Soru: Analitik düzlemde, ( A(1, 1) ), ( B(1, 7) ) ve ( C(6, 10) ) noktaları ile bir ABCD karesi oluşturuluyor. Bu karenin diğer köşesi ((D)) noktası olduğu düşünüldüğünde ( |AD| ) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm: Adımlar
-
Kare Tanımı:
Kare, tüm kenar uzunlukları eşit ve iç açılarının tümü (90^\circ ) olan bir dörtgendir. Bu durumda ( |AB| = |BC| = |CD| = |DA| ) olmalıdır. -
Köşe Noktaları ve Uzunluk Hesabı:
- ( A(1,1) )
- ( B(1,7) )
- ( C(6,10) )
Bu verilere göre geometrik olarak köşe noktalar kalkıp analitik denklemleri değerlendireceğiz.
-
İlk Kenar Uzunluğu ( |AB| ):
( |AB| ), ( A ) ve ( B ) noktalarının arasındaki mesafe formülüyle hesaplanır:|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}( A(1,1) ), ( B(1,7) ). Koordinatlar yerine koyarsak:
|AB| = \sqrt{(1-1)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6Yani ( |AB| = 6 ).
-
Köşe D (^\prime ): İlk Gereki verir
Soru çözümü teknik bir sorun nedeniyle tamamlanamadı. Lütfen biraz bekleyin, tekrar çözüyorum!
Analitik düzlemde A(2, 1), B(7, 1) ve C(a, 6) noktaları bir ABCD karesinin köşeleridir. Bu kare, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde A’B’C’D’ karesi elde ediliyor. Buna göre |AD’| kaç birimdir?
Cevap:
Bu soruda, öncelikle karesinin köşeleri verilen ABCD için tüm noktaların koordinatlarını belirlememiz ve ardından saat yönünde 90°’lik dönüşüm sonucu oluşan A’D’ arasındaki uzaklığı hesaplamamız gerekir.
1. Karesinin Kenar Uzunluğu ve C Noktasının Koordinatı
-
A ile B noktaları arasında,
- A(2, 1) ve B(7, 1) olduğundan, vektör AB = (7 - 2, 1 - 1) = (5, 0)
- Bu vektörün uzunluğu:
$$|AB| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5.$$
Yani kare kenar uzunluğu 5 birimdir.
-
B ile C vektörü, karesel yapı gereği AB’ye dik ve aynı uzunlukta olmalıdır. Dolayısıyla BC vektörü de uzunluğu 5 olan ve AB’ye dik bir vektördür.
- B(7,1), C(a,6),
- BC = (a - 7, 6 - 1) = (a - 7, 5).
- AB · BC = 0 olması için (5,0) · (a-7,5) = 5(a-7) + 0·5 = 0 gerekir.
Buradan a - 7 = 0 ⇒ a = 7 çıkar. - Böylece C(7, 6) olur.
-
Son olarak D noktası da A(2,1) ve C(7,6) dikkate alınarak kare tamamlanacak şekilde D(2,6) bulunur (A ile D de kenar olup 5 birimdir).
2. Kareyi Orijin Etrafında Saat Yönünde 90° Döndürme
Bir noktayı orijin (0,0) etrafında saat yönünde 90° döndürmek için dönüşüm
$$(x, y) ;;\mapsto;; (,y,,-x,)$$
kullanılır.
Aşağıda kare köşelerinin dönüşümlere uğramış (A’, B’, C’, D’) koordinatları gösterilmiştir:
- A(2, 1) → A’ = (1, -2)
- B(7, 1) → B’ = (1, -7)
- C(7, 6) → C’ = (6, -7)
- D(2, 6) → D’ = (6, -2)
3. |AD’| Uzaklığını Hesaplama
Şimdi istenen mesafe, orijinal A noktasıyla döndürülmüş D’ noktası arasındaki uzaklıktır:
- A = (2, 1), D’ = (6, -2)
- Vektör AD’ = (6 - 2, -2 - 1) = (4, -3)
- Uzaklık:|AD'| \;=\; \sqrt{4^2 + (-3)^2} \;=\; \sqrt{16 + 9} \;=\; \sqrt{25} \;=\; 5
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Kenar Uzunluğu | AB vektörünün uzunluğu | 5 birim |
| 2. C Noktasını (a,6) Bulma | Diklik ve uzunluk koşulundan a=7 | C(7,6) |
| 3. D Noktası | ABCD’nin kare olması | D(2,6) |
| 4. Saat Yönünde 90° Dönüşüm Formülü | (x, y)\to(y, -x) | A’(1, -2), D’(6, -2) vb. |
| 5. | AD’ | Hesaplama |
Sonuç ve Kısa Özet
Bu aşamalardan sonra |AD’| = 5 birim bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 5tir.
@Halil_İbrahim_YİĞİT
Analitik düzlemde A(2, 1), B(7, 1) ve C(a, 6) noktaları bir ABCD karesinin köşeleridir. Bu kare orijin etrafında saat yönünde 90° döndürülerek A’B’C’D’ karesi elde ediliyor. Buna göre |AD’| kaç birimdir?
Çözüm:
-
Öncelikle verilen A(2, 1) ve B(7, 1) noktalarından, |AB| kenar uzunluğunu bulalım:
- A → B vektörü = (7 − 2, 1 − 1) = (5, 0)
- |AB| = 5 birim
-
C noktasının (a, 6) olduğundan söz ediliyor ve ABCD bir karedir. Karede |BC| = |AB| = 5 olmalıdır. Dolayısıyla B(7, 1) → C(a, 6) vektörünün uzunluğu 5 olmalıdır:
|BC|² = (a − 7)² + (6 − 1)² = (a − 7)² + 25
Bunun 5² = 25’e eşit olması gerekir:
(a − 7)² + 25 = 25
(a − 7)² = 0 → a = 7
Yani C(7, 6)’dır. -
D noktasını bulmak için, kareyi A-B-C-D sırası ile dolaştığımızı varsayalım. Kenarlar paralelkenar ilişkisiyle A → D vektörü, B → C vektörüne eşit olacaktır. B(7,1) → C(7,6) = (0,5) ise A(2,1) üzerine ekleyerek:
D = A + (0, 5) = (2, 1) + (0, 5) = (2, 6) -
Böylece kare köşeleri:
A(2,1), B(7,1), C(7,6), D(2,6) -
Karenin orijin (0,0) etrafında 90° saat yönünde döndürme dönüşümü, (x, y) → (y, −x) kuralı ile yapılır. Dönüşüm sonrası:
- A(2,1) → A’(1, −2)
- B(7,1) → B’(1, −7)
- C(7,6) → C’(6, −7)
- D(2,6) → D’(6, −2)
-
Aranan |AD’| mesafesi:
A(2,1) ile D’(6, −2) arasındaki uzaklık:
Δx = 6 − 2 = 4
Δy = (−2) − 1 = −3
|AD’| = √(4² + (−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Dolayısıyla, |AD’| = 5 birimdir.
@username