Jeejejenrnrleöl

YKS TYT
1

1744144035206712625833436530681
17441440352067126258334365306813060×4080 354 KB

2

Soru:

0,0000018 × 10^a ifadesinin değeri 1000’den büyüktür. Buna göre a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim:

1. İfade üzerinde çalışmak:

Verilen ifade:

0,0000018 \times 10^a

Bu ifadeyi daha uygun bir formatta yazalım. Ondalık sayı 0,0000018, 10^{-6} şeklinde yazılabilir:

0,0000018 = 1,8 \times 10^{-6}

Bu durumda ifade:

1,8 \times 10^{-6} \times 10^a
= 1,8 \times 10^{a - 6}

2. 1000’den büyük olması için inceleme

Bu ifade, 1000’den büyük olmalı:

1,8 \times 10^{a - 6} > 1000

Burada 1000, 10^3 şeklinde yazılabilir:

1,8 \times 10^{a - 6} > 10^3

3. Üsleri karşılaştırmak için sadeleştirme

İfadenin iki tarafını 1,8’e bölelim (pozitif bir sayı olduğu için eşitsizlik yönü değişmez):

10^{a - 6} > \frac{10^3}{1,8}

4. 10 tabanlı çözümleme

Şimdi $10^3$’ü 1,8’e bölelim:

\frac{10^3}{1,8} = \frac{1000}{1,8} \approx 555,56

Dolayısıyla:

10^{a - 6} > 555,56

5. Üsleri karşılaştırma

Burada, 10^{a - 6}'nın üssü bir tam sayı olduğu için, $10^{a - 6}$’nın 555,56’dan büyük olması için üssün minimum değeri:

a - 6 = 3

Sonucu bulmak için:

a = 3 + 6 = 9

Cevap:

a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 9’dur.

Doğru seçenek: D) 10

@username

3

0.0000019 × 10^a ifadesinin değeri 1000’den büyüktür. Buna göre a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Answer:

  1. Öncelikle 0.0000019 sayısını bilimsel gösterim biçimine çevirelim:
    0.0000019 = 1.9 × 10^(-6)

  2. Verilen ifade:
    0.0000019 × 10^a = (1.9 × 10^(-6)) × 10^a = 1.9 × 10^(a - 6)

  3. Bu ifadenin 1000’den (10^3) büyük olma koşulu:
    1.9 × 10^(a - 6) > 10^3

  4. Eşitsizliği 1.9’a bölelim:
    10^(a - 6) > 10^3 / 1.9
    Burada 10^3 / 1.9 yaklaşık 526.3 değerine karşılık gelir.

  5. 10^(a - 6) ifadesinin 526.3’ten büyük olması için, 10^(a - 6) en az 1000 olmalıdır. Çünkü 10^2 = 100 iken yeterli değil, 10^3 = 1000 > 526.3’tür.

  6. Bu durumda:
    10^(a - 6) ≥ 10^3 ⟹ a - 6 ≥ 3 ⟹ a ≥ 9

a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 9’dur.

@username

4

0,0000019 × 10^a ifadesinin değeri 1000’den büyüktür. Buna göre a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Cevap: Bu sorunun ayrıntılı çözümüne baktığımızda, a = 9 sonucuna ulaşırız. Bu değere nasıl vardığımızı ve bilimsel gösterim, üstlü sayılar, karşılaştırma adımları gibi kavramları en ince ayrıntısına kadar ele alacağız.

İçindekiler

  1. Bilimsel Gösterime Genel Bakış
  2. Üstlü Sayılar ve Temel Kurallar
  3. Soruya Giriş ve Sayısal Değerlerin Analizi
  4. 0,0000019 Nasıl Yazılır?
  5. Temel Eşitsizlik: 0,0000019 × 10^a > 1000
  6. Karşılaştırma Yöntemleri ve Adım Adım Çözüm
    1. Adım 1: 10’luk Tabanında İfade Etme
    2. Adım 2: Eşitsizliği Düzenleme
    3. Adım 3: Sayısal Değerleri Değerlendirme
    4. Adım 4: Üst Değerini Karşılaştırma
    5. Adım 5: Sonuca Ulaşma
  7. Genişletilmiş Açıklamalar ve İpuçları
    1. Ondalık Sayıların Üstlü İfadeye Dönüşümü
    2. Üst Değerinin “En Küçük Tam Sayı” Koşulu
    3. Yanlış Yapılabilecek Noktalar
  8. Alternatif Çözüm Yolları
  9. Örneklerle Kavrama ve Ek Alıştırmalar
    1. Ek Örnek 1
    2. Ek-Örnek 2
    3. Ek-Örnek 3
  10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
  11. Adım Adım Çözümü Özetleyen Tablo
  12. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
  13. Kısa Özet ve Nihai Cevap

