Bir atlet pist üzerinde yedi turu 112 dakikada Tamamlıyor. Aynı hızla 38 turu kaç dakikada koşar?
Bir atlet pist üzerinde yedi turu 112 dakikada Tamamlıyor. Aynı hızla 38 turu kaç dakikada koşar?
Cevap:
Bir atletin tur başına koştuğu süreyi hesaplayarak, aynı hızda 38 turu tamamlamak için gereken toplam süreyi hesaplayabiliriz.
Adım 1: 1 Turun Süresini Bulalım
Atlet, 7 turu 112 dakikada tamamlıyor. Buna göre, 1 turun süresi aşağıdaki şekilde bulunabilir:
1 \text{ turun süresi} = \frac{\text{toplam süre}}{\text{tur sayısı}}
Yani:
1 \text{ turun süresi} = \frac{112}{7}
1 \text{ turun süresi} = 16 \text{ dakika}
Adım 2: 38 Tur için Süreyi Hesaplayalım
Şimdi, atletin 38 turu aynı hızla koşacağı süreyi hesaplayabiliriz. Her bir turun süresi 16 dakika olduğundan, toplam süre aşağıdaki şekilde bulunur:
\text{Toplam süre (38 tur)} = \text{1 turun süresi} \times \text{tur sayısı}
\text{Toplam süre (38 tur)} = 16 \times 38
\text{Toplam süre (38 tur)} = 608 \text{ dakika}
Sonuç:
Atlet, aynı hızla 38 turu 608 dakikada tamamlar.
Umarım yardımcı olabilmişimdir! 
@username
Bir atlet pist üzerinde yedi turu 112 dakikada Tamamlıyor. Aynı hızla 38 turu kaç dakikada koşar?
Cevap:
Oranlama Adımları
- 7 turun süresi: 112 dakika
- 1 turun süresi: 112 ÷ 7 = 16 dakika
- 38 turun süresi: 38 × 16 = 608 dakika
Bu nedenle atlet, aynı hızla 38 turu 608 dakikada koşar.
@username
Bir atlet pist üzerinde yedi turu 112 dakikada tamamlıyor. Aynı hızla 38 turu kaç dakikada koşar?
Cevap:
Bu soruda, atletin pistte koştuğu turlar ve geçen süre arasında bir oran-orantı ilişkisi bulunmaktadır. Sporcular belirli bir tempoyla, yani sabit hızla koştuklarında, tur sayısı ile toplam süre arasında doğrusal bir ilişki görürüz. Kısaca şu mantığı uygularız:
• 7 turu tamamlamak → 112 dakika
• 1 turu tamamlamak → 112 ÷ 7 dakika
• 38 turu tamamlamak → (112 ÷ 7) × 38 dakika
Bu hesaplama sonucunda 1 turu 16 dakikada koştuğunu ve 38 turu 16 × 38 = 608 dakika koşacağını buluruz.
Bununla birlikte, bu sonucu basitçe belirtmek yerine, konuyu geniş kapsamlı bir şekilde inceleyerek hem matematiksel temelleri hem de spora yönelik bazı detayları derinlemesine anlatalım. Bu sayede oran-orantı konusunun nasıl işlediğini ve bu tür problemlerin nasıl çözüleceğini çok daha net bir şekilde öğrenebiliriz. Aşağıda, bu sorunun çözümüne ilişkin detaylı açıklamalar, kavramsal çerçeveler, günlük yaşam örnekleri ve ek bilgiler yer almaktadır. Böylece hem matematiksel disiplini hem de sporla iç içe olan bu problemin mantığını kapsamlı olarak görebilirsiniz.
İçindekiler
- Giriş: Oran-Orantı Kavramı ve Problem Tanıtımı
- Sabit Hız Kavramı ve Turlar Arası İlişki
- Adım Adım Çözüm Yöntemleri
- Detaylı Matematiksel Açıklamalar
- Spor ve Matematik İlişkisi
- Farklı Örneklerle Pekiştirme
- Problemin Çözümüne İlişkin Tablo
- Ek Bilgiler ve İpuçları
- Sonuç ve Özet
Giriş: Oran-Orantı Kavramı ve Problem Tanıtımı
Matematikte oran ve orantı, bir büyüklüğün başka bir büyüklüğe göre nasıl değiştiğini, yani aralarındaki ilişkiyi anlamak için kullanılan temel kavramlardır. Oran, iki sayının birbirine bölünmesiyle elde edilen değerdir. Örneğin, a ve b olmak üzere iki sayının a:b şeklindeki ifadesi “a’nın b’ye oranı” anlamına gelir.
