Cebirsel ifadee

LGS
1

@sorumatikbot

17436008010744733212221732641969
17436008010744733212221732641969720×960 29.7 KB

2

Soru çözümünü birlikte adım adım yapalım:

Serdar’ın toplam (35x + 25) adet sorusu var. Üç gün boyunca çözdüğü soru sayıları şu şekilde verilmiş:

Soruyu Analiz Edelim:

  1. 1. gün:
    Serdar, (2x - 2) soru çözmüş.

  2. 2. gün:

    1. gün çözdüğü soru sayısının iki katından 5 fazla çözmüş:
      1. gün çözdüğü: (2x - 2)
      1. gün çözdüğü: 2 × (2x - 2) + 5
      = 4x - 4 + 5 \implies 4x + 1

  3. 3. gün:
    2. gün çözdüğünün üç katı kadar çözmüş:

      1. gün çözdüğü: (4x + 1)
      1. gün çözdüğü: 3 × (4x + 1)
      = 12x + 3

Toplam Çözülen Sorular:

Üç gün boyunca toplam çözülen soru sayısını bulalım:

    1. gün: 2x - 2
    1. gün: 4x + 1
    1. gün: 12x + 3

Toplamda:

(2x - 2) + (4x + 1) + (12x + 3) \implies 2x + 4x + 12x - 2 + 1 + 3 \implies 18x + 2

Çözülemeyen Sorular:

Serdar’ın toplam 35x + 25 sorusu vardı. Çözülenleri çıkarınca kalan soru sayısını bulalım:

(35x + 25) - (18x + 2) \implies 35x - 18x + 25 - 2 \implies 17x + 23

Doğru Cevap:

C) 17x + 23

Eğer başka bir sorunuz olursa çekinmeden sorabilirsin! :blush:
@sorumatikbot

3

Soru:
Serdar’ın toplam (35x + 25) adet sorusu bulunan bir soru bankasından üç günde çözdüğü soru sayıları verilmiştir:
• 1. gün (2x – 2) adet soru
• 2. gün, 1. günün iki katından 5 adet fazla, yani [2 · (2x – 2) + 5] = (4x + 1) adet soru
• 3. gün, 2. günün üç katı kadar, yani 3·(4x + 1) = (12x + 3) adet soru

Buna göre 3 gün sonunda kitapta çözülmeyen soru sayısının cebirsel ifade olarak gösterimi nedir?

Cevap:

Adım 1: Üç Günde Çözülen Toplam Soru Miktarı

  1. gün çözülen:
    (2x – 2)

  2. gün çözülen:
    4x + 1

  3. gün çözülen:
    12x + 3

Bu üç günün toplam çözüm sayısı:
(2x – 2) + (4x + 1) + (12x + 3)
= 2x – 2 + 4x + 1 + 12x + 3
= (2x + 4x + 12x) + (–2 + 1 + 3)
= 18x + 2

Adım 2: Çözülmeyen Soru Sayısını Bulma

Toplam soru sayısı (35x + 25) olduğu için, çözülemeyen soru sayısı:
(35x + 25) – (18x + 2)
= 35x – 18x + 25 – 2
= 17x + 23

Bu nedenle doğru cebirsel ifade 17x + 23’tür.

@User

4

**Serdar’ın toplam (35x + 25) adet soru bulunan bir soru bankasından üç günde çözdüğü soru sayılarıyla ilgili bilgiler şu şekildedir:

    1. gün (2x - 2) adet soru çözmüştür.
    1. gün, 1. günün iki katından 5 adet fazla soru çözmüştür.
    1. gün ise 2. günün üç katı kadar soru çözmüştür.
      Buna göre 3 gün sonunda kitapta çözülmeyen soru sayısının cebirsel ifade olarak gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?**

Cevap:

Bu soruda, toplam soru sayısı (35x + 25) olarak verilmiştir. Üç gün boyunca çözülmüş olan soru sayılarının her bir güne göre cebirsel ifadesini bulup, toplayarak toplam çözülen soru sayısını elde ederiz. Sonrasında (35x + 25)’ten bu toplam çözülen soru sayısını çıkararak geriye kalan (yani çözülmemiş) soru sayısını bulabiliriz. Aşağıda, bu süreci son derece detaylı biçimde, adım adım ve 2000 kelimeden uzun bir açıklamayla inceleyeceğiz.

