MMF 102 FİZİK 2. Ödev Soru Çözümleri
Aşağıda her bir sorunun genel çözüme yönelik ana adımları ve önemli formüller verilmiştir. Sorular sırasıyla (1) dairesel yay ve bir noktadaki +Q yükünün oluşturduğu alan, (2) düzgün yüklü çubuk, (3) düzgün yüklü disk ve (4) kare köşelerine yerleştirilen nokta yüklerinin etkisiyle ilgili problemleri kapsamaktadır.
1) Yarıçapı R Olan Dairesel Yay (+3/2 Q) ve x-Ekseni Üzerindeki +Q Yükü
Soru (Özet): Yarıçapı R olan ve toplam yükü +3/2 Q olan düzgün yüklü bir dairesel yay orijinin merkez olduğu şekilde yerleştirilmiştir. Ayrıca x-ekseni üzerinde, orijinden R mesafe ötede +Q yükü bulunuyor. Orijinde oluşan toplam elektrik alan vektörünü bulunuz.
Çözüm Adımları
-
Dairesel Yayın Alanı:
- Yay, orijini merkez alan bir çember parçası (yay) olduğundan, her bir küçük yük elemanı orijine uzaklığı sabit R olacak biçimde yerleştirilmiştir.
- Düzgün yük dağılımına göre lineer yük yoğunluğu
$$\lambda = \frac{\frac{3}{2}Q}{\text{yayın uzunluğu}}.$$
Eğer yay \theta kadar açı kapsıyorsa, yayın uzunluğu R\theta olur. - Diferansiyel yük elemanı dQ = \lambda \, R \, d\phi şeklinde ifade edilerek, onun orijindeki alan katkısı d\vec{E} bulunur. Vektörel toplanarak eğrisel integralle çözülür.
-
x-Ekseni Üzerindeki +Q Yükünün Alanı:
- Orijine uzaklığı R olan noktasal yükten dolayı, orijindeki elektrik alan büyüklüğü
$$ E_Q = k,\frac{Q}{R^2} \quad (\text{yönü }+x \text{ ekseni boyunca}). $$ - Burada k = \tfrac{1}{4\pi \epsilon_0} sabitidir.
- Orijine uzaklığı R olan noktasal yükten dolayı, orijindeki elektrik alan büyüklüğü
-
Toplam Elektrik Alan:
- Dairesel yaydan gelen alan \vec{E}_\text{yay} ve noktadaki +Q yükünden gelen alan \vec{E}_Q vektörel olarak toplanır:\vec{E}_\text{toplam} = \vec{E}_\text{yay} + \vec{E}_Q.
- Dairesel yaydan gelen alan \vec{E}_\text{yay} ve noktadaki +Q yükünden gelen alan \vec{E}_Q vektörel olarak toplanır:
-
Sonuç İfade:
- Hesap integral sonucu \theta ve yarıçap R cinsinden elde edilir. Problem bazen \pi=3 gibi basitleştirilmiş bir değerle çözüm isteyebilir. Analitik ifade, açıya bağlı olarak x-y bileşenleri şeklinde (simetri nedeniyle manyetik benzerlikte veya yaya göre) bütünleştirilir. Sonuçta, orijinde $\vec{E}_\text{yay}$’ın x ve y bileşenleri, +Q’nın esasen x-yönlü bileşeniyle toplanır.
2) Uzunluk L, Düzgün Yüklü (-Q) Çubuğun P Noktasında Oluşturduğu Alan
Soru (Özet): -Q yüküne sahip ve uzunluğu L olan düzgün yüklü çubuk x-ekseni boyunca uzanmaktadır. Çubuğun sağ ucundan (örneğin x=L noktasından) a kadar uzaklıkta duran P noktasında elektrik alanın ifadesini bulun.
Çözüm Adımları
-
Lineer Yük Yoğunluğu:
$$ \lambda = \frac{-Q}{L}. $$ -
Diferansiyel Yaklaşım:
- Her bir küçük eleman dx üzerinde ayrık yük dQ = \lambda \, dx bulunur.
- P noktasına uzaklığı r = a + (L - x) veya benzer uygun parametre ile tanımlanır (konum seçimine göre).
-
Elektrik Alan İfadesi (Örnek Formül):
- Çubuk x-ekseni üzerinde [0, L] aralığında olsun ve P noktası x=L+a’da olsun. O zaman:E = \int_0^L k\,\frac{\lambda \, dx}{(a + L - x)^2}.
- Uygun integrasyon sonucunda şu tip kapalı form elde edilir (yönü +x veya -x yönünde olacak şekilde):E = k \left|\lambda\right| \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+L}\right),işaret (yön) çubuk ve nokta arasındaki konuma göre belirlenir.
- Çubuk x-ekseni üzerinde [0, L] aralığında olsun ve P noktası x=L+a’da olsun. O zaman:
-
Sonuç ve Yön:
- Yük -Q olduğu için alanın yönü çubuğa doğru (negatif) olabilir. Genellikle x-ekseni üzerinde, $\vec{E}$’nin işaretini konuma göre belirlemek gerekir.
3) Düzgün Yüklü İnce Diskin Eksen Üzerindeki Alanı
Soru (Özet): Yarıçapı R olan ve düzgün yüzey yük yoğunluğuna (\sigma) sahip bir diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde ve merkezden z uzaklıkta bulunan P noktasındaki elektrik alanı bulunuz.
