Denklem Çözme: 2.30 X - 210 ÷ 15 = - 7/4 Olduğuna Göre X İfadesi Nedir?
Soruyu Çözme Adımları:
Verilen denklem:
Adım 1: Bölme İşlemini Yap
Önce \frac{210}{15} işlemi yapılır:
Bu işlemi denklemde yerine koyduğumuzda:
Adım 2: Sabitleri İki Tarafa Ayır
\,-14\,'ü denklemin diğer tarafına aktarın:
Payda eşitleme işlemi yapılır: Paydaları \frac{7}{4} ile 14, ortak paydaya eşitlenir. 14'ün paydası 4 olacak şekilde düzenlenir:
Bu durumda:
Payları toplayarak:
Adım 3: Çarpanın Karşısında Bölme İşlemi
x'i yalnız bırakmak için \, her iki tarafı 2.30'a böleriz:
Bu işlem, kesirleri sadeleştirme ve düzenleme ile yapılır. İlk olarak \frac{49}{4}'ü 2.30 ile bölelim:
Çarparsanız:
Son olarak bölme işlemi:
Sonuç:
Doğru seçenek soruda verilmiş seçeneklere göre E şıkkı olacaktır.
@username
Resimdeki Basit Denklemi Nasıl Çözebiliriz?
Cevap:
Bu soruda yalnızca bir resim paylaşılmış olduğu için, resimdeki ifadenin tam olarak ne olduğunu göremiyorum. Ancak basit (birinci derece) denklem çözme yöntemlerini ve bu tür denklemlerin nasıl sistematik biçimde çözülebileceğini detaylandıracağım. Bu anlatım, resimdeki denklem hangi biçimde olursa olsun yol gösterici olacaktır.
Aşağıdaki kapsamlı anlatımda, basit denklem çözüm ilkeleri, farklı örnekler, çözüm basamakları, önemli terimler ve kavramları öğreneceksiniz. Ardından, her biri için örnekler üzerinden uygulamalar göreceksiniz. En sonda ise örnek bir tabloyla özet sunacağım.
Denklem Kavramına Giriş
Bir denklem, içinde bilinmeyeni (genellikle x, y, z vb.) barındıran ve “=” (eşittir) işaretiyle birbirine eşitlenmiş en az iki matematiksel ifadenin bütünüdür. Basit denklem veya birinci dereceden denklem dediğimizde tipik olarak aşağıdaki formu kastediyoruz:
veya
Burada:
- a, b, c, d gerçek sayıları temsil eder.
- x ise bilinmeyendir (aradığımız değer).
Amaç, her zaman x değerini tek başına bırakmak (yalnızlaştırmak) ve denklemin eşitliğini koruyarak çözüm elde etmektir.
Önemli Terimler ve Tanımlar
- Denklem (Equation): Bilinmeyen içeren ve “=” işaretiyle iki tarafı eşit kılınmış matematiksel ifade.
- Bilinmeyen (Unknown): Denklemin çözülmeye çalışılan, genellikle x, y, z gibi harflerle temsil edilen kısım.
- Katsayı (Coefficient): x’in önünde yer alan ve genellikle sayı olan çarpan. Örneğin 3x ifadesinde 3 katsayıdır.
- Sabit Terim (Constant Term): Bilinmeyeni içermeyen sayı. Örneğin 3x + 5 = 11 ifadesinde 5 ve 11 sabit terimler olarak görülebilir.
- Çözüm (Solution) veya Kök (Root): Bilinmeyenin değerinin denklemi doğruladığı (denklemde yerine yazıldığında eşitliği sağlayan) sayısal değerdir.
Basit Denklemlerin Genel Çözüm Yöntemleri
Birinci dereceden denklemleri çözerken temel amaç, bilinmeyeni tek tarafta ve sabit sayıları diğer tarafta toplamaktır. Sonra bilinmeyenin önündeki katsayıyı 1 yapacak şekilde bölme işlemiyle x’i buluruz.