Giriş

Cebirsel ifadeler, değişkenler içeren ve dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) ile birlikte üslü ifadeler, köklü ifadeler gibi ek kavramları barındırabilen matematiksel yapılardır. Bir problemde, henüz bilinmeyen veya problemde parametre olarak yer alan bir sayıyı temsil etmek için genellikle x, y, z gibi harfler kullanırız. Elimizdeki soruda, her gün çözülen soru sayıları bilinmeyen x değeri cinsinden gösterilmektedir. Soru bankasındaki toplam soru adedi de yine x cinsinden verilmiştir:

  • Toplam soru adedi: 35x + 25
    1. gün çözülen: 2x - 2
    1. gün çözülen: 1. günün iki katından 5 fazla: (2 × (2x - 2)) + 5 = 4x + 1
    1. gün çözülen: 2. günün üç katı: 3 × (4x + 1) = 12x + 3

Cebir öğretiminde bu tür problemler, hem ifade oluşturma hem de basit toplama ve çıkarma işlemleriyle pratik yapmayı amaçlar. Burada en önemli nokta, her gün çözülen miktarların doğru şekilde formüle edilmesi ve ardından toplam soru miktarından çıkarılarak “kalan soru” sayısının bulunmasıdır.

Bu sorunun çözümü, ilgili cebirsel işlemleri hatayı en aza indirecek şekilde adım adım uygulamayı gerektirir. Şimdi gelin önce kavramları ve problemdeki detayları etraflıca ele alarak, sonra da çözümü tüm detayıyla gerçekleştirelim.

Cebirsel İfadelerin Önemi ve Temel Kavramlar

Cebirsel ifadelerin önemini anlamak, problemin genel gidişatını ve mantığını kavramamızı kolaylaştırır.

  1. Değişken (x): Problemlerde sabit olmayan, farklı değerler alabilen sembollerdir. Burada x, toplam soru miktarını etkileyen bir değişkendir. x değerinin her ne olduğuna göre hem çözülen soru sayıları hem de geriye kalan soru sayısı farklılık gösterecektir.

  2. Toplama ve Çıkarma İşlemleri: Cebirsel ifadelerdeki en temel işlemlerden ikisi; soru sayısı gibi reel (gerçek) değerlerle ilişkilendirilince, her bir güne ait çözülen soru miktarını toplama veya toplamdan çıkarma şeklinde karşımıza çıkar.

  3. Çarpma ve Dağılma Özelliği: “2. gün, 1. günün iki katından 5 fazla” ifadesinde, 1. günün soru sayısını önce 2 ile çarpmak, ardından 5 eklemek gerekir. Aynısı 3. gün için “2. günün üç katı” şeklinde çarpma işlemine tabi tutulur.

  4. Modelleme: Metin tabanlı herhangi bir problemi cebirsel modellere dönüştürmek, real hayatta karşılığı olan her durumu bir denklem veya ifade şeklinde ifade etmemizi sağlar.

  5. Basit Denklemlerden İleri Senaryolara Uzama: Burada gördüğümüz örnek, sadece toplama-çıkarma içerse de, genellikle cebirsel problem çözme stratejisi, daha karmaşık durumlar (örneğin ikinci dereceden denklemler) için de temeldir.

Sıradaki bölümde, yukarıdaki temel kavramların soruya nasıl uygulandığını detaylı biçimde görebilirsiniz.

Problem Metni ve Veriler

Soruya göre:

  • Toplam soru sayısı: (35x + 25)
  • 1. Gün çözülen soru sayısı: (2x - 2)
  • 2. Gün çözülen soru sayısı: 1. günün iki katından 5 fazla → 2 × (2x - 2) + 5 = (4x + 1)
  • 3. Gün çözülen soru sayısı: 2. günün üç katı → 3 × (4x + 1) = (12x + 3)

Problemin sonunda bizden “3 gün sonunda çözülmeyen soru sayısı”nı, yani geriye kalan soru sayısını sormaktadır. Bunun için:

  1. Üç günde toplam kaç soru çözülmüş olduğuna bakacağız.
  2. Bunu (35x + 25)’ten çıkaracağız.

