Bana Karekök konusunu anlatabilir misin?

LGS
1

Bana Karekök konusunu anlatabilir misin? (Açık ve net bir şekilde anlatırsan sevinirim çünkü anlamakta biraz zorluk çekiyorum):heartbeat:

@sorumatikbot

2

Bana Karekök konusunu anlatabilir misin? (Açık ve net bir şekilde anlatırsan sevinirim çünkü anlamakta biraz zorluk çekiyorum):heartbeat:

Cevap:
Tabii ki @Sakine_Süt, karekök konusunu detaylı ve anlaşılır bir şekilde açıklamaktan memnuniyet duyarım.

Karekök Nedir?

Karekök, bir sayının karesini (yani kendisiyle çarpımını) verdiğimizde elde edilen sayıdır. Matematiksel olarak, bir sayının karekökünü bulmak, o sayıyı hangi sayının karesi olduğunu belirlemektir.

Örneğin:

  • 4 sayısının karekökü 2’dir çünkü 2^2 = 4
  • 9 sayısının karekökü 3’tür çünkü 3^2 = 9

Karekök sembolü “√” şeklindedir ve genellikle “karekök” olarak adlandırılır.

Önemli Not:
Matematikte iki tür karekök vardır: pozitif karekök ve negatif karekök. Genellikle √ sembolü pozitif karekökü ifade ederken, negatif karekökü ifade etmek için sayının önüne “-” işareti koyarız.

\sqrt{x} = y \quad \text{(pozitif karekök)}
-\sqrt{x} = -y \quad \text{(negatif karekök)}

Temel İlkeler

  1. Kare ve Karekök İlişkisi:

    • Eğer ( y ) sayısının karesi ( x ) sayısını veriyorsa, o zaman ( y ) sayısı ( x ) sayısının kareköküdür.
      y^2 = x \implies \sqrt{x} = y

  2. Pozitif ve Negatif Karekökler:

    • Bir sayının iki karekökü bulunur: biri pozitif, diğeri negatif.
      \text{Örneğin,} \quad 9 \text{ sayısının karekökleri } +3 \text{ ve } -3 \text{ tür.}

Örneklerle Açıklama

  1. Örnek 1: 16 Sayısının Karekökü

    • 16’nın pozitif karekökü nedir?
      \sqrt{16} = 4 \quad \text{çünkü $4^2 = 16$}
    • 16’nın negatif karekökü nedir?
      -\sqrt{16} = -4 \quad \text{çünkü $(-4)^2 = 16$}

  2. Örnek 2: 25 Sayısının Karekökü

    • 25’in pozitif karekökü nedir?
      \sqrt{25} = 5 \quad \text{çünkü $5^2 = 25$}
    • 25’in negatif karekökü nedir?
      -\sqrt{25} = -5 \quad \text{çünkü $(-5)^2 = 25$}

Kareköklerin Özellikleri

  1. Pozitif Sayıların Karekökleri: Pozitif bir sayının pozitif ve negatif olmak üzere iki karekökü vardır.
  2. Negatif Sayıların Karekökleri: Negatif sayıların gerçek (real) sayılar kümesinde karekökü yoktur çünkü hiçbir gerçek sayı kendisiyle çarpıldığında negatif bir sonuç vermez.
  3. Sıfırın Karekökü: Sıfırın karekökü sıfırdır çünkü (0 \times 0 = 0).

Farklı Karekök Soruları

  1. Karekök İçindeki Sayının Çarpanı (Çarpanlara Ayırma):

    \sqrt{50} \quad \text{nasıl basitleştirilir?}
    • 50’yi çarpanlarına ayıralım: 50 = 25 × 2
    • Bunun karekökünü alalım:
      \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}

  2. Karekök İçindeki İki Sayının Çarpımı:

    • Karekök içindeki iki sayının çarpımı, bu sayıların kareköklerinin çarpımına eşittir:
      \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

Karekök Hesaplama Teknikleri

  • Küçük sayıların karekökünü zihinsel olarak hesaplamak mümkündür. Büyük sayılar için ise hesap makinesi kullanmak genellikle daha pratik bir yöntemdir.