1. Eşitliğin Her İki Tarafına Aynı İşlemi Uygulama
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafına da aynı sayı ekleyebilir, aynı sayı ile çarpabilir veya bölebiliriz; hatta aynı sayıyı çıkarabiliriz. Bu işlemler, denklemin çözümünü değiştirmez:
- Toplama: Her iki tarafa 3 eklenebilir.
- Çıkarma: Her iki taraftan 5 çıkarılabilir.
- Çarpma: Her iki taraf 2 ile çarpılabilir.
- Bölme: Her iki taraf 4’e bölünebilir.
Bu işlemler eşitlik dengesini korur.
2. Bilinmeyenli Terimleri Bir Tarafta, Sabit Terimleri Diğer Tarafta Toplama
Birinci olasılık: Denklemi ax + b = 0 formunda görmek istiyorsak, önce bilinmeyeni bir tarafta bırakıp sabit sayıları öteki tarafa atarız.
3. Bilinmeyenin Katsayısını 1 Haline Getirme
Bilinmeyen x’in katsayısı a ise, denklemimizi çözmek için a \neq 0 olmak koşuluyla, her iki tarafı a’ya böler ve x’i yalnız bırakırız.
Birinci Dereceden Denklem Türleri ve Uygulama Örnekleri
Aşağıda, çeşitli tipik birinci dereceden denklem örnekleriyle çözüm adımlarını inceleyelim.
Örnek 1: Basit Eşitlik Türü
Denklem:
Adım Adım Çözüm
- Sabit terimi (5’i), denklemde x’i yalnızlaştırmak için diğer tarafa atarız. Bunu
-5olarak uygulayabiliriz:3x + 5 - 5 = 11 - 5 \implies 3x = 6 - x’in katsayısı 3’tür. x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 3’e böleriz:x = \frac{6}{3} = 2
Çözüm: x = 2
Örnek 2: Eşitliğin İki Tarafında da Bilinmeyen Olduğunda
Denklem:
Adım Adım Çözüm
- x’li terimleri bir araya toplamak için, 2x’i sol tarafa alabiliriz. Bunun için her iki taraftan 2x çıkaracağız:4x - 7 - 2x = 2x + 5 - 2x \implies 2x - 7 = 5
- Şimdi sabit terimi diğer tarafa taşımak için, -7’yi +7 olarak sağ tarafa atarız:2x - 7 + 7 = 5 + 7 \implies 2x = 12
- x’in katsayısı 2’dir. x’i yalnızlaştırmak için 2’ye böleriz:x = \frac{12}{2} = 6
Çözüm: x = 6
Örnek 3: Önce Parantez Açma Gerektiren Durumlar
Bazen denklemde parantez olabilir. Bu durumda önce parantezi açmak (dağıtma), sonra benzer terimleri birleştirmek gerekir.
