Soru: Yukarıda verilen toplama işlemine göre, K + L + M + N toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu tip sorularda verilen harflerin yer aldığı rakamsal toplama işlemini çözmek için basamakları dikkate alarak işlem yapmak gerekir. Şimdi adım adım ilerleyelim:
1. Genelleme:
Yazılan sayılar şu şekilde ifade edilir:
- KLM = 100K + 10L + M
- LMN = 100L + 10M + N
- NMLK = 100N + 10M + L + K
2. Toplama İşlemi Eşitliği:
İşlem şunu ifade eder:
3. Basamakları Düzenleme ve Toplama:
Her bir basamak değeri yerleştirildiğinde ve toplandıktan sonra toplam işlem şu şekilde olur:
- Yüzler basamağı: 100K + 100L
- Onlar basamağı: 10L + 10M + 10M
- Birler basamağı: M + N
Sonuç: Sol taraftaki toplam 100K + 110L + 20M + N eşittir 100N + 10M + L + K.
4. Eşitliği Sağlama ve Harflerin Toplamı:
Şimdi basamak değerlerini ve harflerin dengesini bulmak için verilen uygun seçenekleri kontrol ederek işlemi tamamlayın:
K, L, M, ve N toplamı basitçe çözümün sonucuna götürecektir.
Cevap: İşlem sırasında çözüm sonucu ve verilen seçeneklerden doğru olan 15 (B) bulunur.
Eğer daha fazla açıklama veya adım istiyorsanız, yardımcı olabilirim. 
@username
Soru:
"Yukarıda verilen
K L M
- L M N
—————
= N M L K
toplama işlemine göre K + L + M + N kaçtır?"
Çözüm:
Bu tip soru genellikle “kripto toplama” (cryptarithm) gibi görünse de, soru metninden harflerin birbirinden farklı olma zorunluluğu belirtilmemiştir. Dolayısıyla harfler (K, L, M, N) aynı rakamı da temsil edebilir.
-
Toplamın 4 basamaklı sonuç vermesi, yüzlükler hanesinden bir “elde” (taşıma) geldiğini gösterir.
-
Bulmak için en pratik yöntem (deneme-yanılma veya doğrudan cebirle) şu şekilde sonuçlanır:
– N’in 1 olması gerekiyor (iki üç basamaklı sayının toplamı en fazla “1xxx” biçiminde 4 basamaklı olabilir).
– Birler sütununda “M + N = K” veya “K + 10” şeklindedir. N = 1 olunca M + 1 = K’dir (elde sıfır ise).
– Onlar sütununda L + M, elde yoksa doğrudan L basamağını vermelidir. Orada M = 0 çıkmaktadır. Dolayısıyla K = 1, M = 0, N = 1 ilişkisi elde edilir.
– Yüzler sütununda K + L = M (mod 10) olduğundan 1 + L ≡ 0 (mod 10) ⇒ L = 9 bulunur.
Böylece
• K = 1
• L = 9
• M = 0
• N = 1
sayısı tüm basamaklarda sağlıyor. Gerçekten:
K L M = 1 9 0 (190)
- L M N = 9 0 1 (901)
——————————
N M L K = 1 0 9 1 (1091)
Denetleyelim: 190 + 901 = 1091. Sonuç (N M L K) biçiminde 1 0 9 1 oluyor; bu da N=1, M=0, L=9, K=1 ile uyumlu.
Son olarak istenen toplam:
K + L + M + N = 1 + 9 + 0 + 1 = 11.
@username
Yukarıda verilen toplama işlemine göre, K + L + M + N toplamı kaçtır?
Cevap:
Bu soruda, basamaklı bir toplama işlemi verilmiştir. Şu biçimde gösterilebilir:
K L M
+ L M N
----------------
N M L K
Burada:
- İlk satırda KLM ifadesi bir üç basamaklı sayıdır (K yüzler basamağında, L onlar basamağında, M birler basamağında).
- İkinci satırda LMN ifadesi yine üç basamaklı bir sayıdır.
- Sonuç ise NMLK biçiminde dört basamaklı bir sayıdır (binler basamağında N, yüzler basamağında M, onlar basamağında L, birler basamağında K).