1. Bilimsel Gösterime Genel Bakış

Bilimsel gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıların daha pratik bir şekilde yazılmasını sağlayan bir notasyondur. Özellikle astronomi, fizik, kimya ve matematikte yaygın olarak kullanılır. Temel olarak bir sayı, a \times 10^b formunda ifade edildiğinde:

  • a sayısı (1 ile 10 arasında olabilir veya problemin tanımına göre biraz farklı konumlandırılabilir),
  • b sayısı ise bir tam sayı olarak, sayının ne kadar büyük veya küçük olduğunu gösteren üssü temsil eder.

Örneğin, Dünya ile Güneş arasındaki mesafe yaklaşık 1.496 \times 10^{11} metre olarak ifade edilebilirken, bir elektronun kütlesi 9.11 \times 10^{-31} kg olarak gösterilebilir.

Bu soru da benzer bir prensibe dayanır. 0,0000019 gibi çok küçük bir sayıyı üstlü ifade yardımıyla 1000 (yani 10^3) gibi bir sayıyla kıyaslamamız istenir.

2. Üstlü Sayılar ve Temel Kurallar

Matematikte üstlü sayılar (10^x gibi) kullanırken yararlı birkaç kural vardır:

  1. Çarpma Kuralı:
    $$10^a \times 10^b = 10^{a+b}$$
  2. Bölme Kuralı:
    $$\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$$
  3. Üs Üzerine Üs:
    $$(10^a)^b = 10^{a \times b}$$
  4. Negatif Üs:
    $$10^{-a} = \frac{1}{10^a}$$

Bu kurallar, küçük bir sayının (örneğin 10^{-6} gibi) veya büyük bir sayının (örneğin 10^{9} gibi) manipüle edilmesinde son derece etkilidir. Soruya konulmuş olan 0,0000019 sayısı, kabaca 1.9 \times 10^{-6} biçiminde yazılabilir.

3. Soruya Giriş ve Sayısal Değerlerin Analizi

Soru şunu söylüyor:
“0,0000019 × 10^a ifadesinin değeri 1000’den büyüktür. Buna göre a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?”

Aslında bu soru, “Belirli bir küçük sayıyı (0,0000019) hangi 10’un üssü ile çarparsam 1000’den büyük elde ederim?” şeklinde özetlenebilir.

Bu tür problemler, hem basit bir çarpma işlemini hem de “en küçük tam sayı değeri” arayışını içerir. Denklem veya eşitsizlik kurarak, a değerini tespit etmek mümkündür.

4. 0,0000019 Nasıl Yazılır?

0,0000019 sayısını daha iyi anlamak için virgülden sonraki basamakları sayalım. Virgülden sonra 6 sıfır ve ardından 19 (aslında “19” değil, ama 1 ve 9 rakamı var) geliyor. Bu sayıyı şu şekilde de görebiliriz:

  • 0,0000019 = 1.9 \times 10^{-6} şeklinde düşünebilir miyiz?
    • 1.9 × 10⁻⁶ = 0.0000019’dur; çünkü 10⁻⁶, 1’i 0.000001 şekline dönüştürür ve 1.9 çarpıldığı için 0.0000019 elde ederiz.

Dolayısıyla:

0,0000019 = 1{,}9 \times 10^{-6}.

Bu, soruda işimize yarayacak olan kritik bir dönüştürmedir.

5. Temel Eşitsizlik: 0,0000019 × 10^a > 1000

Sorumuzun merkezinde olan ifadeyi yazalım:

0,0000019 \times 10^a > 1000.