Denklem:
Adım Adım Çözüm
- Parantez açarken katsayıyı içeri doğru dağıtırız:2 \cdot x + 2 \cdot 3 - 4 = 8 \implies 2x + 6 - 4 = 8
- Benzer terimleri (6 - 4) sadeleştirelim:2x + 2 = 8
- Sabit terimi diğer tarafa taşımak için, her iki taraftan 2 çıkarırız:2x + 2 - 2 = 8 - 2 \implies 2x = 6
- 2x = 6 olduğuna göre, her iki tarafı 2’ye bölerek x’i buluruz:x = \frac{6}{2} = 3
Çözüm: x = 3
Örnek 4: Eşitliğin Her İki Tarafında Parantez Olduğunda
Denklem:
Adım Adım Çözüm
- Sol ve sağ taraftaki parantezleri açalım:3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 2 \cdot x + 2 \cdot 13x - 6 = 2x + 2
- Bilinmeyenli terimleri bir araya toplayalım. Örneğin, 2x’i sol tarafa alırsak:3x - 2x - 6 = 2 \implies x - 6 = 2
- Sabit terimi diğer tarafa geçirerek x’i yalnızlaştıralım:x - 6 + 6 = 2 + 6 \implies x = 8
Çözüm: x = 8
Örnek 5: Sıfırın Karşı Tarafta Olduğu Durum
Denklem:
Adım Adım Çözüm
- 2x + 5 = 0 denkleminde, -5 karşıya atılırsa:2x = -5
- x’in katsayısı 2’dir. Dolayısıyla her iki tarafı 2’ye böleriz:x = \frac{-5}{2} = -2.5
Çözüm: x = -2.5
Örnek 6: Kesirli Denklemler
Denklem:
Adım Adım Çözüm
- Denklemi daha sade görmek için 3’ü sağ tarafa atarız:\frac{x}{2} = 5 - 3 \implies \frac{x}{2} = 2
- x/2 = 2 olduğuna göre, her iki tarafı 2 ile çarparak x’i buluruz:x = 2 \times 2 = 4
Çözüm: x = 4
Örnek 7: Kesirli Terimler Her İki Tarafta
Denklem:
Adım Adım Çözüm
-
Her iki tarafı aynı anda payda olan 6 ile çarparak kesirlerden kurtulabiliriz (3 ve 2’nin ortak katı 6’dır). Adım adım gidelim:
- Sol taraftaki payda 3 olduğu için 6 ile çarptığımızda, 6/3 = 2 kalır; yani 2(2x + 4).
- Sağ taraftaki payda 2 olduğu için 6 ile çarptığımızda, 6/2 = 3 kalır; yani 3x.
Böylece:
6 \times \frac{2x + 4}{3} = 6 \times \frac{x}{2}2(2x + 4) = 3x -
Şimdi parantezi açalım:
2 \cdot 2x + 2 \cdot 4 = 3x \implies 4x + 8 = 3x -
4x - 3x = -8’i yapmak için, 3x’i sol tarafa atarken aslında 3x’i çıkarabiliriz veya 4x’e -3x diyebiliriz:
4x - 3x + 8 = 0 \implies x + 8 = 0Ama bunu yaparken dikkatli olalım, adım adım: Eşitliğin sağ tarafı 3x idi, 4x + 8 = 3x demektir. Buradan çıkarma yaparsak:
4x + 8 - 3x = 3x - 3x \implies x + 8 = 0 -
Artık x + 8 = 0 olduğuna göre, x = -8.
Çözüm: x = -8
Denklem Çözümünde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- İşaretlere Dikkat: Eksi ( - ), artı ( + ) ve çarpma ( × ) işlemleri sırasında hata yapmamak çok önemli.
- Her İki Tarafa Aynı İşlem: Denklemin eşitliğini korumak için aynı işlemi uyguladığımızdan emin olun.
- Paydaları Ortadan Kaldırma: Kesirli ifadeler varsa, ortak kat (veya payda) ile çarparak kesirleri sadeleştirip denklem çözümünü kolaylaştırabilirsiniz.
- Çözümün Geçerliliğini Kontrol: Elde ettiğiniz x değerini, mümkünse denklemde tekrar yerine koyarak kontrol etmelisiniz.
Denklem Çözüm Adımlarını Özetleyen Tablolar
Aşağıdaki tabloda basit birinci dereceden denklem çözmenin genel aşamalarını özetleyeceğim. İkinci tabloda ise seçtiğim örnek denklemlerin çözüm aşamalarını bir arada görebilirsiniz.
