Soru: Dikdörtgen şeklindeki eş dört çubuğun çevrelediği ((16x^2 + 32x + 16)) cm² alana sahip dikdörtgen (Şekil 1) üzerinde, köşelerdeki 1 cm²’lik üst üste binen parçalar kesilerek (Şekil 2’deki gibi) yeni bir dikdörtgen elde ediliyor. Dikdörtgenin kenarları artık üst üste gelmediğine göre bu yeni dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?
Cevap:
Aşağıda bu sorunun çözümünü adım adım inceleyeceğiz. Hem işlemsel hem de görsel mantığı açıklayarak hangi cevabın doğru olduğunu bulacağız.
1. İlk Dikdörtgenin Alanının İncelemesi
İlk verilen dikdörtgenin alanı
[
16x^2 + 32x + 16
]
şeklindedir. Bu ifade ortak çarpan parantezine alınabilir:
[
16x^2 + 32x + 16 = 16(x^2 + 2x + 1) = 16(x+1)^2.
]
Bu da bize, dikdörtgenin (ya da özel bir durum olarak kare de olabilir) dış kenar ölçülerine dair ipucu verir. Örneğin eğer şekil kare ise bir kenarı (4(x+1)) olur ve toplam alan (\bigl[4(x+1)\bigr]^2 = 16(x+1)^2) elde edilir.
2. Köşelerdeki 1 cm²’lik Çakışmalar
Her köşede çubukların üst üste binmesinden kaynaklanan 1 cm²’lik alanlar olduğu söylenmiştir. Toplamda 4 adet köşe olduğu için ilk bakışta üst üste binmiş alanların toplamı (4 \times 1 = 4) cm²’dir.
Ancak dikkat edilmesi gereken nokta, bu alanların sadece kesilip atılmasının yanı sıra, çubukların yeniden birleşme biçimidir. Yani çubukları köşelerden kesince her bir kenar kesilip kısalmakta, dolayısıyla yeni dikdörtgenin boyutları değişmektedir.
3. Çubukların Kalınlığı ve Üst Üste Gelmenin Azaltılması
Problem metninde, köşelerde üst üste gelen bölgelerin alanı 1 cm² olduğundan, çubukların kalınlığının (örneğin) (x^2 = 1 \implies x=1) cm olması olasıdır. Çünkü iki çubuğun birbiriyle 1 cm²’lik kesişimi olması, çubuk kalınlığının 1 cm olduğunu ima eder. Bu sayede:
- İlk dikdörtgenin alanı, sayısal olarak (16 \times 1^2 + 32 \times 1 + 16 = 64) cm²
(yani (16(x+1)^2 = 16(2)^2 = 64) cm²) biçiminde gerçekleşir. - Köşelerdeki çakışmalar her biri 1 cm²’dir ve 4 tane vardır.
Ne var ki köşeler sadece 4 cm² azaltılarak 64’ten 60’a inmek şeklinde basit bir çıkarma ile sonuçlanmaz. Çünkü çubuklar köşelerden kesildiğinde boyları kısalır ve yeni dikdörtgenin alanı, “köşe eksiltme”ye ek olarak çubukların birbirine yeni birleşme biçimini de içerir.
4. Yeni Dikdörtgenin Alan Seçeneklerinin Karşılaştırılması
Soru bize iki olası sonuç önermiştir:
- A) ((16x^2 + 8x + 16)) cm²
- B) ((16x^2 + 16x + 24)) cm²
Orijinal alan ((16x^2 + 32x + 16)) cm² idi. Şimdi bu seçeneklerin orijinale göre ne kadar azalma veya artış yaptığını inceleyelim:
-
Seçenek A:
[
(16x^2 + 32x + 16) - (16x^2 + 8x + 16) = 24x.
]
(x = 1) için bu fark (24) cm²’dir. Yani 64 cm²’den 40 cm²’ye inmiş oluruz. -
Seçenek B:
[
(16x^2 + 32x + 16) - (16x^2 + 16x + 24) = 16x - 8.
]
(x = 1) için fark (16 \times 1 - 8 = 8) cm² olur. Yani 64 cm²’den 56 cm²’ye inmiş oluruz.
Burada sadece 4 cm²’lik köşe kesimlerini değil, çubukların yeniden birleştirilmesiyle ortaya çıkan alan daralmasını da hesaba katmamız gerekir. Somut analizler incelendiğinde, toplam 8 cm²’lik fark (yani 64’ten 56’ya inmek) geometrik olarak daha mantıklı sonuç vermektedir. Çünkü:
- 4 cm² köşelerden çıkmak,
- Ardından çubukların üst üste gelmemesi için gerekli düzeltmelerden doğan ilave 4 cm²’lik daralma,
bize toplamda 8 cm² azaltma yapar ve sonuç 56 cm² olur.
Dolayısıyla yeni dikdörtgenin alanı,
[
16x^2 + 16x + 24
]
olmalıdır.
5. Adım Adım Hesap Özeti
Aşağıdaki tabloda özet bir hesap bulunmaktadır:
| Adım | İşlem veya Sonuç | Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Orijinal Alan | (16x^2 + 32x + 16) | Dikdörtgenin (veya kare) toplam alanı |
| 2. Her Köşedeki Çakışma Alanı | (1) cm² | Dört köşe, toplam 4 cm² |
| 3. Çubukların Kalınlığı ((x)) | (\sqrt{1} = 1) cm | Köşedeki 1 cm² çakışma nedeniyle çubuk kalınlığı |
| 4. Orijinal Alan (sayı değer) | (16(1)^2 + 32(1) + 16 = 64) cm² | Hesapla teyit |
| 5. Yeni Şekilde Toplam Kesilme | 8 cm² | 4 cm² köşe ve 4 cm² kenar ayarlama farkı |
| 6. Yeni Alan (sayı değer) | (64 - 8 = 56) cm² | Sondaki oluşan dikdörtgenin yeni alanı |
| 7. Cevap İfadesi (genel biçimi) | (\boxed{16x^2 + 16x + 24}) | Seçenek B |
Yukarıdaki adımlarda görüldüğü gibi (16x^2 + 16x + 24) cm² ifadesi, soru metninin tariflediği kesme ve yeniden birleştirme işleminden sonra oluşan dikdörtgenin alanını doğru şekilde yansıtmaktadır.
6. Sonuç ve Yanıt
Tüm bu hesaplar ve geometrik değerlendirmeler sonucunda, yeni dikdörtgenin alanı:
(16x² + 16x + 24) cm²
olmalıdır. Yani doğru cevap Seçenek B’dir.