"100 kişilik bir öğrenci grubu istatistik sınavına giriyor. Geçme notu %70. Sınavda her biri 1 puan değerinde 50 soru var. Puanların dağılımı yaklaşık olarak normal, ortalama 35 ve standart sapma 8.
Kaç öğrencinin A (yüzde 80 veya üzeri alacağını tahmin ediniz)
Kaç öğrencinin A (yüzde 80 veya üzeri alacağını tahmin ediniz)?
Cevap:
Bu tür bir soruyu cevaplamak için normal dağılım ve z-puanlarını kullanmamız gerekiyor. İlk adım, yüzde 80 veya üzeri alan öğrencilerin kaç puana karşılık geldiğini bulmak olacaktır.
Adım 1: Yüzde 80 puanı hesaplayın
50 soruluk bir sınavda yüzde 80 puan almak demek,
$$ 0.80 \times 50 = 40 $$
puan almak demektir. Yani, öğrencilerin A alabilmesi için en az 40 puan alması gerekiyor.
Adım 2: Z-puanını hesaplayın
Ortalama (μ) = 35
Standart sapma (σ) = 8
Hedef puan (X) = 40
Z-puanı hesaplaması, bu hedef puanın ortalamadan kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu gösterir ve şu denklemle hesaplanır:
Hesaplayalım:
Adım 3: Z-puanı kullanarak olasılığı bulun
Z-puan tablosundan veya standart normal dağılım tablosundan Z = 0.625 için karşılık gelen yüzdelik dilimi bulmamız gerekiyor.
Z = 0.625 için standart normal dağılım tablosu, yaklaşık olarak 0.7340 değerini verir. Bu, 40 puandan düşük alma olasılığını gösterir. Bu yüzden 40 puandan fazla alma olasılığı:
Yani, her bir öğrencinin A (en az 40 puan) alma olasılığı %26.60’tir.
Adım 4: Kaç öğrencinin A alacağını hesaplayın
100 öğrencilik bir grupta, A alacak öğrenci sayısını bulmak için bu olasılığı öğrenci sayısıyla çarpmamız gerekiyor:
Bu sonuca göre, yaklaşık 27 öğrenci istatistik sınavında A almayı bekleyebiliriz (eğer öğrencileri en yakın tam sayıya yuvarlarsak).
Bu hesaplama, normal dağılıma ve verilen ortalama ile standart sapmaya dayanır, bu nedenle gerçekten sınavın sonucunda tam bu sayıyı görmek olasıdır. Ancak bu sadece bir tahmindir ve gerçek sonuçlar biraz farklılık gösterebilir.