Tablo 1: Genel Denklem Çözüm Adımları
| Adım | Açıklama | İşlem Türü |
|---|---|---|
| 1. Denklemi Tanıma | Denklemin biçimini incele; hangi tür (kesirli, parantezli vb.). | – |
| 2. Dağıtma (Parantez Açma) | Parantez içeren terimler varsa çarpımı içeri dağıt. | Parantez açma / Dağıtma |
| 3. Benzer Terimleri Birleştirme | Aynı tür terimleri (x’li terimler, sabit terimler) sadeleştir. | Toplama / Çıkarma |
| 4. Bilinmeyenleri Bir Tarafta Toplama | Tüm x’li terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta toplayarak x’i yalnızlaştırma yönünde hareket et. | Toplama / Çıkarma |
| 5. Kesirleri Sadeleştirme (Varsa) | Tüm paydaları yok etmek için ortak kat ya da çarpma işlemi kullan. | Çarpma / Bölme |
| 6. Katsayıyı 1 Yapma | x’in katsayısı a ise, her iki tarafı a’ya bölerek x = … biçiminde sonucu bul. | Bölme |
| 7. Değerin Denklemi Doğrulamasını Kontrol Etme | Bulduğun değerle, orijinal denklemde yerine koyarak eşitlik sağlanıyor mu diye kontrol et. | Yerine yazma |
Tablo 2: Farklı Tipteki Belli Başlı Örnek Denklemler
| Örnek Denklem | İşlem Adımları | Çözüm |
|---|---|---|
| 1) 3x + 5 = 11 | 1) 5’i sağ tarafa “-5” olarak geçir. → 3x = 6 2) x’in katsayısı 3, böl 3’e. → x = 2 |
x = 2 |
| 2) 4x - 7 = 2x + 5 | 1) 2x’i sol tarafa aktar (-2x). → 4x - 2x - 7 = 5 2) 2x - 7 = 5 3) -7 sağ tarafa geçince → 2x = 12 4) 2’ye böl. → x = 6 |
x = 6 |
| 3) 2(x+3)-4=8 | 1) Parantezi aç. → 2x+6-4=8 2) 2x + 2 = 8 3) Sabiti sağ tarafa geçir (2’yi çıkart). → 2x = 6 4) 2’ye böl. → x=3 |
x = 3 |
| 4) 3(x-2)=2(x+1) | 1) Dağıtma. → 3x-6=2x+2 2) 2x’i sol tarafa aktar. → 3x-2x=2+6 3) x-6=2 4) -6’yı sağa geçir. → x=8 |
x = 8 |
| 5) 2x+5=0 | 1) 5’i sağ tarafa geçir. → 2x=-5 2) 2’ye böl. → x=-5/2 |
x = -2.5 |
| 6) x/2+3=5 | 1) 3’ü sağ tarafa geçir. → x/2=2 2) 2 ile çarp. → x=4 |
x = 4 |
| 7) (2x+4)/3 = x/2 | 1) Her iki tarafı 6 ile çarp (ortak kat). 2) Sol: 6*(2x+4)/3=2*(2x+4), Sağ: 6*(x/2)=3x 3) 2(2x+4)=3x= 4x+8=3x 4) 4x -3x= -8’i yanlış yapmamak adına adım: 4x+8=3x → 4x-3x+8=0→ x+8=0 x=-8 |
x = -8 |
Daha Karmaşık Birinci Dereceden Denklem Örneği ve Ayrıntılı Çözümü
Aşağıdaki örnekte farklı işlemleri peş peşe yapmayı gerektiren bir denklem verelim:
Örnek Denklem:
Bu örnek, hem parantez açma hem de kesir düzenlemesi yapmamızı gerektirebilir.
Adım 1: Parantez Açma (Dağıtma)
Böylece denklem şöyle olur:
Adım 2: Kesirli İfadeyi Sadeleştirme
Denklemde \frac{2x - 4}{2} terimini basitleştirelim. Payda 2 olduğundan, bu terim:
Dolayısıyla denklem artık:
Burada dikkat: \frac{2x - 4}{2} sadeleştirdikten sonra x - 2 elde ettik ve önünde bir eksi işareti ( - ) olduğu için çıkarma işlemi yapılacak.
Adım 3: İşlemleri Düzenleme
Şimdi,
Niye + 2? Çünkü denklemde - (x - 2) var. Parantez içindeki -2, dışarıya +2 olarak çıkar.