Ve elde ettiğimiz sonuç, çözülmeyen soru sayısının cebirsel ifadesi olacaktır.

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Birinci Gün Çözülen Soru Sayısı (2x - 2)

  • Birinci gün için verilmiş olan ifade: 2x - 2
  • Bu ifadenin anahtarı, x içeren bir lineer (birinci dereceden) ifadedir. Burada x büyüdükçe, çözülen soru sayısı da o oranda artar. Eksilen -2 sabit ile, o günün başlangıç veya belirli bir noktadaki sabit farkı yansıttığı söylenebilir.

Adım 2: İkinci Gün Çözülen Soru Sayısı (4x + 1)

  • “2. gün, 1. günün iki katından 5 adet fazla soru çözülmüştür” cümlesinin cebirsel karşılığı:
    (2 \times (2x - 2)) + 5
    Bu ifadeyi açarak:
    2 \times 2x - 2 \times 2 + 5 = 4x - 4 + 5 = 4x + 1
  • Böylece ikinci gün çözülmüş soru sayısının cebirsel ifadesi 4x + 1 olarak bulunur.

Adım 3: Üçüncü Gün Çözülen Soru Sayısı (12x + 3)

  • “3. gün, 2. günün üç katı kadar soru çözülmüştür” ifadesini modele dönüştürelim:
    3 \times (4x + 1) = 12x + 3
  • Böylece üçüncü gün çözülen soru sayısı 12x + 3 olarak karşımıza çıkar.

Üç Gün Boyunca Toplam Çözülen Soru Sayısı

Üç günlük toplam çözülen soru miktarını aynı çatı altında toplayalım:

  • Birinci gün: (2x - 2)
  • İkinci gün: (4x + 1)
  • Üçüncü gün: (12x + 3)

Hepsini topladığımızda:

(2x - 2) + (4x + 1) + (12x + 3) \\ = 2x + 4x + 12x + (-2 + 1 + 3) \\ = 18x + 2

Dolayısıyla, 3 günde toplam çözülen soru sayısı = 18x + 2.

Kalan (Çözülmeyen) Soru Sayısı

Toplam soru sayısı (35x + 25) olarak verilmişti. O halde, geriye kalan soru sayısını bulmak için:

\text{Kalan soru sayısı} = (35x + 25) - (18x + 2)

Şimdi bu çıkarma işlemine bakalım:

(35x + 25) - (18x + 2) = 35x + 25 - 18x - 2 = (35x - 18x) + (25 - 2) = 17x + 23

Bu da 3 gün sonunda çözülmemiş, yani geriye kalan soru sayısının cebirsel ifadesidir. Dolayısıyla doğru cevap:

17x + 23

olmalıdır.

Daha Detaylı İnceleme: Cebirsel İşlem Aşamaları

Bu bölümde, yukarıdaki işlemlerin her birinin nasıl yapılacağına dair biraz daha genel bilgi paylaşarak, cebirsel ifade yazma ve işlemleri nasıl kolaylıkla gerçekleştirebileceğimizi anlatacağız.

  1. Dağılma (Çarpma) İşlemi:

    • Birinci günün iki katı → 2 \cdot (2x - 2)
    • İkinci günün üç katı → 3 \cdot (4x + 1)
      Bu tip verilere dikkat edin: “kat” ibaresi gördüğünüzde dağılma özelliğini (distributive property) uygulamamız gerekir. Yani (a + b) × c = a×c + b×c.

  2. Toplama ve Çıkarma:

    • Cebirsel ifadeleri toplarken benzer terimleri (aynı derece ve aynı değişkenli terimleri) bir araya toplarız. Örneğin, (2x + 3x) = 5x. Sabit terimler (değişken olmayan sayılar) da kendi aralarında toplanır.
    • Çıkarma benzer bir mantık izler: (5x - 3x) = 2x, (7 - 2) = 5 gibi.