Sonuç olarak, karekök konusu, bir sayının hangi sayıların karesi olduğunu anlamak ve bu terimleri kullanarak farklı matematiksel işlemleri gerçekleştirmekle ilgilidir. Kareköklerin temel özelliklerini anlamak, bu işlemler sırasında kullanışlı olacaktır.

Umarım bu açıklama senin için faydalı olmuştur @Sakine_Süt! Eğer başka soruların varsa, lütfen çekinmeden sor. :heartbeat:

3

Konuyu biraz daha genişletebilir misin?

4

Konuyu biraz daha genişletebilir misin?

Cevap:
Tabii ki @Sakine_Süt, karekök konusunu daha geniş bir şekilde ele alalım. Karekökün temel tanımını ve özelliklerini öğrendikten sonra, bu kavramı çeşitli matematiksel bağlamlarda nasıl kullanabileceğimizi inceleyebiliriz.

Karekök Fonksiyonu

Karekök fonksiyonu, matematiksel bir fonksiyon olup, her pozitif gerçek sayıyı pozitif karekökü ile ilişkilendirir. Fonksiyonun grafiği genellikle aşağıdaki gibi görünür:

y = \sqrt{x}

Grafik Özellikleri:

  • Karekök fonksiyonunun grafiği, (0,0) noktasından başlar ve sağa doğru pozitif x ekseni boyunca artarak devam eder.
  • Fonksiyon yalnızca pozitif x değerleri için tanımlıdır çünkü negatif sayıların gerçek karekökleri yoktur.
  • Grafiğin eğimi başlangıçta çok diktir, ancak x arttıkça eğimi azalır.

Kareköklü İfadeler ve İşlemler

Kareköklü ifadelerle yapılan işlemler, matematiksel hesaplarda oldukça önemlidir. Bazı temel kuralları ve işlemleri inceleyelim:

  1. Kareköklerin Çarpımı:

    \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}

    Örneğin:

    \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6

  2. Kareköklerin Bölümü:

    \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

    Örneğin:

    \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2

  3. Karekök İçerisindeki Çarpanları Ayırma:

    \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

    Örneğin:

    \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

  4. Kareköklü İfadelerin Toplanması ve Çıkarılması:
    Kareköklü ifadeler, ancak benzer terimler olduklarında toplanabilir veya çıkarılabilirler.

    a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b}

    Örneğin:

    3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}

Kareköklü Denklemler

Kareköklü denklemler, bilinmeyen bir değişkenin karekökünü içeren denklemlerdir. Bu tür denklemleri çözmek için genellikle her iki tarafın da karesi alınır.

Örnek Denklem:

\sqrt{x + 2} = 5

Çözüm Adımları:

  1. Her iki tarafın karesini alın:

    (\sqrt{x + 2})^2 = 5^2 \implies x + 2 = 25

  2. Denklemi çözün:

    x + 2 = 25 \implies x = 23

Karekök ve Üstel Fonksiyonlar

Karekökler ve üstel fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi anlamak, matematiksel problemlerde oldukça önemlidir. Karekökü üstel ifadelerle de ifade edebiliriz.

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

Örnek:

\sqrt{16} = 16^{\frac{1}{2}} = 4

Negatif Kareköklerin Karmaşık Sayılarla İlişkisi

Daha önce değindiğimiz gibi, negatif sayıların gerçek karekökleri yoktur. Ancak, karmaşık sayılar kullanılarak negatif sayıların karekökleri bulunabilir.

Örnek:

\sqrt{-4} = 2i \quad \text{(burada "i" sanal birim olup, $i^2 = -1$'dir.)}

Uygulamalı Örnekler ve Problemler

  1. Problemlerle Konu Pekiştirme:

    \text{Örnek:} \quad \text{(3√3 + 2√3) - √27} = ?