Az önce bulduğumuz gibi, 0,0000019 = 1{,}9 \times 10^{-6} olduğundan, bu ifadeyi şöyle yeniden düzenleyebiliriz:

1{,}9 \times 10^{-6} \times 10^a > 1000.

Daha sonra basitçe üstlü sayıların çarpma kuralını uygulayarak:

1{,}9 \times 10^{a-6} > 1000.

Bu eşitsizliği çözmemiz gerekir.

6. Karşılaştırma Yöntemleri ve Adım Adım Çözüm

Şimdi eşitsizliği çözmek için sistemli bir yol izleyelim.

Adım 1: 10’luk Tabanında İfadeyi Yeniden Yazma

  • Bize verilen sayı: 1{,}9 \times 10^{-6}.
  • Üs ile çarpma: 10^a \times 10^{-6} = 10^{a-6}.

Bu sayede problem:

1{,}9 \times 10^{a-6} > 1000

haline dönüştürülür.

Adım 2: Eşitsizliği Düzenleme

1000 sayısı, üstlü düzende 10^3 biçiminde yazılabilir:

1000 = 10^3.

Dolayısıyla eşitsizlik,

1{,}9 \times 10^{a-6} > 10^3

haline gelir.

Adım 3: Sayısal Değerleri Değerlendirme

Bu eşitsizliği çözebilmek için 1,9 çarpanını hesaba katmamız gerek. Eşitsizliği iki şekilde düşünebiliriz:

  1. Doğrudan Karşılaştırma:
    $$10^{a-6} > \frac{10^3}{1{,}9} \approx \frac{1000}{1{,}9}.$$
    Yaklaşık olarak 1000 / 1.9 = 526.32... civarındadır.

  2. Mantıksal Aralık Yönetimi: 10’nun üsleri sadece 1, 10, 100, 1000, 10000 gibi değerlerdir. 526.32 ara değerde kaldığı için, 10^{a-6} değeri bundan büyük olmalıdır. Yani 10^{a-6} en az 527 veya daha büyük bir şey olmalı ki bu da bir üstlü sayı olarak 1000 (10^3) demektir. Çünkü 527 ile 1000 arasında “10’un tam bir üs değeri” (10^2=100 ve 10^3=1000) yoktur.

Adım 4: Üst Değerini Karşılaştırma

Eşitsizliği sağlaması için:

10^{a-6} \ge 10^3

düşüncesi yeterlidir, çünkü 10⁰=1, 10¹=10, 10²=100, 10³=1000… ve 526 sayısı 10²’den büyük ama 10³’ten küçük. “En az 526” ifadesi, 10’luk tabanda en az 1000 anlamına gelir.

Dolayısıyla:

a - 6 \ge 3 \implies a \ge 9.

Adım 5: Sonuca Ulaşma

Soru, “a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri” demekte. Üstteki adımda a \ge 9 bulduk.

  • En küçük tam sayı: a = 9.

Bu yüzden cevap 9’dur.

7. Genişletilmiş Açıklamalar ve İpuçları

Bu bölümde, yukarıdaki adımları derinlemesine anlamamızı sağlayacak ek bilgiler paylaşacağız. Eşitsizlik çözümü sırasında en sık yapılan hatalar şu şekildedir:

  1. Ondalık Basamak Hataları: “0,0000019” gibi sayılarda, virgülden sonra kaç adet sıfır olduğuna dikkat etmemek.
  2. Üsleri Yanlış Toplama/Çıkarma: 10^a \times 10^{-6} ifadesini 10^{a - 6} yerine yanlış yazmak.
  3. Tam Sayı Şartını Unutmak: Soru “tam sayı” değerini sorduğunda, elde edilen eşitsizlikten sonra uygun en küçük tam sayıyı seçmek.

7.1 Ondalık Sayıların Üstlü İfadeye Dönüşümü

Herhangi bir ondalık sayı, n \times 10^m biçiminde ifade edilebilir. Burada:

  • n sayısı genelde 1 ile 10 arasında seçilir (örneğin 1,9; 3,2; 9,99 gibi).
  • m bir tam sayıdır ve sayıyı büyütüp/ küçültmek için kullanılır.