Birçok gerçek yaşam problemi, oran ve orantı aracılığıyla çözülebilir. Örneğin, elinizde bir tarif varsa ve malzemeleri iki katına çıkaracaksanız, doğrudan orantı söz konusudur. Ya da bir araç belirli bir yakıtla belli bir mesafe kat ediyorsa, yakıt ile mesafe arasında yine orantısal bir ilişki kurulur.
Bu spesifik soruda ise bir atlete ait süre ve tur sayısı ele alınmaktadır:
- 7 tur → 112 dakika
- 38 tur → ? dakika
Bu problem, “sabit hızla koşma” varsayımına dayalı olarak tur sayısı arttıkça geçen sürenin de orantılı bir şekilde artacağını ifade eder. Çünkü koşu temposu, aynı hızla sabitlenmişse, tur başına harcanan süre sabit kalacaktır.
Sabit Hız Kavramı ve Turlar Arası İlişki
Sabit hız (sabit tempo), bir sporcunun koşusunun her turunu eşit sürede koşmaya çalıştığını gösterir. Eğer bir sporcu 7 turu 112 dakikada bitiriyorsa, her tur için ortalama 112 ÷ 7 = 16 dakika harcanmış demektir. Bu mantıkta, 1 tur için 16 dakika sabitken, 38 tur yapıldığında bu sürenin 38 katı kadar zaman kullanılır.
Süre-Hız-Tur İlişkisi
- Hız (v): Mesafe / Zaman
- Zaman (t): Mesafe / Hız
- Mesafe (d): Hız × Zaman
Fakat burada “mesafe” olarak turların toplamı, “zaman” olarak da dakikalar üzerinden konuşuyoruz. Hız, “tur/dakika” cinsinden de düşünülebilir. Dolayısıyla tur başına süre “dakika/tur” cinsinden ifade edilir. Problemde basitçe tur başına düşen dakika üzerinden gideriz.
Adım Adım Çözüm Yöntemleri
Birinci Yöntem: Doğrudan Orantı
Bu tür soruların en bilindik çözüm yöntemi, doğrudan orantı ilkesini kullanmaktır. Eğer 7 turun süresi 112 ise, 38 turun süresi X dakikadır gibi bir orantı kurarız:
7 \text{ tur} \quad \rightarrow \quad 112 \text{ dakika} \\
38 \text{ tur} \quad \rightarrow \quad X \text{ dakika}
Orantı ifadesi:
\frac{7}{38} = \frac{112}{X} \quad \text{veya} \quad 7 : 112 = 38 : X
Bu bağıntıyı çözmek için ya “çapraz çarpım” (cross multiplication) yöntemini kullanırız:
7 \times X = 38 \times 112
X = \frac{38 \times 112}{7}
X = \frac{38 \times 112}{7} = 38 \times 16 = 608
Bu da 608 dakika sonucunu doğrudan verir.
İkinci Yöntem: Birim Zaman Yöntemi (Unitary Method)
- 7 tur = 112 dakika → 1 tur ne kadar sürer?1 \text{ tur} = \frac{112}{7} = 16 \text{ dakika}
- 1 turu 16 dakikada koşuyorsa, 38 turu koşmak için gereken süre:38 \text{ tur} = 16 \cdot 38 = 608 \text{ dakika}
Birim yönteminde, önce tek bir turu koşmak için gereken zamanı çıkarır, sonra istenen tur sayısını bu değere çarparak sonuç buluruz.
Detaylı Matematiksel Açıklamalar
Doğrusal Orantı Nedir?
Doğrusal orantı (ya da “doğrudan orantı”), iki büyüklükten biri arttıkça diğeri de aynı oranda artıyorsa söz konusudur. Burada tur sayısı ile toplam süre doğru orantılıdır. Formülize etmek gerekirse:
\text{tur sayısı} \propto \text{süre}
Bu “proportional” ifadesi, bir sabite eşitlenerek açıklanabilir:
\text{süre} = k \times \text{tur sayısı}
Burada k, “bir turu koşmak için geçen süre” veya “tur başına dakikadır.” Mevcut problemde bu k, 16 dakikadır.
Orantı Kuramında Formüller
Matematiksel olarak, a:b = c:d orantısında ad = bc bağıntısı vardır. Bu soruya uyarlarsak:
7 (tur) : 112 (dakika) = 38 (tur) : X (dakika)
Çapraz çarpım yapılır:
7 \times X = 112 \times 38
ve X buradan rahatlıkla bulunur.
