Soru: Dikdörtgen şeklindeki eş dört çubuğun çevrelediği (16x^2 + 32x + 16)\text{ cm}^2 alana sahip dikdörtgen, Şekil 1’de verilmiştir. Çubukların oluşturduğu çerçevelerdeki üst üste denk gelen bölgelerin alanları 1\text{ cm}^2 olup, bu $1\text{ cm}^2$’lik alanlar dikdörtgen şeklindeki çubuklardan kesilerek çıkarılmış ve Şekil 2’deki gibi yeni bir dikdörtgen oluşturulmuştur. Oluşan dikdörtgenin kenarları üst üste gelmediğine göre, yeni dikdörtgenin alanı kaç $\text{cm}^2$’dir? (Dikdörtgenlerin alanına çerçeveleri dahil ediniz.)
Cevap:
Aşağıda bu soruyu adım adım inceliyoruz:
1. İlk Dikdörtgenin (Şekil 1) Alanı
- Şekil 1’deki dikdörtgenin (kare gibi gözüken, ama problemde “dikdörtgen” diye geçiyor) alanı, problemde (16x^2 + 32x + 16)\text{ cm}^2 olarak verilmiştir.
- Bu ifade şu şekilde sadeleştirilebilir:16x^2 + 32x + 16 = 16(x^2 + 2x + 1) = 16(x+1)^2.
- Görüldüğü gibi kenar uzunluğu (eğer kare kabul edersek) 4(x+1) ve alanı [4(x+1)]^2 = 16(x+1)^2 olmaktadır.
2. Çubuklar ve Üst Üste Gelme (1 cm²’lik Alanlar)
- Soruda, dört çubuğun köşelerde 1\text{ cm}^2 üst üste geldiğinden bahsedilmektedir. Her çapraz iki çubuk kesiştiğinde köşelerde $1\text{ cm}^2$’lik bir fazlalık ortaya çıkar.
- Dört köşede de bu durum yaşanınca toplam 4 adet $1\text{ cm}^2$’lik çakışan alan vardır.
- Soru metninde, bu $1\text{ cm}^2$’lik parçaların dikdörtgen çubuklardan kesilerek çıkarıldığı ve sonra çubukların bu şekilde birleştirilip yeni bir dikdörtgen (Şekil 2) oluşturulduğu vurgulanıyor.
3. Yeni Dikdörtgenin Kenarlarının Üst Üste Gelmemesi
-
“Kenarlar üst üste gelmediğine göre” ifadesi, artık köşelerde hiçbir çakışma kalmayacak şekilde çubukların uzatılarak veya kısaltılarak birleştirildiğini gösterir.
-
Bu durum, genellikle iki farklı senaryoya yol açabilir:
- Her iki çubuğun köşeden eşit pay kesip birleştirilmesi.
- Sadece yatay veya dikey çubukların kenarından kesilip diğerlerinin tam boy kalması.
-
Problemde sıkça rastlanan bir yaklaşım, tek bir yöndeki (örneğin yatay) çubukların her köşeden 1 cm’lik paylarının kesilmesi, dikey çubukların ise tam boy kalmasıdır. Böylece dikdörtgenin yatay uzunluğu azalır, dikey uzunluğu ise değişmez (veya bunun tam tersi de olabilir).
4. Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
- Başlangıçtaki dış çerçeve: Kenar uzunluğu 4(x+1) idi (yukarıda alanından çıkardık).
- Her köşede çakışan $1\text{ cm}^2$’lik kısım kaldırıldığında, genellikle iki karşılıklı kenarın toplam uzunluğu (yatay ya da dikey) bir miktar kısalır.
- Eğer yalnızca yatay çubuklardan (üst ve alt çubuklardan) her bir köşede 1 cm’lik bölüm kesilirse, bir yatay çubuk toplamda 2 cm kısalır (sol ve sağ ucu). Öteki yatay çubuk da 2 cm kısalır.
- Bu durumda yatay yöndeki net uzunluk:4(x+1) - 2 = 4x + 4 - 2 = 4x + 2.
- Dikey yöndeki çubuklar kesilmezse, dikey uzunluk yine 4(x+1) kalır.
- Bu durumda yatay yöndeki net uzunluk:
- Öyleyse yeni dikdörtgenin kenar ölçüleri, yatayda (4x + 2) ve dikeyde (4x + 4) şeklinde olur.
5. Yeni Dikdörtgenin Alanı
- Kenarlar:
- Genişlik: 4x + 2
- Yükseklik: 4x + 4
- Dolayısıyla yeni alan şöyle hesaplanır:(4x + 2) \times (4x + 4).
- Bu çarpım:(4x + 2)(4x + 4) = 4x(4x + 4) + 2(4x + 4) = 16x^2 + 16x + 8x + 8 = 16x^2 + 24x + 8.
- Gördüğümüz gibi 16x^2 + 24x + 8 ifadesi elde edilir.
6. Seçeneklerin Karşılaştırılması
Soru bize şu dört seçenek vermektedir:
| Seçenek | Alan İfadesi |
|---|---|
| A) | (16x^2 + 8x + 16)\text{ cm}^2 |
| B) | (16x^2 + 16x + 24)\text{ cm}^2 |
| C) | (16x^2 + 16x + 8)\text{ cm}^2 |
| D) | (16x^2 + 24x + 8)\text{ cm}^2 |
Yukarıdaki mantığa göre elde ettiğimiz sonuç D seçeneği olan $(16x^2 + 24x + 8)\text{ cm}^2$’dir.
7. Kısa Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, yeni dikdörtgenin kenarlarının nasıl belirlendiğini ve alanın nasıl hesaplandığını özetliyoruz:
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Başlangıç alanı (Şekil 1) | 16(x+1)^2 | 16x^2 + 32x + 16 |
| 2. Kenar uzunluğu (ilk dikdörtgen) | 4(x+1) | - |
| 3. Üst üste gelen köşelerin kesilmesi (her yatay çubuk) | Her yatay çubuktan 2 cm toplam kesim | Yeni yatay uzunluk: 4x+2 |
| 4. Dikey çubuklar (kesilmedi varsayımı) | 4(x+1) | Dikey uzunluk: 4x+4 |
| 5. Yeni alan (Şekil 2) | (4x+2)\times (4x+4) | 16x^2 + 24x + 8 |
Bu tablo da gösteriyor ki hesap sonucuna en uygun ifade 16x^2 + 24x + 8 olmaktadır.
8. Sonuç
Yukarıdaki analizden anlaşıldığı üzere, yeni dikdörtgenin alanı çubuklar kesilip yeniden düzenlendiğinde:
(16x^2 + 24x + 8)\text{ cm}^2
olmaktadır.
Cevap: Doğru seçenek D) (16x^2 + 24x + 8).