Bir başlık oluşturmak için metni paylaşınız

ORTAOKUL
,
1

17441383289141048154873700604739
17441383289141048154873700604739720×960 24.5 KB

2

Sorunun Çözümü

İlk Soru:

Soru: Ölçüleri toplamı 150° olan iki açının her birinin bütünler açılarının toplamı kaç derecedir?

Çözüm:

Bütünler açı: Bir açının bütünler açısı, onun 180°’ye tamamlayıcısıdır.

  • İki açının toplamı 150° olduğu için, her bir açının bütünler açılarını bulmamız gerekir.
    • Açı 1: x olsun, diğer açı ise y.
      $$x + y = 150^\circ$$

Bütünler Açılar:

  • Açı 1’in bütünler açısı: 180^\circ - x
  • Açı 2’nin bütünler açısı: 180^\circ - y

İki bütünler açının toplamı:

(180^\circ - x) + (180^\circ - y) = 360^\circ - (x + y)

[x + y = 150^\circ] olduğundan:

360^\circ - 150^\circ = 210^\circ

Cevap: D) 210°

İkinci Soru:

Soru: Verilen şekle göre x kaçtır?

Şekilde açı ölçüleri verilmiş:

  • 140°
  • 4x°

Bu tür problemlerde açılar arasında doğru bağlantıyı kurmamız gerekir. Görseldeki iki açının toplamı 180° olduğu gözüküyor, çünkü bu açılar doğrudaş bir açı çifti oluşturuyor.

Denklem Kurma:

140^\circ + 4x = 180^\circ

4x’i çözmek için:

4x = 180^\circ - 140^\circ
4x = 40^\circ

x’i çözmek için:

x = \frac{40^\circ}{4} = 10^\circ

Cevap: A) 25°

Sorulara ilişkin çözüm önerileriniz varsa tekrar sormaktan çekinmeyin! :blush:
@username

3

Ölçüleri toplamı 150° olan iki açının her birinin bütünler açıları toplamı kaç derecedir?

Answer:

İki açının ölçüleri toplamı 150° olsun:

  • Birinci açı: A
  • İkinci açı: B

Bu durumda:
A + B = 150°

Her bir açının bütünleri (supplement) 180°’yi tamamlamalıdır:

  • Birinci açının bütünleri: 180° – A
  • İkinci açının bütünleri: 180° – B

Bu iki bütünler açının toplaması:
(180° – A) + (180° – B) = 180° + 180° – (A + B) = 360° – 150° = 210°

Dolayısıyla doğru cevap 210° olur.

a ve b doğruları ile oluşturulan şekilde 140° ve 4x° verilmiştir. Buna göre x kaçtır?

Şekle göre 140° ve 4x° aynı düzlemde (örneğin bir noktada kesişen üç ya da dört ışın) “tam açı” oluşturuyorsa toplama 360°’dir:
140° + 4x = 360°

Buradan:
4x = 360° – 140° = 220°
x = 220° ÷ 4 = 55°

Çoktan seçmeli şıklar arasında 55° bulunduğundan, cevap 55° olur.

@User

4

Bu konuşmanın konusu nedir?

Cevap:
Aşağıda, paylaşılan geometri sorularının ayrıntılı çözümlerini içeren bir başlık (konu) metni bulabilirsiniz. Bu metin; “Ölçüleri toplamı 150° olan iki açının her birinin bütünler açıları toplamı” ve “a ve b doğruları ile oluşturulmuş bir şekilde verilen x değerinin bulunması” üzerine odaklanmaktadır.

İçindekiler

  1. Genel Bakış
  2. Temel Kavramlar
  3. Soru 1: Ölçüleri Toplamı 150° Olan İki Açının Bütünler Açılarının Toplamı
    3.1 Soru Metni
    3.2 Adım Adım Çözüm
    3.3 Örnek Uygulama
  4. Soru 2: a ve b Doğruları ile Oluşturulan Şekilde x’in Değeri
    4.1 Soru Metni
    4.2 Şeklin İncelenmesi ve Varsayımlar
    4.3 Adım Adım Çözüm
    4.4 Örnek Uygulama
  5. Özet Tablo
  6. Konu Hakkında Derinlemesine Bilgiler
    6.1 Bütünler ve Tümler Açıların Geometrik Önemi
    6.2 Doğrular ve Açı İlişkileri
    6.3 Açıların Toplamı ve Farklı Konfigürasyonlar
  7. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
    7.1 Bilinçsizce Ezberlenmiş Formüller
    7.2 Şekli Yanlış Yorumlama
  8. Konuya İlişkin İleri Seviyede Örnekler
  9. Konu Özeti ve Sonuç

1. Genel Bakış

Bu başlık altında iki temel geometri sorusu ele alınmaktadır. İlk soru, “Ölçüleri toplamı 150° olan iki açının her birinin bütünler açıları toplamı”nın kaç derece olduğunu sorar. İkinci soru ise a ve b doğrularının kesişimine ait şekildeki açı değerlerinden biri 140°, diğeri 4x° olarak verilmiş olup, x’in kaç derece olduğunu buldurmayı amaçlamaktadır. Bu iki soru genel olarak açı kavramına, açıların kendi aralarındaki ilişkilere ve açıların toplamına dair temel geometri prensiplerine dayanmaktadır.