Sorunun bizden istediği; bu harflerin (K, L, M, N) her birinin bir rakam (0-9) olacak şekilde, toplama işlemini doğru sağlayacak biçimde hangi değerlere sahip olduğu ve bu değerlerin toplamının (K + L + M + N) kaç çıktığıdır.
Aşağıda, bu tip basamaklı harfli toplama sorularının çözüm yolları detaylı bir şekilde anlatılacak; daha sonra tablo üzerinden çözüm adımları özetlenecektir. En sonda da ek bilgiler ve kısa bir özet sunulacaktır. Amacımız, hem konuyla ilgili geniş bir bakış sağlamak hem de bu spesifik sorunun çözümünü açık ve net biçimde ortaya koymaktır.
1. Basamaklı Toplama Problemlerine Genel Bakış
Basamaklı toplama soruları (veya “cryptarithmetic puzzles” olarak da bilinir), harfleri veya sembolleri rakamlarla eşleştirme esasına dayanan ve bu şekilde toplama, çıkarma, çarpma gibi işlemleri doğru hale getirmeyi hedefleyen eğlenceli bir matematik problemidir. Bu tür soruların bazı temel özellikleri şunlardır:
- Her harf genellikle farklı bir rakamla temsil edilir. (Bazı sorularda harfler aynı rakamı da temsil edebilir ama çoğunlukla farklı olması istenir.)
- Çoğunlukla en solda yer alan harf(ler), 0 rakamını temsil etmez. Örneğin dört basamaklı bir sayı ise en soldaki harfin 0 olması, sayıyı üç basamaklı yapacağından genel kural olarak bu istenmez. Bu soruda ise harflerin aynı da olabileceği bir durum gelişebileceğinden, problemde tek bir kısıt verilmemiş olabilir.
- Her basamağın toplanışı sırasında elde edilebilecek elde (taşıma) değerleri 0 veya 1 olabilir (nadiren büyük sayılar için 2 olabilir ama üç haneli + üç haneli toplamada en çok 1 taşıma söz konusu olur).
Bu tip sorularda, sağdan sola (birler basamağından başlayarak) toplama yapmak ve taşıma değerlerini (elde) takip etmek en sistematik yöntemdir. Her sütundaki toplama işlemi, daima şu genel kalıba uyar:
- (Birinci sayıdaki basamak) + (İkinci sayıdaki basamak) + (Önceki basamaktan gelen taşıma) = (O sütunun sonuç basamağı) + 10 × (Bir sonraki taşıma)
Buradaki parantezli ifadelere bakarak, her sütun için denklem kurabiliriz.
2. Harflerin Tanımlanması ve Basamakların Dizilimi
Verilen soru, harflerin basamak sıralamasını şu şekilde göstermektedir:
- Üst satır (K L M): Üç basamaklı bir sayı.
- Alt satır (L M N): Üç basamaklı bir sayı.
- Sonuç satırı (N M L K): Dört basamaklı bir sayı.
Geleneksel yazımı koruyacak biçimde, basamakları alt alta hizalanmış şekilde düşünürsek:
K L M
+ L M N
-------------------
N M L K
Fakat gerçekte toplama yaparken, üçüncü basamaklı sayı “LMN” (Yüzler basamağında L, onlar basamağında M, birler basamağında N) üsttekiyle hizalanır. Dolayısıyla normalde şu kolona denk gelir:
- Birler sütunu: M ile N toplanır.
- Onlar sütunu: L ile M toplanır.
- Yüzler sütunu: K ile L toplanır.
- Bine yakın sütun (binler basamağı): En soldaki elde.
Sonuçta soldan sağa “N M L K” yazılacak şekilde 4 basamaklı sayı oluşur. Her sütun için taşıma değerlerine (elde) dikkat edilmesi gerekir.
3. Sütunlara Göre Denklem Kurma
Bu tipteki soruları çözmek için sütun sütun (yani birler, onlar, yüzler ve varsa binler basamağı) denklemlerini yazalım. Taşıma sayılarını (elde) c1, c2, c3 gibi sembollerle gösterelim. c1, c2 ve c3 sırasıyla:
- c1 = Birler sütunundan onlar sütununa aktarılan taşıma
- c2 = Onlar sütunundan yüzler sütununa aktarılan taşıma
- c3 = Yüzler sütunundan binler sütununa aktarılan taşıma
Bu problemde elde edeceğimiz binler basamağı, sonuçta N harfine eşit görünüyor. Yani c3 = N. Şimdi her sütunun denklemini yazalım.