    Çözüm:

    3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{27}

    İlk iki terimi birleştirelim:

    5\sqrt{3}

    Son terimi basitleştirelim:

    \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}

    Şimdi birleştir:

    5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Bu türden örnekler ve çözümlerle karekök kavramını daha iyi pekiştirebilirsiniz.

Sonuç

Karekök konusu, matematiğin temel konularından biridir ve çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Karekök hesaplamaları, üstel fonksiyonlar, denklemler ve problemlerde karşımıza çıkar. Bu konuyu öğrenmek, sadece matematiksel problemlerde değil, aynı zamanda mühendislik, fizik ve diğer bilim alanlarında da önemli bir beceridir.

Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur @Sakine_Süt! Eğer hala aklına takılan yerler veya sorular varsa, lütfen danışmaktan çekinme. :heartbeat:

5

Bana 8.sınıf karekök konusu ile ilgili kolay - orta - zor problemler verebilir misin? (Çözümleriyle birlikte)

6

Bana 8. sınıf karekök konusu ile ilgili kolay - orta - zor problemler verebilir misin? (Çözümleriyle birlikte)

Cevap:
Tabii ki @Sakine_Süt, 8. sınıf seviyesine uygun olarak karekök konusuyla ilgili farklı zorluk seviyelerinde problemler ve çözümler sunabilirim.

Kolay Problemler

Problem 1:
$$\sqrt{49} \text{ kaçtır?}$$

Çözüm:
49 sayısının karekökünü bulmak için bu sayıyı hangi sayının karesi olduğunu belirlememiz yeterli.

\sqrt{49} = 7 \quad \text{çünkü } 7^2 = 49

Sonuç:
$$\sqrt{49} = 7$$

Problem 2:
$$3\sqrt{4} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce \sqrt{4}'ü hesaplayalım:

\sqrt{4} = 2

Şimdi bu değeri işlemde yerine koyalım:

3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6

Sonuç:
$$3\sqrt{4} = 6$$

Problem 3:
$$\sqrt{81} - \sqrt{16} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce her iki karekök değerini hesaplayalım:

\sqrt{81} = 9 \quad \text{ve} \quad \sqrt{16} = 4

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

\sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5

Sonuç:
$$\sqrt{81} - \sqrt{16} = 5$$

Orta Problemler

Problem 1:
$$2\sqrt{25} + \sqrt{100} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce her iki karekök değerini hesaplayalım:

\sqrt{25} = 5 \quad \text{ve} \quad \sqrt{100} = 10

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

2\sqrt{25} + \sqrt{100} = 2 \times 5 + 10 = 10 + 10 = 20

Sonuç:
$$2\sqrt{25} + \sqrt{100} = 20$$

Problem 2:
$$\sqrt{18} \text{ ifadesini sadeleştirin.}$$

Çözüm:
18’i çarpanlarına ayıralım:

18 = 9 \times 2

Şimdi her iki çarpanın karekökünü alalım:

\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}

Sonuç:
$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Problem 3:
$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce kesir içindeki karekökleri sadeleştirebiliriz:

\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}

Şimdi karekökü alalım:

\sqrt{25} = 5

Sonuç:
$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 5$$

Zor Problemler

Problem 1:
$$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{75} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce her karekök ifadesini sadeleştirelim:

\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}

Şimdi bu ifadeleri işlemde yerine koyalım:

3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (3+2-5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0

Sonuç:
$$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{75} = 0$$

Problem 2:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 9 cm’dir. Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Dikdörtgende köşegen uzunluğu, Pisagor Teoremi kullanılarak bulunabilir.
Dikdörtgenin kısa kenarı a = 4 cm ve uzun kenarı b = 9 cm olsun.
Pisagor Teoremi’ne göre:

d = \sqrt{a^2 + b^2}

Değerleri yerine koyalım:

d = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}

Sonuç:
$$\text{Dikdörtgenin köşegen uzunluğu} \quad \sqrt{97} \text{ cm’dir.}$$

Problem 3:
Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 24 cm uzunluğundadır. Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşittir. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Önce verilen kenarların kareköklerini bulalım:

\sqrt{7} \quad \text{ve} \quad \sqrt{24}
\sqrt{7} \quad \quad \sqrt{24} = 2\sqrt{6}

Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşit olduğuna göre:

\sqrt{7} + 2\sqrt{6}

Bu durumda üçüncü kenarın uzunluğu \sqrt{7} + 2\sqrt{6} cm’dir.

Sonuç:
Üçüncü kenarın uzunluğu \sqrt{7} + 2\sqrt{6} cm’dir.

Bu problemler karekök konusunu pekiştirmenize yardımcı olacaktır, @Sakine_Süt. Her zorluk seviyesindeki problemlerde öğrendiğiniz kuralları ve stratejileri uygulayarak daha fazla pratik yapabilirsiniz. Başka sorularınız olursa, lütfen sormaktan çekinmeyin! :heartbeat:

7

Neden $ isareti kullanıyorsun ki hiç bir şey anlamıyorum!

8

Neden $ isareti kullanıyorsun ki hiç bir şey anlamıyorum!

Cevap:
Özür dilerim @Sakine_Süt, matematiksel ifadeleri daha anlaşılır ve düzgün bir şekilde göstermek için $ işaretlerini kullanıyorum. Şimdi bu sembolleri kullanmadan açıklamaya çalışacağım.

Kolay Problemler

Problem 1:
49 sayısının karekökü nedir?

Çözüm:
49 sayısının karekökünü bulmak için bu sayıyı hangi sayının karesi olduğunu belirlememiz yeterli.
49’un karekökü 7’dir çünkü 7 x 7 = 49.

Sonuç:
49’un karekökü 7’dir.

Problem 2:
3 çarpı 4’ün karekökü işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
Önce 4’ün karekökünü hesaplayalım:
4’ün karekökü 2’dir.

Şimdi bu değeri işlemde yerine koyalım:
3 çarpı 2 = 6.

Sonuç:
3 çarpı 4’ün karekökü işleminin sonucu 6’dır.

Problem 3:
81’in karekökü eksi 16’nın karekökü işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
Önce her iki karekök değerini hesaplayalım:
81’in karekökü 9’dur ve 16’nın karekökü 4’tür.

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:
9 - 4 = 5.

Sonuç:
81’in karekökü eksi 16’nın karekökü işleminin sonucu 5’tir.

Orta Problemler

Problem 1:
2 çarpı 25’in karekökü artı 100’ün karekökü işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
Önce her iki karekök değerini hesaplayalım:
25’in karekökü 5 ve 100’ün karekökü 10’dur.

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:
2 çarpı 5 + 10 = 10 + 10 = 20.

Sonuç:
2 çarpı 25’in karekökü artı 100’ün karekökü işleminin sonucu 20’dir.

Problem 2:
18’in karekökü ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:
18’i çarpanlarına ayıralım:
18 = 9 çarpı 2.

Şimdi her iki çarpanın karekökünü alalım:
9’un karekökü 3’tür, bu durumda 3 çarpı 2’nin karekökü olur:
3 çarpı karekök 2.

Sonuç:
18’in karekökü, 3 çarpı karekök 2’dir.

Problem 3:
50’nin karekökü bölü 2’nin karekökü işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
Önce kesir içindeki karekökleri sadeleştirebiliriz:
50 bölü 2’nin karekökü eşittir 25’in karekökü olur.

Şimdi karekökü alalım:
25’in karekökü 5’tir.

Sonuç:
50’nin karekökü bölü 2’nin karekökü işleminin sonucu 5’tir.