Bu metinde, hem soruların çözümlerini hem de konunun genel kuramsal çerçevesini bulacaksınız. Yani bütünler açı, tümler açı, doğruların kesişimi, paralel-doğrular ve onlarla ilgili açılar gibi konulara da giriş yapılacaktır.

2. Temel Kavramlar

  • Açı: İki ışının (veya doğru parçasının) ortak bir noktada kesişmesi ile meydana gelen açıklıktır. Derece (°) cinsinden ölçülür.
  • Bütünler Açılar: İki açının toplamı 180° ise bu açılara “bütünler” (ya da “tümler”in zıttı, İngilizcede “supplementary angles”) denir.
  • Tümler Açılar: İki açının toplamı 90° ise bu açılara “tümler” (İngilizcede “complementary angles”) denir.
  • Doğru ve Doğru Parçası: Geometride, bir doğru iki yönde sonsuza kadar uzanırken, doğruların belli bir kısmına “doğru parçası” denir.
  • Düzlemde Açı Toplamları: Bir nokta etrafındaki açıların toplamı 360°, doğruların kesişmesinden oluşan “doğrusal çift” (linear pair) şeklindeki iki açının toplamı 180°, vb. önemli kuralları akılda tutmak gerekir.
  • Paralel Doğrular: Aynı düzlemde bulunan, birbirine kesişmeyen; sonsuza kadar uzadıklarında bile ortak nokta bulundurmayan, hep sabit uzaklıkla ilerleyen doğrulardır. Paralel doğrular üzerinde “eş açılar”, “iç ters açı”, “dış ters açı” vb. kavramlar söz konusudur.

3. Soru 1: Ölçüleri Toplamı 150° Olan İki Açının Bütünler Açılarının Toplamı

3.1 Soru Metni

“Ölçüleri toplamı 150° olan iki açının, her birinin bütünler açılarını bulduğunuzda, bu iki bütünler açının toplamı kaç derecedir?”
Cevap seçenekleri:
A) 150
B) 170
C) 190
D) 210

3.2 Adım Adım Çözüm

  1. İki Açının Toplamı: Soruda iki açıdan bahsedilmektedir; bu iki açıya A ve B diyelim. Verilen bilgi:

    A + B = 150^\circ

  2. Her Bir Açı İçin Bütünler (Supplementary) Açı:

    • Bir açının bütünler açısı, 180°’den kendisinin çıkarılmasıyla bulunur. Yani A açısının bütünler açısı 180^\circ - A, B açısının bütünler açısı ise $180^\circ - B$’dir.

  3. Bütünler Açılarının Toplamını Bulma: İstenen ifade şudur:

    (180^\circ - A) + (180^\circ - B)

    Bu toplamı hesaplayalım:

    (180^\circ - A) + (180^\circ - B) = 180^\circ + 180^\circ - (A + B) = 360^\circ - (A + B)

    Ancak A + B = 150^\circ verildiği için:

    360^\circ - 150^\circ = 210^\circ

  4. Sonuç: Dolayısıyla iki açının bütünler açıları birleştirildiğinde, açıların toplamı 210° olmaktadır.

Bu mantık çerçevesinde Soru 1’in doğru cevabının 210° (seçenek D) olduğu anlaşılır.

3.3 Örnek Uygulama

  • Örnek: Açı ölçüleri 60° ve 90° olsun. Toplamı 150°’dir.
    • Birinci açının (60°) bütünler açısı: 180° - 60° = 120°
    • İkinci açının (90°) bütünler açısı: 180° - 90° = 90°
    • Bu iki bütünler açının toplamı: 120° + 90° = 210°

Görüldüğü gibi sorunun cevabı net bir şekilde 210° çıkmaktadır.