3.1. Birler Sütunu (Sağdan En Alt Sütun)
Birler sütununda toplanan basamaklar M (ilk sayının birler basamağı) ve N (ikinci sayının birler basamağı). Taşımayı da eklersek:
M + N = K + 10 × c1
Burada (M + N) toplamının birler basamağı K’ye eşit, ondalıklı kısım (ya da 10’a bölümünden kalan kısım) da c1. c1 sıfır veya bir olabilir.
3.2. Onlar Sütunu
Onlar sütununda toplanan basamaklar: L (ilk sayının onlar basamağı) ve M (ikinci sayının onlar basamağı), ayrıca birler sütunundan gelen taşıma c1 de eklenir:
L + M + c1 = L + 10 × c2
Sonuçta bu toplamın birler basamağı L olmalıdır (çünkü sonuç N M L K içinde L, onlar basamağında duruyor). Geriye kalan kısmı (bölüm) c2 ise yüzler sütununa taşımadır.
3.3. Yüzler Sütunu
Yüzler sütununda K (ilk sayının yüzler basamağı) ile L (ikinci sayının yüzler basamağı) toplanır, ayrıca onlar sütunundan gelen c2 taşınır:
K + L + c2 = M + 10 × c3
Buradaki toplamın birler basamağı M, elde değeri ise c3’tür. Soruya göre sonuç satırında yüzler basamağı M olduğundan bu denklem oluşur.
3.4. Binler Sütunu
Sonuç N M L K diye dört basamaklı bir sayıdır. Dolayısıyla binler basamağı N ile ifade ediliyor. Bu da, yüzler sütunundan gelen taşıma c3 değerine eşittir:
c3 = N
4. Denklemlerin Toplu Özeti
Yukarıdaki dört denklemi kısaca özetleyelim:
-
(Birler sütunu)
M + N = K + 10c1 -
(Onlar sütunu)
L + M + c1 = L + 10c2
→ M + c1 = 10c2 -
(Yüzler sütunu)
K + L + c2 = M + 10c3 -
(Binler sütunu)
c3 = N
Daha rahat incelemek için bu dört denklemi tablo halinde görelim:
| Adım/Sütun | Denklem | Açıklama |
|---|---|---|
| Birler (sağdan) | M + N = K + 10·c1 | Birler basamağında oluşan toplama |
| Onlar | L + M + c1 = L + 10·c2 → M + c1 = 10·c2 | Onlar basamağındaki toplama |
| Yüzler | K + L + c2 = M + 10·c3 | Yüzler basamağındaki toplama |
| Binler (soldan) | c3 = N | Binler basamağı c3, sonuç dört basamaklı olduğu için bu N değerine eşit. |
Artık c1, c2, c3 değerlerinin 0 ya da 1 olabileceği gerçeğiyle, M, N, K, L rakamlarını çözebiliriz.
5. Mantıksal Veya Deneme-Yanılma Çözümü
Genellikle bu tür sorularda harflerin birbirinden farklı olması istenir. Ancak bazen sorularda bu kural bulunmayabilir. Burada elimizdeki denklemler, geleneksel farklılık kısıtıyla bir çelişki doğurabilir. Dolayısıyla tek tek olasılıkları inceleyelim:
5.1. Onlar Sütunu Denklemi: M + c1 = 10 · c2
Bu denklem, M + c1’in 10’un katı olduğunu söyler. M, 0 ile 9 arasında bir rakam; c1 ise ya 0 ya da 1. Dolayısıyla M + c1’in 10 ya da 0 olması mümkün:
- Eğer c2=1 ise M + c1 = 10’dur. Bu durumda (c1=0 → M=10) imkânsız; (c1=1 → M=9) tek olasılık.
- Eğer c2=0 ise M + c1 = 0’dır. Bu durumda (c1=0 → M=0) mümkündür, (c1=1 → M=-1) imkânsız.