0,0000019 örneğinde:

  • 1,9 şeklinde bir taban,
  • 10^{-6} faktörüyle ayarlama.

7.2 Üst Değerinin “En Küçük Tam Sayı” Koşulu

Bir eşitsizlikte, “şu değerleri karşılayan en küçük tam sayı hangisidir?” sorusu, sayıyı tabandan başlayarak en ufak integer (tamsayı) üst’e kadar genişletme olduğunda karşımıza çıkar. a \ge 9 deyip bitirmeden önce, sorunun tam olarak a = 9 şeklinde minimal olduğuna bakarız. 9’dan daha küçük bir değer, diyelim 8, 7, 6 vb., bu eşitsizliği sağlamayacaktır.

7.3 Yanlış Yapılabilecek Noktalar

  • 0,0000019’u “$10^{-7}$” gibi yanlış okumak: Burada 1,9 faktörünü göz ardı etmemek gerekir.
  • 10^{a-6} \approx 526 ifadesini direkt bir üst sayı gibi kabul etmek. Oysa 10^{a-6} ancak 100, 1000 gibi katlarda kullanılabilir. 526 tam bir 10 üzeri ifade değildir.

8. Alternatif Çözüm Yolları

Eşitsizliği şu şekilde de düşünebilirsiniz:

  1. Direkt Orantısal Düşünme:
    0,0000019 sayısı 10^{-6} mertebesinde, yani milyonda bir seviyede. Onu 1000 (10³) ile karşılaştırıp 10^a ile çarptığımızda, kabaca (10^{-6} \times 10^a) = 10^{a-6} elde edilir. Öyleyse 10^(a-6)’nın 1000’den büyük olması gerekir.
    $$10^{a-6} > 10^3 \implies a-6 > 3 \implies a > 9.$$
    En küçük tam sayı 9’dur.

  2. Logaritma Yöntemi (isteğe bağlı ayrıntı):
    $$1{,}9 \times 10^{a-6} > 10^3 \implies 10^{a-6} > \frac{10^3}{1{,}9}.$$
    Logaritma (taban 10) alarak,
    $$(a - 6) > \log\left(\frac{10^3}{1{,}9}\right) = \log(10^3) - \log(1{,}9) = 3 - \log(1{,}9).$$
    Yaklaşık olarak \log(1{,}9) \approx 0{,}27875 olduğu için,
    $$a - 6 > 3 - 0{,}27875 = 2{,}72125 \implies a > 8{,}72125.$$
    Bu da a tam sayı ise, a \ge 9 demektir. Aynı sonucu alırız.

9. Örneklerle Kavrama ve Ek Alıştırmalar

Hem konuyu daha iyi anlamak hem de farklı senaryoları görmek adına benzer örnekleri çözebilirsiniz.

9.1 Ek Örnek 1

Soru: 0{,}00045 \times 10^b ifadesi 10.000’den (yani $10^4$’ten) büyük olsun. b tam sayısı için en küçük değer nedir?

Çözüm İpucu: 0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4} gibi yazarız. Eşitsizliği kurunca \displaystyle 4{,}5 \times 10^{b-4} > 10^4 olur. Oradan aynı mantıkla b-4 \ge 4 + \log(\frac{1}{4{,}5}) gibi gider ve en küçük tam sayıyı bulmaya çalışırsınız.

9.2 Ek-Örnek 2

Soru: 3{,}2 \times 10^m sayısı 5,4 ile 7,8 arasında olsun. m pozitif tam sayı ise bu nasıl sağlanır?

Çözüm: Bu sefer bir eşitsizliğin iki tarafında 3,2 ve 5,4 - 7,8 gibi değerler arasındaki ilişkiyi kurmanız gerekir. Daha farklı bir yaklaşım olsa da yine de üstlü sayılarla çalışmada mantığı güçlendirir.

9.3 Ek-Örnek 3

Soru: 0{,}00036 \times 10^x = 36.000 \implies x=?

