Düzgün onikigen x kaçtır?
Cevap: Aşağıdaki gibi düşünebiliriz:
-
Düzgün 12‐genin merkezine O diyelim ve köşeleri A_0,A_1,\dots,A_{11} biçiminde saat yönünde numaralandıralım. Her komşu köşe arasındaki merkez açısı 30°’dir.
-
Soruya göre K ile M arasındaki ve L ile N arasındaki köşegenler 6 birim uzunluğunda olsun. Düzgün 12‐gende iki köşe arasında 2 köşe atlanarak (yani arada 2 kenar kalacak şekilde) çizilen köşegenin uzunluğu
KM = 2R \sin\bigl(2\times 30^\circ/2\bigr) = 2R \sin(30^\circ) = Rolur (burada R çokgenin çevrel (circum) yarıçapıdır).
Bu köşegen 6 birim olduğuna göreR = 6. -
Bir kenarın (yani arada 0 köşe atlanan kesimin) uzunluğu ise
s = 2R \sin\bigl(1\times 30^\circ/2\bigr) = 2 \times 6 \times \sin(15^\circ) = 12\,\sin(15^\circ).Bilindiği gibi \sin(15^\circ) = \tfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} olduğundan
s = 12 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 3\,(\sqrt{6} - \sqrt{2}). -
Sorudaki şekil, K ile M (2 köşe atlamış) ve L ile N (yine 2 köşe atlamış) köşegenleri 6 birim olarak verilmişse, L ile M arasında yalnızca 1 kenar fark olabilir. Dolayısıyla L ile M arası mesafe bir kenar uzunluğuna eşittir. Bu da
x = s = 3(\sqrt{6} \;-\; \sqrt{2})biçiminde bulunur (sayısal yaklaşık değeri yaklaşık 3,10’dur).
Özet Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Merkez Açısı | 12‐genin her kenarı arasındaki merkez açısı 30° | – |
| 2. 2 Köşe Atlama Köşegeni | KM = 2R \sin(2\times 30^\circ/2) = R. Verilen KM=6 ise R=6. | R = 6 |
| 3. Kenar Uzunluğu | s = 2R \sin(15^\circ) = 12 \sin(15^\circ). | s = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) |
| 4. İstenen Mesafe | L ile M komşu kenarlarsa x = s = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) | x = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 3,10 |
Cevap: x = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) @RpCasio