Zor Problemler

Problem 1:
27’nin karekökü artı 12’nin karekökü eksi 75’in karekökü işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
Önce her karekök ifadesini sadeleştirelim:
27 eşittir 9 çarpı 3, burada 9’un karekökü 3 olduğu için 3 çarpı karekök 3.
12 eşittir 4 çarpı 3, burada 4’ün karekökü 2 olduğu için 2 çarpı karekök 3.
75 eşittir 25 çarpı 3, burada 25’in karekökü 5 olduğu için 5 çarpı karekök 3.

Şimdi bu ifadeleri işlemde yerine koyalım:
3 çarpı karekök 3 + 2 çarpı karekök 3 - 5 çarpı karekök 3 = 0 çarpı karekök 3 = 0.

Sonuç:
27’nin karekökü artı 12’nin karekökü eksi 75’in karekökü işleminin sonucu 0.

Problem 2:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 9 cm’dir. Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Dikdörtgende köşegen uzunluğu, Pisagor Teoremi kullanılarak bulunabilir.
Dikdörtgenin kısa kenarı a = 4 cm ve uzun kenarı b = 9 cm olsun.
Pisagor Teoremi’ne göre:
köşegen uzunluğu eşittir a kare artı b karenin karekökü.

Değerleri yerine koyalım:
köşegen uzunluğu eşittir 4’ün karesi artı 9’un karesi eşittir 16 artı 81’in karekökü eşittir 97’nin karekökü.

Sonuç:
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu karekök 97 cm’dir.

Problem 3:
Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 24 cm uzunluğundadır. Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşittir. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Önce verilen kenarların kareköklerini bulalım:
7’nin karekökü ve 24’ün karekökü.
7’nin karekökü 7’nin karekökü, 24’ün karekökü 2 çarpı karekök 6’dır.

Bu durumda üçüncü kenar:
7’nin karekökü artı 2 çarpı karekök 6.

Sonuç:
Üçüncü kenar 7’nin karekökü artı 2 çarpı karekök 6 cm’dir.

Bu problemler karekök kavramını pekiştirmenize yardımcı olacaktır, @Sakine_Süt. Matematiksel ifadeleri kolay anlaşılan formda yazmayı tercih ettim, yine de başka sorularınız olursa lütfen çekinmeden sorun! :heartbeat:

9

Neden √ işareti koymadın! Böyle hiç bir şey anlamıyorum!

10

Neden √ işareti koymadın! Böyle hiç bir şey anlamıyorum!

Cevap:
Özür dilerim @Sakine_Süt, karekök işaretini kullanarak daha anlaşılır bir şekilde açıklayacağım.

Kolay Problemler

Problem 1:
$$\sqrt{49}$$ kaçtır?

Çözüm:
49 sayısının karekökünü bulmak için bu sayıyı hangi sayının karesi olduğunu belirlememiz yeterli.

\sqrt{49} = 7 \quad \text{çünkü} \quad 7^2 = 49

Sonuç:
$$\sqrt{49} = 7$$

Problem 2:
$$3\sqrt{4} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce \sqrt{4}'ü hesaplayalım:

\sqrt{4} = 2

Şimdi bu değeri işlemde yerine koyalım:

3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6

Sonuç:
$$3\sqrt{4} = 6$$

Problem 3:
$$\sqrt{81} - \sqrt{16} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce her iki karekök değerini hesaplayalım:

\sqrt{81} = 9 \quad \text{ve} \quad \sqrt{16} = 4

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

\sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5

Sonuç:
$$\sqrt{81} - \sqrt{16} = 5$$

Orta Problemler

Problem 1:
$$2\sqrt{25} + \sqrt{100} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce her iki karekök değerini hesaplayalım:

\sqrt{25} = 5 \quad \text{ve} \quad \sqrt{100} = 10

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

2\sqrt{25} + \sqrt{100} = 2 \times 5 + 10 = 10 + 10 = 20

Sonuç:
$$2\sqrt{25} + \sqrt{100} = 20$$

Problem 2:
$$\sqrt{18} \text{ ifadesini sadeleştirin.}$$

Çözüm:
18’i çarpanlarına ayıralım:

18 = 9 \times 2

Şimdi her iki çarpanın karekökünü alalım:

\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}

Sonuç:
$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Problem 3:
$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce kesir içindeki karekökleri sadeleştirebiliriz:

\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}

Şimdi karekökü alalım:

\sqrt{25} = 5

Sonuç:
$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 5$$

Zor Problemler

Problem 1:
$$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{75} \text{ işleminin sonucu nedir?}$$

Çözüm:
Önce her karekök ifadesini sadeleştirelim:

\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}

Şimdi bu ifadeleri işlemde yerine koyalım:

3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (3+2-5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0

Sonuç:
$$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{75} = 0$$

Problem 2:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 9 cm’dir. Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Dikdörtgende köşegen uzunluğu, Pisagor Teoremi kullanılarak bulunabilir.
Dikdörtgenin kısa kenarı a = 4 cm ve uzun kenarı b = 9 cm olsun.
Pisagor Teoremi’ne göre:

d = \sqrt{a^2 + b^2}

Değerleri yerine koyalım:

d = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}

Sonuç:
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu \sqrt{97} cm’dir.

Problem 3:
Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 24 cm uzunluğundadır. Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşittir. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Önce verilen kenarların kareköklerini bulalım:

\sqrt{7} \quad \text{ve} \quad \sqrt{24}
\sqrt{7} \quad \quad \sqrt{24} = 2\sqrt{6}

Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşit olduğuna göre:

\sqrt{7} + 2\sqrt{6}

Bu durumda üçüncü kenarın uzunluğu \sqrt{7} + 2\sqrt{6} cm’dir.

Sonuç:
Üçüncü kenarın uzunluğu \sqrt{7} + 2\sqrt{6} cm’dir.

Bu problemler karekök konusunu pekiştirmenize yardımcı olacaktır, @Sakine_Süt. Her zorluk seviyesindeki problemlerde öğrendiğiniz kuralları ve stratejileri uygulayarak daha fazla pratik yapabilirsiniz. Başka sorularınız olursa, lütfen sormaktan çekinmeyin! :heartbeat:

11

Bak demek i̇stedi̇ği̇m şu √ i̇şareti̇ni̇ kullan. Ama i̇şareti̇ni̇ kullanma çünkü i̇şareti̇ni̇ kullandiğinda hi̇ç bi̇r şey anlamiyorum (ama √ i̇şareti̇ni̇ kullan) :heart:

12

Bana Karekök konusunu anlatabilir misin?

Cevap:
Tabii @Sakine_Süt, karekök konusunu √ işareti kullanarak ve olabildiğince açık bir şekilde anlatacağım.

Karekök Nedir?

Karekök, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmamıza yardımcı olan matematiksel bir kavramdır. Karekök işareti (√) kullanarak gösterilir. Bir sayının karesi, o sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilir. Örneğin, 4 sayısının karesi 16’dır çünkü 4 × 4 = 16. Bu durumda 16’nın karekökü 4’tür, yani √16 = 4.

Örnekler ile Açıklama

  1. Temel Örnek:

    • $$√9$$ nedir?
      • 9’un karekökü 3’tür çünkü 3 x 3 = 9.
      • $$√9 = 3$$

  2. Farklı Sayılar:

    • $$√25$$ nedir?
      • 25’in karekökü 5’tir çünkü 5 x 5 = 25.
      • $$√25 = 5$$

  3. Negatif Kareler:

    • $$√4$$ ve $$-√4$$
      • Bir sayının karekökü pozitif veya negatif olabilir. Örneğin, 4’ün karekökü 2 ve -2’dir çünkü 2 x 2 = 4 ve -2 x -2 = 4.
      • Yani $$√4 = 2$$ ve $$-√4 = -2$$

Karekök Hesaplamaları

Adım 1: Çarpanlara Ayırma

Bir sayının karekökünü bulurken ilk adım, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır.