Spor ve Matematik İlişkisi
Atletizmde Tempo İdaresi
Koşu sporunda, “tempo” olarak adlandırılan kavram, sporcunun sabit hızını korumasına işaret eder. Özellikle uzun mesafeli koşularda her turda aynı ortalama sürede koşmak, dayanıklılık ve stratejik nefessiz kalma durumlarını minimuma indirmek için önemlidir. Bu tempoyu tutturmak, yarışlar veya antrenman esnasında kondisyonu korumak ve hedeflenen toplam süreyi bilmek açısından kritik bir beceridir.
Bir atlet antrenman yaparken:
- Toplam tur sayısını belirler,
- Her turu ortalama ne kadar sürede koşabileceğini tasarlar,
- Hedeflediği toplam zamanı hesaplar.
Bu şekilde hem yarış planlaması yapar hem de kondisyon seviyesini takip eder.
Koşu Antrenmanlarında Dakika-Tur Hesaplaması
Kimi zaman antrenmanlar, “her turu şu kadar dakikada koş, ardından dinlen ve devam et” şeklinde planlanır. Bu sayede antrenörden sporcunun dayanıklılığı ve hızı sürekli takip edilebilir. Örneğin, bu sorudaki gibi 7 tur üzerinden ölçüm alındığında, 7 tur = 112 dakika verisini kullanarak sporcunun performansı hakkında çıkarımlar yapılabilir:
- Turu 16 dakikanın altına indirmek form artışı gösterebilir.
- Turu 16 dakikanın üzerine çıkarmak form düşüşü ya da aşırı yorgunluk veya sakatlık belirtisi olabilir.
Aynı formu koruyarak 38 turda ne kadar süreceğini bilmek, antrenman planlaması açısından önemlidir. Örneğin büyük bir yarışta 38 tur ya da belirli bir mesafe koşuluyorsa sporcunun antrenman tempoları buna göre şekillendirilir.
Farklı Örneklerle Pekiştirme
Farklı Tur ve Süre Senaryoları
-
10 Turluk Senaryo:
Eğer 7 turu 112 dakikada koşan atlet aynı hızla 10 tur koşmak isterse süre:- 1 tur = 16 dakika
- 10 tur = 16 × 10 = 160 dakika
-
21 Turluk Senaryo:
Bir yarım maraton benzeri pist söz konusuysa ve 21 tur koşulacaksa:- 1 tur = 16 dakika
- 21 tur = 16 × 21 = 336 dakika
Bu örneklerde tur başına süre aynı kalırsa, toplam süre tur sayısına göre doğrusal şekilde artar.
Koşu Bantlarındaki Hız Ayarı
Günümüzde spor salonlarında oldukça yaygın kullanılan koşu bantlarında, “hız (km/sa)” seçilir. Orada da süre, koşulan mesafe, koşu bant ayarı arasında benzer orantısal ilişkiler bulunur:
- Eğer bantta hız = 10 km/sa olarak ayarlandıysa, 1 saat içinde 10 km koşulmuş olur.
- 7 km koşmak için 42 dakika (doğrusal orantı gereği) gerekir:
10 km → 60 dakika
7 km → ? dakika
$$\text{Süre} = \frac{7 \times 60}{10} = 42 \text{ dakika}$$
Bu, temel oran-orantı mantığıyla birebir aynıdır. Problemimize döndüğümüzde “tur başına dakika” biçiminde de aynı şekilde ilerler.
Problemin Çözümüne İlişkin Tablo
Aşağıdaki tabloda, 7 tur → 112 dakika problemine ilişkin adım adım hesaplamayı özetledik:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Verilerin Belirlenmesi | 7 tur, 112 dakika | – |
| 2. Bir Tur Süresini Bulma | 112 ÷ 7 | 16 dakika |
| 3. 38 Tur Süresini Hesaplama (Doğrudan) | 16 (bir tur süresi) × 38 (tur sayısı) | 608 dakika |
| 4. Sonuç | 38 turu tamamlamak için gereken toplam süre | 608 dakika |
| 5. Kontrol: Orantısal Doğruluk | (7 tur : 112 dakika) = (38 tur : 608 dakika) | Doğru orantı sağlanıyor (7×608 = 112×38) |
Bu tablo, hem mantıksal akışı hem de hesaplamayı net biçimde göstermektedir. Ayrıca 7 × 608 = 4256 ve 112 × 38 = 4256 ile çapraz çarpımın eşit çıktığını doğrulayabilirsiniz.
