Sorunun Çözümü:
Adım 1 – Köşelerdeki Asal Sayılar:
Şekilde düzgün beşgenin köşelerine yazılan asal sayılar şunlardır:
- 2
- 3
- 5
- 11
- 13
Adım 2 – Beşgenin İç Bölgesine Yazılabilecek Sayılar:
Düzgün beşgenin iç bölgesine bu asal sayıların çarpımı olan bir sayı yazılması gerekiyor. Bu yüzden köşelerdeki asal sayıların çarpımı veya asal sayıların çarpanlarını içeren bir sayı bulmaya çalışmamız gerekiyor.
Bu asal sayıları çarpalım:
Adım adım:
Yani tüm asal sayıların çarpımı 4290 olur. Ancak soruda verilen seçeneklerde bu tam çarpıma gerek yok; asal sayıların çarpanlarını içeren bir sayı olup olmadığını kontrol edeceğiz.
Adım 3 – Seçenekleri Kontrol Edelim:
Verilen seçeneklerde asal sayıların çarpanlarını içeren bir sayı arayacağız:
-
A) 57: Asal çarpanlarına ayıralım.
$$57 = 3 \cdot 19$$
Bu çarpanlarda sadece 3 asal listemizde mevcut, ancak 19 asal listede yok. Dolayısıyla içermez. -
B) 85: Asal çarpanlarına ayıralım.
$$85 = 5 \cdot 17$$
Bu çarpanlarda sadece 5 asal listemizde mevcut, ancak 17 asal listede yok. Dolayısıyla içermez. -
C) 87: Asal çarpanlarına ayıralım.
$$87 = 3 \cdot 29$$
Bu çarpanlarda sadece 3 asal listemizde mevcut, ancak 29 asal listede yok. Dolayısıyla içermez. -
D) 91: Asal çarpanlarına ayıralım.
$$91 = 7 \cdot 13$$
Bu çarpanlarda 7 asal listede değil, ancak 13 asal listemizde mevcut. İçerdiği tek bir çarpan yetersiz. -
E) 96: Asal çarpanlarına ayıralım.
$$96 = 2^5 \cdot 3$$
Burada 2 ve 3 asal listede mevcut. Yani asal sayıların çarpanlarından tamamen türetilmiştir.
Sonuç:
Düzgün beşgenin iç bölgesinde yer alabilecek sayı E şıkkıdır (96).
@username
Şekildeki beşgen köşelerindeki asal sayılar sırasıyla 2, 3, 5, 11 ve 13’tür. Bir sayının beşgenin içine yazılabilmesi için tüm asal çarpanlarının sadece bu beş asal sayıdan oluşması gerekir. Aşağıdaki her seçeneği tek tek inceleyelim:
-
57
- Asal çarpanlarına ayrıldığında 57 = 3 \times 19 olur. Burada 19 asal sayısı, 2-3-5-11-13 kümesinde olmadığı için 57 uygun değildir.
-
85
- Asal çarpanlarına ayrıldığında 85 = 5 \times 17 olur. Burada 17 asal sayısı, 2-3-5-11-13 kümesinde olmadığı için 85 uygun değildir.
-
87
- Asal çarpanlarına ayrıldığında 87 = 3 \times 29 olur. Burada 29 asal sayısı, 2-3-5-11-13 kümesinde olmadığı için 87 uygun değildir.
-
91
- Asal çarpanlarına ayrıldığında 91 = 7 \times 13 olur. Burada 7 asal sayısı, 2-3-5-11-13 kümesinde olmadığı için 91 uygun değildir.
-
96
- Asal çarpanlarına ayrıldığında 96 = 2^5 \times 3 şeklinde elde edilir. Bu çarpanların tümü (2 ve 3) mevcut beş asal sayımız içinde yer aldığından 96 söz konusu beşgenin içine yazılabilir.
Dolayısıyla düzgün beşgenin iç bölgesinde yer alabilecek sayı yalnızca 96’dır.
Özeti Tablo
| Seçenek | Sayı | Asal Çarpanları | Yalnızca {2,3,5,11,13} İçeriyor mu? |
|---|---|---|---|
| A | 57 | 3 × 19 | Hayır (19 sette yok) |
| B | 85 | 5 × 17 | Hayır (17 sette yok) |
| C | 87 | 3 × 29 | Hayır (29 sette yok) |
| D | 91 | 7 × 13 | Hayır (7 sette yok) |
| E | 96 | 2⁵ × 3 | Evet (sadece 2 ve 3 var) |
Doğru cevap: 96
Şekildeki düzgün beşgenin iç bölgesine, köşelerdeki 2, 3, 5, 11 ve 13 asal sayılarını (gerekirse tekrar ederek) çarparak elde edilebilen sayılar yazılacaktır. Buna göre seçeneklerden hangisi bu şekilde yazılabilir?
Cevap:
Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayıralım ve yalnızca 2, 3, 5, 11 ve 13 sayılarını kullanıp kullanamadığımıza bakalım:
• 57 = 3 × 19 (19 listede yok)
• 85 = 5 × 17 (17 listede yok)
• 87 = 3 × 29 (29 listede yok)
• 91 = 7 × 13 (7 listede yok)
• 96 = 2⁵ × 3 (Yalnızca 2 ve 3 kullanılıyor, ikisi de listede var!)
Dolayısıyla yalnızca 96, köşelerdeki asal sayıların (2 ve 3) çarpımlarıyla elde edilebilir.
Doğru seçenek: E) 96
@username