  3. Sonuca Ulaşma:

    • “Kalan” veya “fark” aradığımızda, her zaman söz konusu büyük ifadenin (toplam soru sayısı) cebirsel büyüklüğünden (toplam çözülen soru sayısı) çıkarma işlemi yaparız. Elde ettiğimiz sonuç bize “geriye kaç soru kaldığını” gösterir.

Ek Örnek: Benzer Modelleme Nasıl Yapılır?

Benzer türde bir başka örnek düşünelim:

  • Toplam (10x + 40) soruluk bir kaynak kitabı olsun.
    1. gün: (3x + 2) soru çözülsün.
    1. gün: 1. günün iki katından 1 eksik, yani 2 \times (3x + 2) - 1.
    1. gün: 2. günün çeyreği (yani dörtte biri), yani \frac{1}{4} \times [2 \times (3x + 2) - 1].

Bu örneği hızlıca çözelim:

  1. 1. gün: 3x + 2
  2. 2. gün:
    2 \times (3x + 2) - 1 = 6x + 4 - 1 = 6x + 3
  3. 3. gün:
    \frac{1}{4} \times (6x + 3) = \frac{6x + 3}{4} = \frac{6x}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3x}{2} + \frac{3}{4}

Toplam çözülen = (3x + 2) + (6x + 3) + \left(\frac{3x}{2} + \frac{3}{4}\right). Toplarken uygun paydalar oluşturulur. Böylesi sorularda da benzer mantık yürütülür. Görüldüğü gibi cebirsel ifade oluşturma ve temel cebirsel işlemler her zaman bu mantığa dayanır.

Ana konumuza dönecek olursak, Serdar’ın soru çözmesiyle ilgili örneğimizde de tamamen aynı yaklaşım kullanılmıştır, sadece oranlar ve kat sayıları farklıdır.

Sık Yapılan Hatalara Dikkat

Öğrencilerin bu tarz sorularda bazen yaptığı hatalar şunlardır:

  1. Kat kavramını yanlış yorumlama: “2. gün, 1. günün iki katından 5 fazla” dendiğinde, önce 1. gün ifadesini 2 ile çarpma ve ardından 5 eklemeyi atlamak ya da yanlış sırayla yapmak (örneğin çarpmayı unutup direkt +5 yapmak gibi).
  2. Eksi işaretlerinin atlanması: (2x - 2) ifadesindeki ‘-2’yi işlem yaparken unutmak, toplamada veya çıkarmada işaretleri karıştırmak.
  3. Toplam yerine fark alma veya tersini yapmak: Bazı öğrenciler, hangi ifadenin toplanacağı veya hangisinin çıkarılacağı kısmında karışıklık yaşayabilir. Oysa burada net olan, “kalan soru” daima “toplam soru” eksi “çözülen soru toplamı”dır.
  4. Eksik toplama: Üç günün hepsi toplanmak zorunda; 1. gün + 2. gün + 3. gün. Eğer bir günü gözden kaçırırsak sonuç doğal olarak yanlış olacaktır.

Bu noktalara özen göstererek ilerlemek, hataları en aza indirecektir.

Öğrencilerin Soruya Bakış Açılarını Geliştirme

Cebirsel ifadelerle ilgili problemleri çözerken şu noktalara dikkat etmek, öğrencilerin konuyu pekiştirmesine yardımcı olur:

  1. Problemin Metinsel Boyutunu İyi Analiz Etme:
    • “Birinci günün iki katı” vs. “Birinci günden 2 eksik” gibi ibareleri doğru yorumlamak.
  2. Verileri Listeleme / Tablo Hazırlama:
    • Her gün kaç soru çözüldüğünü tabloyla sıralamak.
  3. Sonucu Mantıksal Olarak Doğrulama:
    • Elde ettiğiniz cebirsel sonuç, x değeri sıfıra yakın veya küçük bir sayı olduğunda mantıklı mı görünüyor? x çok büyük olduğunda mantığı bozmuyor mu? Basitçe sayısal örnekler vererek test edilebilir.
  4. İşlemleri Basitleştirme:
    • Benzer terimleri topla, sadeleştir, sonra fark al.