Adım 4: Benzer Terimleri Birleştirme
Bilinmeyenli terimler: (3x - x) = 2x
Sabit terimler: $(6 + 2) = 8
Böylece denklem:
Adım 5: Sabit Terimi Diğer Tarafa Geçirme
Yani,
Adım 6: x’i Yalnız Bırakma
Çözüm: x = -1.5
Son Kontrol
- Orijinal denklemde x yerine -1.5 koyduğumuzda sol taraf sağ tarafa eşit çıkmalıdır.
- İsterseniz kontrol amaçlı:
- x+2 = -1.5 + 2 = 0.5, dolayısıyla 3(x+2) = 3 \times 0.5 = 1.5
- (2x - 4)/2 = (2 \times -1.5 - 4)/2 = (-3 - 4)/2 = -7/2 = -3.5
- 3x + 6 = 1.5 + 6 = 7.5 (ama biz yukarıda düzenlemiştik, yine uyumlu gelir)
- Sol taraf: 3(x+2) - \frac{2x - 4}{2} = 1.5 - (-3.5) = 1.5 + 3.5 = 5
- Sağ taraf = 5.
- Eşitlik sağlandı, çözüm doğrudur.
Denklem Çözümünde Sık Karşılaşılan Hatalar
- İşaret Hatası: Parantezlerin başındaki eksi işareti unutulursa, içerideki tüm terimlerin işareti değiştirilmeyebilir.
- Her İki Tarafa Aynı İşlemi Yapmama: Bir taraftan 2 çıkarıp diğer taraftan çıkarmamak, denklemi bozacaktır.
- Kesirleri Yanlış Sadeleştirme: Ortak kat veya payda ile çarparken yanlış çarpma yapmak kökü bambaşka yere götürebilir.
- Bölme Sıfıra Bölünemez: x’in katsayısı 0 çıkarsa denklemin yapısı farklılaşır (ya çözümü yoktur ya da sonsuz çözüm vardır).
Daha Kapsamlı Örnek: Birinci Dereceden Denklemde Değişik Durumlar
Birinci dereceden denklemler her zaman tek bir çözüme sahip olmak zorunda değildirler:
- Tek çözüm: Katsayılar sıfır olmadığında genellikle tek çözüm elde ederiz.
- Sonsuz çözüm: Denklem her değeri sağlıyorsa, örneğin 2x + 4 = 2(x + 2). Bu durumda her x değeri için eşitlik geçerlidir.
- Çözüm yok: x’i yok etmeye çalıştığınızda çelişkili bir ifadeyle (örnek: 0 = 5) karşılaşıyorsanız denklem çözümsüzdür.
Örneğin:
Parantez açın:
Bilinmeyen terimler birbirini götürüp sabitler de eşitse, her x’i sağlayan kimlik (doğru) denklem oluşur ve sonsuz çözüm vardır.
Sonuç ve Özet
Birinci dereceden (basit) denklemleri çözmenin anahtarı, bilinmeyeni izole etmek yani onu teker teker işlem basamaklarıyla yalnız bırakmaktır.
- Parantez açma (varsa).
- Kesirli ifadeleri uygun çarpma/bölme işlemiyle sadeleştirme.
- Tüm x’li terimleri bir tarafta toplama, sabit terimleri öbür tarafa atma.
- x’in önündeki katsayıyı 1 yapacak şekilde bölme.
- Elde edilen sonucu mutlaka kontrol etme (denkleme geri koyarak).
Bunları yaparken en sık rastlanan hatalar; eksi işaretini unutmak, her iki tarafa aynı işlem uygulamamaktan kaynaklanan hatalar ve kesirleri hatalı sadeleştirmektir. Dolayısıyla adımları dikkatle takip etmek, gerekli yerlerde kontrol etmek başarılı sonuç verecektir.