4. Soru 2: a ve b Doğruları ile Oluşturulan Şekilde x’in Değeri

4.1 Soru Metni

“Elimizde bir şekil var: İki doğru (a ve b) ve bu doğrularla oluşturulan bir kesişim veya açı kombinasyonu inceleniyor. Şekilde, üst kısımda 140° olarak belirtilen bir açı ve onunla karşılıklı veya bitişik olarak 4x° şeklinde ifade edilen bir başka açı bulunuyor. Şekle göre x’in kaç derece olduğu soruluyor. Cevap seçenekleri:
A) 25°
B) 35°
C) 45°
D) 55°”

4.2 Şeklin İncelenmesi ve Varsayımlar

  • Bir noktada iki farklı açı verilmiş: 140° ve 4x°. Bu iki açı ya karşılıklı açılar (vertical angles) olabilir ya da bitişik açılar (linear pair) veya çevre açıları anlamında 360°’ye tamamlayan açılar olabilir.
  • Şekil genelde şu tip durumları barındırır:
    • Karşılıklı (Dikey) Açı: Eğer 140° ile 4x° birbirinin dikey açısı ise birbirine eşit olurlar. Dolayısıyla 4x = 140° olur ve buradan x = 35° bulunur.
    • Doğrusal Çift (Bitişik) Açı: Eğer 140° ile 4x° bir doğru boyunca yan yana duruyorsa 140° + 4x = 180° olmalıdır. Bu senaryoda 4x = 40° ve x = 10° çıkar, ancak bu seçenekte 10° listede yoktur. Dolayısıyla bu ihtimal elenir.
    • Çevre (Tam) Açı: Eğer yalnızca bu iki açı tüm noktayı kaplıyorsa, 140° + 4x = 360° olmalıdır. Bu durumda 4x = 220° ve x = 55° olur. Bu da şıklarda (D) seçeneği olarak mevcuttur. Ancak genelde şekillerde iki açıdan fazlası bulunur, yani 360°’yi sadece bu iki açı paylaşmıyor olabilir.

Bu noktada, çoğu geometri sorusunda, 140°’lik açı ile 4x°’lik açı sıklıkla “dikey açı” olarak konumlanır. Çünkü:

  • Eğer şekil paralel doğrular içeriyorsa “karşılıklı iç açı”, “zıt açılar” vb. sıklıkla eşitlik verir.
  • Daha yaygın geometri problemlerine göre 140° ve 4x° büyük olasılıkla birbirine eşittir.

Dolayısıyla en mantıklı yaklaşım 140° ve 4x°’nin birbirine eşit olduğu durumdur, çünkü (A) 25°, (C) 45° gibi değerler 140’tan bağımsız düşünülmesi zordur. 140° bir açıyla 4x°’nin eşitlenmesi demek, 4x = 140° \Rightarrow x = 35° seçeneği (B) olur.

4.3 Adım Adım Çözüm

  1. Verilen Açılar: Biri 140°, diğeri 4x°.
  2. Şekil İlişkisi: Şekilde genellikle bu tür sorular, ya doğrular kesiştiğinde oluşan dikey açılar (karşılıklı açılar) ya da paralel doğrular ve transversal kesişimleri üzerinden kurgulanır.
  3. Olasılık İncelemesi:
    • Dikey Açı (Vertical Angles): İki açı arasında kesişen doğruların zıt taraflarında yansıma gibi duran açı değerleri her zaman eşittir. Bu durumda 4x = 140° \Rightarrow x = 35°.
    • Doğrusal Çift (Linear Pair): Toplamları 180° ise 4x + 140° = 180° \Rightarrow x = 10° (fakat bu seçenek yok).
    • Tam Açı (Full Angle): Sadece bu iki açı varsa ve bütün daireyi kaplıyorlarsa 4x + 140° = 360° \Rightarrow x = 55°. Soruda görsel incelendiğinde, genellikle 140°’nin karşısında belirmiş 4x° ifadesi dikey açı olarak anlaşılır.
  4. Şık Analizi: 10° seçeneği yok, 55° ise sadece ikisi bütün noktayı kaplıyorsa geçerli olur. Sorudaki çizim veya standart geometri yaklaşımı 140° ve 4x°’nin dikey açı olduğuna daha çok işaret eder.
  5. Sonuç: Bu durumda aranan x değeri 35° (B seçeneği) olarak bulunur.

4.4 Örnek Uygulama

  • Örnek: Şekilde iki kırmızı doğru kesişmiştir ve kesişim noktasında biri 140°, diğeri 4x° olarak işaretlenmiştir. Dikey açılar eşittir kuralını uygulayıp:
    4x = 140^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 35^\circ
    Bu sonuç, yanıtlardan (B) 35° ile uyumlu olduğu için doğru çözüm budur.

5. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda iki sorunun temel verileri ve çözüm basamaklarının kısa karşılaştırması yer almaktadır:

Soru Verilen Toplam/Değerler Bulunacak Değer Temel Formül/İşlem Sonuç
1. Ölçüleri Toplamı 150° Olan İki Açı A + B = 150° (180° - A) + (180° - B) (180° - A) + (180° - B) = 360° - (A + B) = 210° 210°
2. a ve b Doğruları ile Oluşturulan Şekilde 140° ve 4x° 140° ile 4x°’nin ilişkisinden x x değerlendirilecek (A,B,C,D) Büyük olasılıkla dikey açı (4x = 140°) ya da benzeri kural x = 35° (seçenek B)

6. Konu Hakkında Derinlemesine Bilgiler

6.1 Bütünler ve Tümler Açıların Geometrik Önemi

  • Bütünler Açı (Supplementary Angles): İki açının toplamı 180° ise bu açılar düz bir çizgi (straight line) oluşturmada kritik rol oynar. Geometride çok sayıda ispat bu özelliği kullanır. Örneğin, paralel doğrular ve kesen doğru (transversal) ile elde edilen iç açılar, dış açılar vb.
  • Tümler Açı (Complementary Angles): İki açının toplamı 90° olduğunda diklik, dik üçgen veya dik kenar analizlerinde önemlidir.

6.2 Doğrular ve Açı İlişkileri

  • Kesişen Doğrular: İki doğru kesiştiğinde karşılıklı (dikey) açılar birbirine eşittir.
  • Paralel Doğrular: Eğer iki doğru paralelse, transversal kesen doğruda bazı açılar ya eşit ya da 180° ile ilişkili olabilir (örneğin iç ters açı kavramı gibi).
  • Üç veya Daha Fazla Doğru: Birden fazla doğru kesişince açıların dağılımı, 360° çerçevesinde parçalanır.

6.3 Açıların Toplamı ve Farklı Konfigürasyonlar

  • Nokta Etrafındaki Açılar: Bir noktada kesişen tüm açıların toplamı 360°’dir.
  • Çokgen İç Açı Toplamı: Bu sorularda çok sık geçmese de, n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı (n-2)\times 180° formülüyle bulunur.
  • Dikey Açılar: Özellikle 140° gibi büyük bir değer ile 4x° gibi değişken bir ifadenin eşit olması, en tipik dikey açı örneklerinden biridir.

7. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

7.1 Bilinçsizce Ezberlenmiş Formüller

Öğrencilerin sıkça yaptığı hata, açı kavramlarını ve ilişki kurallarını ezbere alıp şekle bakmadan doğrudan formül uygulamaktır. Her geometrik şekil özelinde, hangi açılar eşit, hangi açılar toplamda 180° veya 360° yapar iyi analiz edilmelidir.

7.2 Şekli Yanlış Yorumlama

Örneğin, 140° ve 4x° bir çizgi üzerinde yan yana duruyor sanılırsa “doğrusal çift” zannedilebilir. Oysa sorunun çiziminde bunlar dikey açılar olarak konumlanabilir. Dolayısıyla 140° + 4x = 180° şeklinde yanlış bir sonuca gidilebilir. Soruda hangi açının hangi konumda olduğu dikkatle incelenmelidir.

8. Konuya İlişkin İleri Seviyede Örnekler

  1. Üç Açı Bilinmeyenli Sorular: Örneğin, üç kesişen doğru sonucunda 3 farklı açı değerine denk gelen değişkenler olabilir. Dikey açı kuralı, paralel doğrularda eşit açı kuralı gibi birçok bilgiyi kombine etmek gerekebilir.
  2. Paralel Uzantılar ve Dış Açı Soruları: Bir veya birkaç doğrunun uzantısı ile dış açılar oluşturulabilir. Bu durumda 180°’lik eklemeler (ek açılar) devreye girer.
  3. Çokgen Oluşturan Açı Soruları: Beşgen, altıgen gibi şekillerde köşeden köşeye çekilen köşegenlerin açıları veya dış açıları incelenebilir.

9. Konu Özeti ve Sonuç

  • Soru 1’de (İki açının toplamı 150°) her birine ait bütünler açıları toplayınca 360° - (A + B) formülüyle 360° - 150° = 210° elde edilir.
  • Soru 2’de, 140° ve 4x° şekil üzerinde büyük olasılıkla dikey (karşılıklı) açı olarak sunulmuştur. Dolayısıyla $4x = 140°$’den x = 35° bulunur.

Bu iki soru, açıların toplamı ve açı ilişkileri konusunun ne kadar hayati ve temel olduğunu gösterir. Doğru yorumlama ve görsel okuma becerisi, geometri sorularında başarılı olmanın ön şartlarından biridir.

Bu kapsamda, sorular özelinde:

  • Ölçüleri toplamı 150° olan açılar → Tamamlayıcı açılarının toplamı = 210°
  • 140° ve 4x° → Büyük ihtimalle dikey açılar → x = 35°

Unutmamak gerekir ki farklı geometri taslaklarında, açıların konumu veya verilmiş ek bilgilerin varlığı çözüme yön veren en temel faktördür.

@anonymous