Örnek:
$$ √72 $$'nin değerini bulalım.

  1. Asal çarpanlarına ayırma:
    • 72 = 2 × 36 (2’nin karekökü: 2)
    • 36 = 2 × 18 (2’nin karekökü: 2)
    • 18 = 2 × 9 (3’ün karekökü: 2)
    • 9 = 3 × 3 (3’ün karekökü: 3)
  2. Asal çarpanları gruplandırma:
    • 72 = 2^3 × 3^2
  3. Grup dışına çıkarma:
    • √72 = √(2^3 × 3^2) = 2√18 = 2 × 3√2 = 6√2

Adım 2: Pisagor Teoremi Kullanma

Karekök hesaplamalarında Pisagor Teoremi de sıkça kullanılır. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunu hesaplamak için kullanılır.

Örnek:
Bir dik üçgenin dik kenarları 3 cm ve 4 cm ise, hipotenüs uzunluğu (c) nedir?

  1. Pisagor Teoremi’ne göre:

    • c² = a² + b²
    • c² = 3² + 4²
    • c² = 9 + 16
    • c² = 25
    • c = √25 = 5

  2. Hipotenüs uzunluğu:

    • 5 cm

Karekök Kullanılan Gerçek Hayat Örnekleri

  1. Geometri: Dikdörtgenin köşegenini bulurken.
  2. Fizik: Hız ve ivme hesaplamalarında.
  3. Müzik: Frekans ve dalga boyu hesaplamalarında.

Örnek Problemler ve Çözümleri

Problem 1:
$$√49$$ kaçtır?

Çözüm:
49’un karekökü 7’dir çünkü 7 × 7 = 49.

  • $$√49 = 7$$

Problem 2:
$$3√4$$ işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
√4 = 2

  • 3√4 = 3 × 2 = 6

Problem 3:
$$√81 - √16$$ işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
√81 = 9 ve √16 = 4

  • 9 - 4 = 5
  • $$√81 - √16 = 5$$

Problem 4:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 9 cm’dir. Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Dikdörtgende köşegen uzunluğu, Pisagor Teoremi kullanılarak bulunabilir.

  • a = 4 cm ve b = 9 cm
  • Pisagor Teoremi: (c = √(a² + b²))
  • (c = √(4² + 9²))
  • (c = √(16 + 81))
  • (c = √97)

Sonuç:
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu √97 cm’dir.

Problem 5:
Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 24 cm uzunluğundadır. Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşittir. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Önce verilen kenarların kareköklerini bulalım:

  • √7 ve √24
  • √24 = 2√6
  • Üçüncü kenar: √7 + 2√6

Sonuç:
Üçüncü kenar √7 + 2√6 cm’dir.

Umarım bu açıklamalar karekök konusunu anlamanıza yardımcı olmuştur, @Sakine_Süt. Başka sorularınız veya anlamadığınız noktalar olursa lütfen çekinmeden sorun! :heart:

13

Bak demek i̇stedi̇ği̇m şu √ i̇şareti̇ni̇ kullan. Ama () i̇şareti̇ni̇ kullanma çünkü () i̇şareti̇ni̇ kullandiğinda hi̇ç bi̇r şey anlamiyorum (ama √ i̇şareti̇ni̇ kullan)

14

Bana Karekök konusunu anlatabilir misin?

Cevap:
Tabii @Sakine_Süt, karekök konusunu √ işareti kullanarak ve olabildiğince açık bir şekilde anlatacağım.

Karekök Nedir?

Karekök, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmamıza yardımcı olan matematiksel bir kavramdır. Karekök işareti (√) kullanarak gösterilir. Bir sayının karesi, o sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilir. Örneğin, 4 sayısının karesi 16’dır çünkü 4 x 4 = 16. Bu durumda 16’nın karekökü 4’tür, yani √16 = 4.

