 13.
  4. Eşitlik ve Çözüm
    • Aynı sınıfı tanımlayan bu iki N ifadesi eşit olmalı:
      2R + 8 = 3R - 13
    • Buradan R = 21 bulunur.
  5. Sınıfın Toplam Öğrenci Sayısını Bulma
    • $R=21$’i, N = 2R + 8 formülüne koyarsak: N = 42 + 8 = 50.
  6. Son Kontrol
    • İkinci formülümüzde (N = 3R - 13) de R=21 koyarsak 50 sonucuna ulaşılır.

Bu adımları tutarlı bir şekilde izlediğimizde, hiçbir belirsizlik kalmadan sorunun cevabı 50 çıkmaktadır.

9. Sık Yapılan Hatalar ve Önemli Noktalar

  1. Sıra sayısını sabit kabul etmemek: Bazı öğrenciler, “ikili oturma” ve “üçlü oturma” için farklı sıra sayıları olabileceği yanılgısına düşebilir. Sorunun doğasında, sınıf sıralarının sayısının değişmediği açıkça belirtilmektedir; sadece nasıl oturulduğu değişir.
  2. Ayakta kalma ile boş sıra farkı: Birinci durumda sıralarda yer kalmamasına rağmen 8 kişinin ayakta kalması, ikinci durumda ise 4 sıranın boş kalması gibi verilerin her ikisi de aynı sınıfa ait bir ipucu olduğunu unutmamak gerekir.
  3. Denklemleri doğru kurmak: Bir sırada 2 kişi, diğer sıralarda 3 kişi, 4 sıranın boş olması gibi ayrıntıları kaçırmak, yanlış denklemlerin kurulmasına yol açar.
  4. Eşitliği çözmek: Elde edilen 2R + 8 = 3R - 13 denkleminden, $R$’yi hatasız şekilde çözmek önemlidir.

Bu noktalara dikkat edildiğinde, mantık yürütme (problem çözme) süreci kolaylaşır.

10. Geniş Anlamda Değerlendirme

Bu tip “oturma” ya da “kapasite” konulu problemlerde kullanılan mantık, benzer şekilde şu alanlarda da işimize yarar:

  • Koltuk kapasitesi: Sinema veya tiyatro salonu kapasitesi, farklı fiyat kategorileri vb.
  • Toplu taşıma problemleri: Otobüs veya trenin oturma kapasiteleri, ayakta kalan yolcu sayıları vs.
  • Kombinasyonel Problemler: Farklı düzenlerdeki doluluk planlarının kıyaslanması.

Her durumda, problemi değişken atayıp (genelde sıra veya koltuk sayısı), verilen koşullara göre formüller kurma ve eşitlikleri çözme adımları üzerinden ilerleyerek çözebiliriz.

11. Sonuç ve Özet

Yukarıda adım adım gösterildiği gibi:

  1. Sorgu

    • İkişer oturma durumunda 8 kişi ayakta kaldığında \quad\Rightarrow\quad N = 2R + 8.
    • Üçer oturma durumunda 4 sıra boş, 1 sırada 2 kişi, geri kalan sırada 3 kişi olduğunda \quad\Rightarrow\quad N = 3(R - 5) + 2 = 3R - 13.

  2. Bu iki ifadenin birbirine eşit olması gerektiğinden:

    • 2R + 8 = 3R - 13.
    • Çözüm: R = 21.

  3. Toplam Öğrenci Sayısı

    • N = 2R + 8 = 2 \times 21 + 8 = 50.

Dolayısıyla, bu sınıfta toplam 50 öğrenci vardır.

Özet Tablo

Aşama İşlem Matematiksel Gösterim Bulgular
1. Değişken Belirleme Toplam sıra sayısı: R - R=? (bilinmiyor)
2. İkişer Oturma N = 2R + 8 Her sırada 2 kişi, 8 ayakta N=?
3. Üçer Oturma N = 3(R - 5) + 2 4 sıra boş, 1 sırada 2, diğerlerinde 3 kişi N=?
4. Denklem Eşitliği 2R + 8 = 3R - 13 Aynı N R=21
5. Öğrenci Sayısını Bulma N = 2R + 8 N = 2 \times 21 + 8 = 50 50
6. Kontrol N = 3(R -5) + 2 N = 3\times16 + 2 = 50 50
Sonuç Toplam öğrenci sayısı - 50

Bu tablo, çözümün her aşamasını net bir biçimde yansıtır.

Kısa Özet

  • Birinci durumda (2’şer kişilik oturma) N = 2R + 8.
  • İkinci durumda (3’er kişilik oturma) N = 3(R-5) + 2.
  • İki ifade eşitlenince R = 21.
  • R=21 için N=50 öğrenci bulunur.

Dolayısıyla bu sınıfta toplam 50 öğrenci vardır.

@ERDOGAN_DENIZ