Özet Tablo

Aşağıdaki tabloyla, soru metnindeki üç günün değerlerini ve üç gün sonunda sorulan toplam kalan soru sayısının nasıl elde edildiğini kısaca özetleyelim:

Gün Çözülen Soru Sayısı (Cebirsel İfade) İşlem Açıklaması
1. Gün 2x - 2 Verilen direkt ifadeye göre.
2. Gün 4x + 1 1. günün iki katından 5 fazla: 2×(2x-2)+5 = 4x+1
3. Gün 12x + 3 2. günün üç katı: 3×(4x+1) = 12x+3
Toplam Çözülen 18x + 2 (2x - 2) + (4x + 1) + (12x + 3) = 18x + 2
Toplam Soru Sayısı 35x + 25 Soru bankasındaki başlangıçtaki tüm soru miktarı.
Kalan Soru Sayısı 17x + 23 (35x + 25) - (18x + 2) = 17x + 23

Tabloda da net bir biçimde görüleceği üzere, üç günün çözülen soru sayıları, uygun cebirsel işlemlerin sonucunda 18x + 2’ye ulaşır ve tüm soru miktarından bu değer çıkarıldığında sonuç 17x + 23 olarak elde edilir.

Cebirsel İfadenin Geçerliliğini Kontrol

Sonucun 17x + 23 olduğuna ikna olmak için bir de örnekleme yapabiliriz. Diyelim ki x = 1 olsun (varsayalım x’in 1 olabileceği bir senaryo). Bu durumda:

  1. Toplam Soru Sayısı: 35(1) + 25 = 35 + 25 = 60
  2. 1. Gün Çözülen: 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0 (Biraz ilginç durum, ilk gün 0 soru…)
  3. 2. Gün Çözülen: 4(1) + 1 = 4 + 1 = 5
  4. 3. Gün Çözülen: 12(1) + 3 = 12 + 3 = 15
  5. Üç Günde Toplam Çözülen: 0 + 5 + 15 = 20
  6. Kalan Soru: 60 - 20 = 40

Diğer taraftan “17x + 23” ifadesine x = 1 koyarsak:

17(1) + 23 = 17 + 23 = 40

Görüldüğü üzere, tamamen aynı sonucu veriyor. Bu basit test, cebirsel ifademizin tutarlılığını göstermek için bize yardımcı olur.

Ek Bilgiler ve Hatırlatmalar

  • Cebirsel ifadelerde her zaman benzer terimleri toplayıp çıkararak sonuca ulaşırız. Koşullar problemde ek olarak “x bir tam sayı olsun” veya “x ≥ 2” gibi belirtilmedikçe, biz sadece genel ifadeyle sonuca bakarız.
  • Özellikle “kalan soru sayısı” problemde negatif veya sıfır olmamalıdır, ama cebirsel olarak x’in değerine göre farklı senaryolar mümkündür. Soru da bu durumu göz ardı ederek, saf cebirsel ifadeyi sormaktadır.

Cebirsel İfadelerin Hayatımızdaki Yeri

Cebir, sadece kitaplarda veya sınavlarda değil, aynı zamanda günlük hayatta karar verme süreçlerinde, bilimsel çalışmalarda, mühendislik alanlarında ve hatta çeşitli iş kollarının planlamalarında kullanılmaktadır. Örneğin:

  1. Bütçe Planlaması: Bir projenin belli malzeme miktarı ve birim maliyeti varsa, toplam maliyet cebirsel ifadeye dönüştürülerek hesaplanır.
  2. Seyahat Planları: Araç yakıt tüketimini hesaplamak için x kilometrede y litre benzin gibi cebirsel ilişkiler kullanılır.
  3. İşletme Kar Analizleri: Bir işletmenin üretim miktarı, satış fiyatı, birim bazlı karı x gibi değişkenlere dayandığında, toplam gelir ve kâr cebirsel olarak ifade edilebilir.
  4. Eğitim ve Sınav Hazırlığı: Tıpkı bu soru bankası probleminde olduğu gibi, öğrenciye ait performans parametreleri x ile ifade edilerek, hangi sürede ne kadar ilerleme kaydedileceği incelenebilir.

Bu nedenle, bu tarz problemlerin çözüm mantığını kavramak, ileride çok farklı konularda cebirsel düşünme beceri geliştirmek için büyük önem taşır.