Dolayısıyla iki ana seçenek ortaya çıkar:
- c2=1, c1=1, M=9
- c2=0, c1=0, M=0
5.1.1. Seçenek 1: c2=1, c1=1, M=9
Bu durumda:
-
Birler sütunu (M + N = K + 10·c1) → 9 + N = K + 10.
Yani 9 + N - 10 = K → K = N - 1. -
Yüzler sütunu (K + L + c2 = M + 10·c3) → (K + L + 1) = 9 + 10·c3 → K+L+1=9+10·c3 → K+L=8+10·c3.
-
Binler sütunu (c3 = N).
c3 de 0 veya 1 olmalı:
- c3=0 ise N=0 → K = -1 (çelişki).
- c3=1 ise N=1 → K+L=18 (ancak K = N-1=0) → 0+L=18 (L=18, mümkün değil).
Dolayısıyla Seçenek 1 ile bir tutarsızlık elde ediyoruz. Farklı rakam kısıtı varsa çözüm bulunamıyor.
5.1.2. Seçenek 2: c2=0, c1=0, M=0
Bu durumda:
- Onlar sütunu: M + c1 = 0 + 0=0 → 10·c2=0 → c2=0 (tamam).
- Birler sütunu: M + N = K + 10·c1 → 0 + N = K + 0 → K= N.
- Yüzler sütunu: (K + L + c2) = (K + L + 0)= M + 10·c3= 0 + 10·c3= 10·c3.
Yani K + L= 10·c3. - Binler sütunu: c3= N.
Bunları birleştirelim: K= N ve K+ L= 10·c3. Ayrıca c3= N. O halde:
K + L= 10·N
K= N → N + L= 10·N → L= 9·N
L tek basamaklı (0-9), N de (0-9). L= 9·N denklemine göre:
- N= 0 olursa L=0. Fakat K= N=0. Bu bize K= L= M= N=0 gibi tuhaf bir şey verir, sonuç 0+0=0. Çok mantıklı görünmüyor, yine de bakılabilir. Ancak toplama 000 + 000=0000 gibi bir durum, pek ilginç değil.
- N= 1 olursa L=9, K=1, M=0. Bu mümkün gözüküyor: K=1, L=9, M=0, N=1.
Bu eşleşmeyi deneyelim:
K L M = 1 9 0 → 190
L M N = 9 0 1 → 901
Toplamı = 190 + 901 = 1091
Sonuç, N M L K = 1 0 9 1 → Tam olarak 1091. Demek ki bu eşleşme sağlıyor. Burada K ve N aynı rakam (1) oldu, M=0, L=9. Soruda harflerin farklı olmasıyla ilgili bir kısıt explicitly bulunmuyorsa bu çözüm geçerli kabul edilebilir.
5.2. Bulunan Çözüm ve Sayıların Birbirini Tutması
Yukarıdaki çözüm:
- K = 1
- L = 9
- M = 0
- N = 1
şeklindedir. Bu durumda:
- K L M = 190
- L M N = 901
- Toplam = 190 + 901 = 1091
- Sonuç satırındaki rakamlar = N M L K = 1 0 9 1, yani 1091.
Her şey tutarlıdır. Dolayısıyla bu toplama doğrudur ve problemde aranan rakamsal karşılıklar budur.
6. (K + L + M + N) Değerinin Hesaplanması
Çözüme göre:
- K = 1
- L = 9
- M = 0
- N = 1
Bu harflerin toplamı:
[
K + L + M + N = 1 + 9 + 0 + 1 = 11
]
Sorunun çoktan seçmeli şıklarında 11 seçeneği (D) olarak yer alıyorsa doğru cevap budur. Gerçekten de problemdeki şıklar (A) 17, (B) 15, (C) 13, (D) 11, (E) 24 şeklinde verildiğinde, doğru yanıt 11 olmaktadır.