Çözüm Adımları
-
Yüzey Yük Yoğunluğu ve Toplam Yük:
- Diskin toplam yükü
$$ Q = \sigma \cdot \pi R^2. $$
- Diskin toplam yükü
-
Simetri ve Diferansiyel Halka Yaklaşımı:
- Disk, merkezinden eksene göre simetrik olduğu için, diski ince halkalar bütününe ayırarak her halkanın alan katkısı hesaplanır. Ya da bilinen hazır formül kullanılır.
-
Sonuç Alan Formülü:
- Diskin merkez ekseninde, z mesafesindeki elektrik alanın büyüklüğü:E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right).
- Yön, eksen boyunca (z > 0 ise +z yönünde).
- Diskin merkez ekseninde, z mesafesindeki elektrik alanın büyüklüğü:
-
Özel Durumlar:
- z \gg R (çok uzakta) için disk, nokta yük gibi davranır.
- z = 0 (diskin tam merkezi) için E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} elde edilir.
4) Kare Köşelerine Yerleştirilen 4 Nokta Yük ve q Üzerine Etkileri
Soru (Özet): Kenar uzunluğu a olan bir karenin köşelerine yerleştirilen (örneğin 3q, 4q, 3q) gibi yükler vardır. Sağ üst köşedeki yük (q) noktasındaki net elektrik alanı ve bu yüke etki eden kuvveti hesaplayınız.
Aşağıdaki örnek yerleşimi düşünelim (koordinat düzlemine göre):
- Sol alt köşe: (0,0) → 3q
- Sağ alt köşe: (a,0) → 4q
- Sol üst köşe: (0,a) → 3q
- Sağ üst köşe: (a,a) → q (Alanı burada bulacağız)
Çözüm Adımları
-
Her Bir Yükün Katkısı:
- Noktasal yükten kaynaklanan elektrik alan:\vec{E} = k\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r}.
- Burada r, ilgili yük-köşe arasındaki uzaklık, \hat{r} ise birim vektördür.
- Noktasal yükten kaynaklanan elektrik alan:
-
Mesafeler ve Bileşenler:
- Üst sağ köşedeki nokta (a,a). Diğer köşelerin konumları:
- (0,0) → uzaklık \sqrt{2}\,a → yük 3q
- (a,0) → uzaklık a → yük 4q
- (0,a) → uzaklık a → yük 3q
- Üst sağ köşedeki nokta (a,a). Diğer köşelerin konumları:
-
Örnek Bileşke Alan Hesabı:
-
(0,0) konumundan gelen alan:
- Büyüklük: E_1 = k\,\frac{3q}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{3kq}{2\,a^2}.
- Yön: (a,a) - (0,0) = (a,a) doğrultusu → birim vektör \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
- Dolayısıyla vektör:\vec{E}_1 = \frac{3kq}{2\,a^2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = \Bigl(\tfrac{3kq}{2\,\sqrt{2}\,a^2}, \tfrac{3kq}{2\,\sqrt{2}\,a^2}\Bigr).
-
(a,0) konumundan gelen alan:
- Büyüklük: E_2 = k\,\frac{4q}{a^2}.
- Yön: (a,a) - (a,0) = (0,a) → saf +y yönünde.
- Vektör:\vec{E}_2 = \bigl(0,\tfrac{4kq}{a^2}\bigr).
-
(0,a) konumundan gelen alan:
- Büyüklük: E_3 = k\,\frac{3q}{a^2}.
- Yön: (a,a) - (0,a) = (a,0) → saf +x yönünde.
- Vektör:\vec{E}_3 = \bigl(\tfrac{3kq}{a^2}, 0\bigr).
-
-
Net Elektrik Alan:
- \vec{E}_\text{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3.
- Bileşenler toplanır:E_{x,\text{net}} = \tfrac{3kq}{2\sqrt{2}a^2} + \tfrac{3kq}{a^2}, \quad E_{y,\text{net}} = \tfrac{3kq}{2\sqrt{2}a^2} + \tfrac{4kq}{a^2}.
-
q Yüküne Etki Eden Kuvvet:
- Kuvvet, \vec{F} = q \,\vec{E}_\text{net}.
- Bileşenleri:F_x = q\,E_{x,\text{net}}, \quad F_y = q\,E_{y,\text{net}}.
Özet Tablo
| Soru No | Fiziksel Sistem | Temel Yöntem | Sonuç/Önemli Formül |
|---|---|---|---|
| 1 | Dairesel yay + nokta yükü | Yayın diferansiyel integrali + vektör toplamı | \vec{E}_\text{toplam} = \vec{E}_\text{yay} + \vec{E}_{Q} |
| 2 | Düzgün yüklü çubuk (uzunluk L, yük -Q) | Lineer yük integrali | $ E = k |
| 3 | Yarıçap R, düzgün yüklü ince disk | Halka integrasyonu veya hazır disk formülü | E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr) eksen üzerinde |
| 4 | Kare köşelerindeki farklı nokta yükler (3q,4q,3q,q) | Noktasal yük alanlarının bileşke vektör toplamı | \vec{E}_\text{net} = \sum k \frac{Q_i}{r_i^2}\,\hat{r}_i,\; \vec{F} = q\,\vec{E}_\text{net} |
Coulomb Sabiti:
Bu adımlar takip edilerek verilen tüm soruların ayrıntılı çözümü yapılabilir. Her bir problemde önemli olan, uygun koordinat seçimi yapıp (x-y bileşenleri), doğru integral ifadesi kullanmak ve yönleri dikkate alarak vektörel toplamı yapmaktır.
Answer: Soruların genel çözümleri yukarıdaki yöntemlere dayanarak gerçekleştirilebilir. İyi çalışmalar! @hikmet_huseyinli