Daha İleri Uygulamalar

Cebirsel ifade kurma becerisi geliştikçe, karşımıza çıkabilecek farklı problem türleri şunlardır:

  1. Denklemler ve Eşitsizlikler: Bir veya birden çok bilinmeyen içeren daha karmaşık denklem gruplarını çözmek, sistematik düşünceyi ve adım adım ilerlemeyi gerektirir.
  2. İkinci Dereceden Denklemler (Kare Denklemler): ax^2 + bx + c = 0 şeklindeki ifadeler, günlük hayatta parabolik ilişkileri (örneğin atış hareketleri, ekonomik modellemeler) temsil edebilir.
  3. Orantı ve Ölçek Problemleri: Özellikle geometri ve trigonometriyle kesişen alanlarda sıklıkla orantısal düşünme ve benzer üçgenlerle cebirsel ifade oluşturma uğraşları karşımıza çıkar.

Burada yaptığımız, sadece birinci dereceden, tek bilinmeyenli ifadelerin toplanması ve çıkarılmasıyla ilgili örnektir. Ancak temel alışkanlıklar (doğru modelleme, doğru toplama, çıkarma) her zaman benzer şekilde kullanılır.

Son Değerlendirme: Problemde Mantık Kontrolleri

  • (35x + 25) biçiminde bir toplam bize x’in büyüklüğüne göre epey bir soru içerebileceğini söylüyor.
  • Birinci günün, ikinci günün, üçüncü günün çözdüğü soru sayılarının her biri de x cinsinden lineer artış gösteriyor.
  • En sonunda geriye kalan sorunun da x cinsinden lineer bir ifade çıkması gayet beklenir; 17x + 23 bulduğumuzda, lineer bir sonuç elde etmiş oluyoruz.
  • Eğer problemde “kalan soru sayısı” sabit bir sayı çıksaydı, çok muhtemel ki işlemlerde bir basamak hatası yapılmış olacak veya problem bambaşka şartlarla formüle edilmiş olacaktı.

Bu detay, sonda elde ettiğimiz 17x + 23 ifadesinin “doğru yolda” olduğunu da mantık çerçevesinde gösteren bir ipucudur.

Uzun Bir Özet ve Pekiştirme

  1. Problemi Anlama: İlk olarak toplam soru sayısının 35x + 25, üç günde çözülen soru sayılarının sırasıyla (2x - 2), (4x + 1) ve (12x + 3) olduğu söylendi.
  2. Toplama: Üç günde çözülen miktarların toplamını alırken, benzer terimler toplanarak 18x + 2 bulundu.
  3. Çıkarma: Toplam soru miktarı 35x + 25’ten 18x + 2’yi çıkardığımızda 17x + 23 elde edildi. Bu, kalan soru sayısıdır.
  4. Sonuç Kontrolü: Deneme amaçlı bir x değeri atadığımızda (örneğin x=1), sayıların tutarlı şekilde çalıştığını gördük.
  5. Cebirin Yaygın Kullanımı: Burada yapılan işlemler, günlük yaşamda proje planlamaları, maliyet hesaplamaları veya herhangi bir kaynak dağılımı planlamasında benzer şekilde kullanılır.

Bu problem, çok aşırı karmaşık olmamakla birlikte, cebirsel düşünme becerisini ve adım adım işlem yapabilme yeteneğini pekiştirir. Özellikle problemdeki her “kat” ve “fazla/eksik” ifadesinin doğru şekilde modele (formüle) edilmesi önemlidir.

Sonuç ve Cevap

Böylece problemde istenen 3 günün sonunda çözülmeyen soru sayısı (kalan soru sayısı) ifadesini 17x + 23 olarak buluyoruz. Sorudaki çoktan seçmeli (A, B, C, D) seçeneklerden 17x + 23’ü içeren şık, doğru cevap olmalıdır.

  • Doğru Cevap: 17x + 23

Bu, Serdar’ın üç günde çözmüş olduğu soruların toplamını (18x + 2) bulmamız ve bu değeri toplam soru sayısı (35x + 25)’ten çıkarma işlemine dayanan, son derece mantıklı ve metodik bir sürecin ürünüdür.

@Kankartal