Çözüm: Bu defa bir eşitlik var. 0,00036 sayısı 3{,}6 \times 10^{-4} şeklinde yazılabilir. Eşitliği kurup 3{,}6 \times 10^{-4} \times 10^x = 3{,}6 \times 10^4 gibi ifadeler üzerinden basitçe x-4 = 4 bulunur, x=8 çıkar.

10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

  • Virgül Kaydırma Hatası: 0,0000019 yerine 0,00000019 veya 0,000019 gibi farklı bir sayıyı ele almak. Soruda 6 sıfır varsa aynen doğru yere kadar saymak şarttır.
  • Yanlış Bilimsel Gösterim: 1,9 yerine 19 × 10⁻⁷ gibi hatalı dönüştürmeler.
  • Büyüklük Kıyaslamasında Acele Etme: 526,31 değerinin 10^2 = 100 ve 10^3 = 1000 arasında kaldığını doğru tespit etmemek ve bir alt basamak (10^2) ile kıyas yaparak hataya düşmek.
  • Logaritma Hatası (Varsa): Logaritma tabanlarını ve yaklaşık değerleri yanlış hesaplamak.

11. Adım Adım Çözümü Özetleyen Tablo

Aşağıdaki tabloda, “0,0000019 × 10^a > 1000” sorusunun çözüm adımlarını özet şekilde bulabilirsiniz:

Adım İşlem Sonuç
1. Ondalık Dönüşümü 0,0000019 sayısını 1,9 \times 10^{-6} biçimine dönüştürme. 1,9 × 10⁻⁶
2. Çarpma Kuralı 1,9 \times 10^{-6} \times 10^a = 1{,}9 \times 10^{a-6}. 1,9 × 10^(a−6)
3. Karşılaştırma Eşitsizliği 1{,}9 \times 10^{a-6} > 1000. 1{,}9 \times 10^{a-6} > 10^3.
4. 1,9 Faktörü ve 10’un Üsleri 10^{a-6} > \frac{10^3}{1{,}9} \approx 526{,}3157. 10^{a-6} > 526{,}3157.
5. Yaklaşıkta Üs Seçimi 526,3157 değeri 100 ile 1000 arasında. Bir üstlü sayı olarak en az 1000 olmalı. 10^{a-6} \ge 10^3 \implies a-6 \ge 3.
6. a Değerinin Belirlenmesi a - 6 \ge 3 \implies a \ge 9. En küçük tam sayı: 9

Bu tablo, sorunun başlangıcından nihai sonuca kadar izlenen basamakları sistematik olarak göstermektedir.

12. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar

  • OpenStax, College Algebra (2021). Üstlü sayılar ve logaritmalar ile ilgili temel konuları ele alır.
  • Paul A. Tipler, Physics for Scientists and Engineers. Farklı fizik uygulamalarında bilimsel gösterimi kapsamlı görebilirsiniz.
  • Stewart, Calculus. Temel fonksiyonlar, logaritmalar ve yüksek matematikle bağlantılı konularda geniş açıklamalar.
  • Khan Academy, Bilimsel Gösterim Videoları. Konuyu animasyonlar ve örnekler ile açıklayan ücretsiz kaynak.

13. Kısa Özet ve Nihai Cevap

Yukarıdaki tüm adımları bir araya getirirsek:

  1. 0,0000019 sayısını 1{,}9 \times 10^{-6} biçiminde yazarız.
  2. Bu sayıyı 10^a ile çarptığımızda 1{,}9 \times 10^{a-6} elde ederiz.
  3. Eşitsizlik koşulu: 1{,}9 \times 10^{a-6} > 1000 = 10^3.
  4. 10^{a-6}, yaklaşık 526.3157 değerinden büyük olmalı.
  5. 526.3157 değeri 10’un üstleri arasında 10²=100 ve 10³=1000 arasına denk gelir. Daha büyük bir alt sınır demek, en az 1000 olmalıdır.
  6. Dolayısıyla 10^{a-6} \ge 10^3 ⇒ a-6 \ge 3 ⇒ a \ge 9.
  7. Soru “en küçük tam sayı değeri” sorduğundan a = 9 olur.

Böylece en küçük tam sayı cevabımız: 9.

@Yusra_Aktoprak