Ek Bilgiler ve İpuçları
Olası Hata Kaynakları
- Yanlış Birim Çevirisi: Dakika, saat gibi birimleri karıştırmamak gerekir. Soruda tamamen dakika cinsinden verilmiş olduğu için ekstra bir dönüşüm yoktur.
- Yanlış Ters Orantı Kurma: Bu sorun doygunluk testinde veya “daha fazla tur, daha az süre” şeklinde yanlış kurulan mantık hatasından kaynaklanabilir. Burada doğru orantı söz konusu: Tur sayısı arttıkça süre de artar.
- Turu Kaç Dakikada Koştuğunu Yanlış Hesaplama: 7 tur = 112 dakikadan 1 tur = 112/7 = 16 dakikayı doğru hesaplamak kritik noktadır. Bu yanlış yapılırsa bütün çözüm hatalı çıkar.
Zaman Yönetimi ve Antrenman Planlama
Koşucuların en büyük ihtiyaçlarından biri de antrenman ve yarış planlamasıdır. Bir sporcunun sabit tempoda ne kadar sürede ne kadar mesafe gidebileceği, performans ölçümleri açısından çok önemlidir. Bu tür basit oran-orantı hesaplamaları, uzun antrenmanların takibini ve hedeflerin belirlenmesini kolaylaştırır. Örneğin, haftalık antrenman programında 7 tur koşmak, 10 tur koşmak veya 38 tur koşmak gibi farklı hedefler koyup, bunların ne kadar süre alacağını önceden bilmek, sporcuya zihinsel hazırlık avantajı sağlar.
Ayrıca bir antrenör, sporcusunun her turu ne kadar sürede koştuğuna bakarak belirli aralıklarla hızlanma veya yavaşlama periyotlarını planlayabilir:
- Gelişim Takibi:
Haftadan haftaya 7 turun süresi kısalmaya başlıyorsa, atletin kondisyonunun arttığını düşünebiliriz. - Taktiksel Planlama:
Uzun mesafede koşulacak 38 turluk bir yarışa hazırlanan atlet, önceki denemelerde 7 tur verisi üzerinden iyi bir öngörü kazanabilir. - Motivasyon:
Sporcunun, belirli bir hedefi (örneğin 16 dakikayı 15 dakikaya düşürmeyi) sürekli takip etmesi, antrenman motivasyonunu yükseltir.
Sonuç ve Özet
Bir atletin pist üzerinde yedi turu 112 dakikada tamamlaması, her bir tur için 16 dakika harcadığını gösterir. Aynı hız (sabit tempo) korunduğunda, 38 tur için gereken süreyi de orantısal olarak bulabiliriz:
-
Orantı Kurma
7 tur → 112 dakika
38 tur → X dakika
Buradan 1 tur → 16 dakika geldiğini hesaplayarak, 38 tur = 16 × 38 = 608 dakika sonucuna ulaşırız. -
Doğrusal Orantı
Tur sayısı ile toplam süre doğru orantılı olduğu için, tur sayısı arttıkça süre de orantılı şekilde artar. Formül olarak:\text{Süre} = (\text{Bir turun süresi}) \times (\text{Tur sayısı})Bu da 16 × 38 = 608 dakikadır.
-
Uygulama Alanı
Bu tür basit oran-orantı problemleri, gerçek hayatta çok sık karşılaştığımız durumlardan biridir: Bir yemek tarifi, alışverişte fiyat hesabı, koşu veya diğer spor faaliyetleri gibi… Soruda elde ettiğimiz 7 tur ve 112 dakika bilgisi, bize aynı tempoda devam edersek 38 turda ne kadar zaman alacağının doğrudan göstergesidir. -
Önemli Notlar
- Mutlaka “doğru orantı” ilkesi kullanılmalıdır.
- Tersi bir durum düşünüldüğünde, örneğin hız sabit değil de aksine artıyorsa, bu hesap geçerliliğini kaybeder. Burada soruda “aynı hızla” dendiği için hesaplama nettir.
- Hesaplamaların sonunda elde edilen 608 dakika, kabaca 10 saat 8 dakikaya denk geldiğinden atletin oldukça uzun süre koştuğu sonucunu çıkarabiliriz. Gerçek hayatta maraton gibi özel koşullar hariç, 38 tur belki bir antrenmana göre fazla olabilir; ancak soruda teorik bir durum veriliyor ve saf matematik mantığı üzerinden ilerliyoruz.
Tüm açıklamalardan sonra, net ve kısa cevabımız: Atlet, 38 turu 608 dakikada tamamlar.