Gerçek sayılar tanımlı f(x) = a x² − x + 2 fonksiyonunun [−2,3] aralığındaki ortalama değişim hızı 6 olduğuna göre a değeri kaçtır?
Cevap:
Aşağıda adım adım çözümü inceleyelim:
Adım 1 – Ortalama Değişim Hızı Tanımı
Bir fonksiyonun [x_1, x_2] aralığındaki ortalama değişim hızı, şu şekilde tanımlanır:
\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.
Bu soruda:
- f(x) = a x^2 - x + 2,
- Aralık: [-2, 3],
- Ortalama değişim hızı: 6.
Dolayısıyla,
\frac{f(3) - f(-2)}{3 - (-2)} = 6.
Adım 2 – f(3) ve f(-2) Hesaplama
-
f(3)
f(3) = a \cdot 3^2 - 3 + 2 = 9a - 3 + 2 = 9a - 1. -
f(-2)
f(-2) = a \cdot (-2)^2 - (-2) + 2 = 4a + 2 + 2 = 4a + 4.
Adım 3 – Ortalama Değişim Hızını 6’ya Eşitleme
Ortalama değişim hızı ifadesini yerine koyalım:
\frac{(9a - 1) - (4a + 4)}{3 - (-2)} = 6.
Pay kısmını basitleştirelim:
$$ (9a - 1) - (4a + 4) = 9a -1 -4a -4 = 5a -5. $$
Payda:
$$ 3 - (-2) = 3 + 2 = 5. $$
Dolayısıyla:
\frac{5a - 5}{5} = 6.
Adım 4 – Denklemi Çözme
Oran olduğu gibi çıkar:
5a - 5 = 6 \times 5
\quad \Rightarrow \quad
5a - 5 = 30
\quad \Rightarrow \quad
5a = 35
\quad \Rightarrow \quad
a = 7.
Buna göre aradığımız değer: a = 7.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Ortalama Değişim Hızı | $$ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$ | 6 olarak verilmiş |
| 2. f(3) ve f(-2) Hesaplama | f(3) = 9a - 1,\quad f(-2) = 4a + 4 | Değerler elde edildi |
| 3. Eşitliği Kurma | $$ \frac{(9a - 1) - (4a + 4)}{3 - (-2)} = 6 $$ | $$ \frac{5a - 5}{5} = 6$$ |
| 4. Denklemi Çözme | 5a - 5 = 30 \implies a = 7 | a = 7 |
Sonuç ve Özet
[-2, 3] aralığı için ortalama değişim hızı 6 olduğunda, a=7 bulunur. Sorunun çoktan seçmeli seçenekleri arasında 7 değeri (A) şıkkıdır.