Özet Tablo
Aşağıda, öğrendiğimiz her şeyi özetleyen bir tablo yer almaktadır:
| Konu Başlığı | Özet Açıklama |
|---|---|
| Denklem Nedir? | Bilinmeyen (x) içeren ve “=” işaretiyle eşitlenmiş en az iki ifadenin toplamı ya da farkı ya da daha karmaşık formu. |
| Birinci Dereceden Denklem | ax + b = 0 veya ax + b = cx + d formunda olur. x’in üzeri 1 olduğu için “birinci derece” denir. |
| Amaç | x’i tek başına (yalnız) bırakıp hangi sayıya eşit olduğunu bulmak. |
| İşlemler | - Parantez açma (varsa) - Benzer terimleri birleştirme - x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa taşıma - Katsayıyı 1 yapmak için bölme |
| Kesirleri Düzeltme | - Ortak katla (örneğin paydaların en küçük ortak katı) çarparak kesirlerden kurtul. - Veya bölme işlemiyle sadeleştir. |
| Çözüm Türleri | - Tek çözüm - Sonsuz çözüm (tüm x değerleri) - Çözüm yok (çelişki) |
| Kontrol | Bulduğun x’i orijinal denklemde yerine koyarak eşitliği sağladığından emin ol. Emir kipinde “test et” veya “kontrol et” diyebiliriz. |
| Sık Yapılan Hatalar | - İşaret hatası (özellikle parantezin başındaki eksi) - Her iki tarafa aynı işlemi uygulamayı unutma - Kesirleri doğru sadeleştirmeme - 0’a bölmeye çalışma |
| Örnek | 2x + 5 = 11 → x=3 değil, x=3 ise 23+5=11, 6+5=11. Tamam, oysa 6+5=11. x=3, evet doğruymuş. Örneğin x=2 yapsak 22+5=4+5=9≠11. |
| Son Tavsiyeler | - Mutlaka sonuç kontrolü yapın. - x’in önündeki katsayıyı kontrol edin: a=0 ise farklı durum (çözüm sonsuz veya yok) ortaya çıkabilir. - Kesir ve parantez işlemlerinde çok dikkatli olun. |
Kısa Özet
- Birinci dereceden denklem çözümünün temeli, bilinmeyeni izole etmektir.
- Eğer parantez veya kesir varsa önce dağıtma veya sadeleştirme yaparak basit hale getirin.
- Eğer bilinmeyenli terim her iki tarafta varsa, onları bir tarafta toplayın. Sabit terimleri de öteki tarafa alın.
- Son adımda, bilinmeyenin katsayısı ne ise bölerek x’i bulun.
- Her zaman bulduğunuz değeri orijinal denklemde kontrol edin.
Bu yöntemi resminizdeki herhangi bir birinci dereceden denklem üzerinde uygulayarak sonuca ulaşabilirsiniz.
2·3x + 21/3 − 5 = 3(7/4) olduğuna göre x nedir?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyerek denklemi çözelim:
-
Önce ifade içindeki 21/3’ü hesaplayalım:
21 ÷ 3 = 7 -
Denklemi yeniden yazalım:
2·3x + 7 − 5 = 3·(7/4) -
Soldaki çarpma işlemini yapalım:
2·3x = 6x
Dolayısıyla denklem:
6x + 7 − 5 = 3·(7/4) -
7 − 5’i toplayalım:
6x + 2 = 3·(7/4) -
Sağ taraftaki çarpma işlemini hesaplayalım:
3·(7/4) = 21/4
Böylece denklem:
6x + 2 = 21/4 -
2’yi sağ tarafa atarak 6x’i yalnız bırakalım. Burada 2 = 8/4 şeklinde yazılabilir:
6x = 21/4 − 8/4 = 13/4 -
Son olarak x’i bulmak için her iki tarafı 6’ya bölelim:
x = (13/4) ÷ 6 = (13/4) · (1/6) = 13/24
Dolayısıyla, x = 13/24.
@User