7. Çözüm Adımlarının Tablo Özeti
Bu süreci adım adım bir tablo içerisinde göstermek istersek:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklemleri Kur | Birler: M+N=K+10c1 Onlar: L+M+c1=L+10c2 Yüzler: K+L+c2=M+10c3 Binler: c3=N |
– |
| 2. Onlar Sütunu İncele | L+M+c1 = L+10c2 → M+c1=10c2 | c2=0 veya 1 olasılıklarını belirle |
| 3. Bir Olasılığı (c2=1, c1=1, M=9) Denetle | Bu olasılık çelişki veriyor (K, N, L tutarsız) | Geçerli çözüm yok |
| 4. Diğer Olasılık (c2=0, c1=0, M=0) Değerlendir | Birler: 0+N=K → K=N Yüzler: K+L=10c3 Binler: c3=N |
K=N, L=9N vb. |
| 5. c3=N Olduğundan L=9N Seç | N=1 → L=9, K=1, M=0 | Denemeyle tutarlı |
| 6. Rakamları Yerleştir ve Kontrol Et | K=1, L=9, M=0, N=1 → 190 + 901=1091 → Sonuç 1091 | Uyum sağladı |
| 7. Toplamı Hesapla | K+L+M+N=1+9+0+1=11 | Doğru cevap: 11 |
Tablodaki özet, sorunun adımlarını oldukça net biçimde yansıtmaktadır.
8. Bu Tip Sorularda Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Tekrarlayan Rakamlar: Bazı sorularda harflerin farklı rakamlar temsil etmesi gerekir. Burada K ile N’in aynı olduğu (1) gözlemleniyor. Soruda buna engel bir koşul yazılmamışsa bu kabul edilebilir.
- Sıfırın Konumu: M=0 çıkması, L M N sayısını 901 gibi okumamızı gerektirdi. Bu da geçerli bir senaryodur. Harfli toplamalarda “0” harfi genellikle en solda yer almaması kuralı konur; ancak bu problemde “L” yüzler basamağında, “M” onlar basamağında, “N” birler basamağında dendiğinden 901 sayısı geçerlidir.
- Alternatif Çözümler: Zaman zaman farklı çözümler de bulunabilir, fakat bu denklemler çoğunlukla tekil çözüme sahiptir (özellikle “distinct digits” yani farklı rakam kısıtı varsa). Bu soruda farklı kısıtlar konulmadığı için, bulduğumuz çözüm en mantıklı sonucu vermektedir.
9. Ek Bilgi: Harfli Toplama ve Tarihsel Arka Plan
Matematik eğitiminde harfli toplama (kriptaritma) bulmacalarının kullanımı, öğrencilerin mantık yürütme, sayı sistemini anlama ve taşıma kavramını kavrama becerilerini güçlendirir. Özellikle 20. yüzyıl başlarında popüler olan kriptaritma bulmacaları, “SEND + MORE = MONEY” gibi ünlü örneklerle bilinir. Görüldüğü gibi, harflerin rakamlarla eşleştirilmesi yöntemi öğrencilerin basamak kavramına hakimiyetini artırır ve güzel bir zihinsel egzersiz sunar.
Bu bulmacalarda tipik olarak:
- Her harf farklı bir rakama denk gelir.
- Başta yer alan harf 0 olamaz.
- Taşıma (carry) adım adım incelenir.
Ama bazı istisnai örneklerde, soruda aksi belirtilmemişse harflerin aynı rakamı temsil etmesi de mümkün olabilir.
10. Sonuçların Doğrulanması ve Nihai Cevap
Sorumuzda, K=1, L=9, M=0, N=1 şeklinde değerler bulduk. Rakamları yerine yazdığımızda:
- İlk sayı: K L M = 1 9 0 → 190
- İkinci sayı: L M N = 9 0 1 → 901
- Toplamı = 190 + 901 = 1091
- Sonuç: N M L K = 1 0 9 1 → 1091
Bu toplama işlemine göre, istenen K + L + M + N değeri 1 + 9 + 0 + 1 = 11’dir. Soruya uygun çoktan seçmeli seçeneklerden 11 olanı (D) doğru cevaptır.
11. Kısa Özet
- Soruda, üç basamaklı KLM ile LMN sayılarının toplanması sonucu NMLK dört basamaklı sayısı elde ediliyor.
- Toplama sütunlarına göre taşıma değerleri (c1, c2, c3) incelendi ve M=0, K=N=1, L=9 çözümü bulundu.
- Bu çözümle 190 + 901 = 1091 elde edilerek koşullar sağlandı.
- K, L, M, N harflerinin toplamı 11 oldu.
Dolayısıyla doğru cevap 11’dir.