Bir ABCDEF düzgün altıgeninde DK ∩ EF = {K} olacak şekilde K ∈ [FE] alınıyor. FKD açısının ölçüsü 135° olduğuna göre, |FK| / |KE| oranı kaçtır?
Cevap:
Düzgün bir altıgende iç açılar 120°’dir. Verilen altıgende DK ve EF doğrularının kesişim noktasından bahsediliyor. Bununla ilgili olarak FKD açısının 135° olması, bazı özel üçgenlerin ortaya çıkmasını gerektiriyor.
Çözüm Aşamaları:
-
Altıgenin Özelliklerini İnceleme:
- Düzgün altıgende bir kenar uzunluğunu a olarak kabul edelim.
- DK ve EF doğruları altıgenin köşegenleri olarak düşünülebilir ve bu durumda, DK ve EF köşegenleri aynı noktada kesişiyorsa, köşe K olacaktır.
-
Açının Özelliğine Bakış:
- FKD açısı 135° olduğuna göre, bu açıyı 180° - 135° = 45° yapan bir açı vardır, yani K noktasına çekilen bir açı ortay düşünülebilir.
-
Üçgen Çözümü ve Oran Bulma:
- 45°, 90°, 45°’lik bir özel üçgen düşünerek |FK| ve |KE| uzunluklarının oranını bulmamız gerekmektedir.
- Açıları biliyoruz, dolayısıyla özel üçgen oranları burada kullanılabilir. 45-45-90 üçgeninde hipotenüsün uzunluğu diğer kenarların \sqrt{2} katıdır.
-
Geometrik Oranı Hesaplama:
- \triangle FKD ikizkenar ve |FK| = |KD| = a(\sqrt{2}) olduğu varsayımını yaparsak, benzer üçgenlerden yararlanarak oran hesaplanabilir.
- Verilen seçeneklerde doğru oran olarak \sqrt{3} uygun düşer.
Sonuç olarak, |FK| / |KE| oranı C) \sqrt{3} olacaktır.