Örnekler ile Açıklama

  1. Temel Örnek:

    • √9 nedir?
      • 9’un karekökü 3’tür çünkü 3 x 3 = 9.
      • √9 = 3

  2. Farklı Sayılar:

    • √25 nedir?
      • 25’in karekökü 5’tir çünkü 5 x 5 = 25.
      • √25 = 5

  3. Negatif Kareler:

    • √4 ve -√4
      • Bir sayının karekökü pozitif veya negatif olabilir. Örneğin, 4’ün karekökü 2 ve -2’dir çünkü 2 x 2 = 4 ve -2 x -2 = 4.
      • Yani √4 = 2 ve -√4 = -2

Karekök Hesaplamaları

Adım 1: Çarpanlara Ayırma

Bir sayının karekökünü bulurken ilk adım, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır.

Örnek:
√72’nin değerini bulalım.

  1. Asal çarpanlarına ayırma:
    • 72 = 2 x 36
    • 36 = 2 x 18
    • 18 = 2 x 9
    • 9 = 3 x 3
  2. Asal çarpanları gruplandırma:
    • 72 = 2^3 x 3^2
  3. Grup dışına çıkarma:
    • √72 = √(2^3 x 3^2) = 2√18 = 2 x 3√2 = 6√2

Adım 2: Pisagor Teoremi Kullanma

Karekök hesaplamalarında Pisagor Teoremi de sıkça kullanılır. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunu hesaplamak için kullanılır.

Örnek:
Bir dik üçgenin dik kenarları 3 cm ve 4 cm ise, hipotenüs uzunluğu (c) nedir?

  1. Pisagor Teoremi’ne göre:

    • c² = a² + b²
    • c² = 3² + 4²
    • c² = 9 + 16
    • c² = 25
    • c = √25 = 5

  2. Hipotenüs uzunluğu:

    • 5 cm

Karekök Kullanılan Gerçek Hayat Örnekleri

  1. Geometri: Dikdörtgenin köşegenini bulurken.
  2. Fizik: Hız ve ivme hesaplamalarında.
  3. Müzik: Frekans ve dalga boyu hesaplamalarında.

Örnek Problemler ve Çözümleri

Problem 1:
√49 kaçtır?

Çözüm:
49’un karekökü 7’dir çünkü 7 x 7 = 49.

  • √49 = 7

Problem 2:
3√4 işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
√4 = 2

  • 3√4 = 3 x 2 = 6

Problem 3:
√81 - √16 işleminin sonucu nedir?

Çözüm:
√81 = 9 ve √16 = 4

  • 9 - 4 = 5
  • √81 - √16 = 5

Problem 4:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 9 cm’dir. Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Dikdörtgende köşegen uzunluğu, Pisagor Teoremi kullanılarak bulunabilir.

  • a = 4 cm ve b = 9 cm
  • Pisagor Teoremi: c = √(a² + b²)
  • c = √(4² + 9²)
  • c = √(16 + 81)
  • c = √97

Sonuç:
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu √97 cm’dir.

Problem 5:
Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 24 cm uzunluğundadır. Üçüncü kenar bu iki kenarın karekökleri toplamına eşittir. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm:
Önce verilen kenarların kareköklerini bulalım:

  • √7 ve √24
  • √24 = 2√6
  • Üçüncü kenar: √7 + 2√6

Sonuç:
Üçüncü kenar √7 + 2√6 cm’dir.

Umarım bu açıklamalar karekök konusunu anlamanıza yardımcı olmuştur, @Sakine_Süt. Başka sorularınız veya anlamadığınız noktalar olursa lütfen çekinmeden sorun! :heart:

15

Şimdi oldu :heart: bir de bana zor sorular yazar mısın? Ama () işaretini kullanma () dışında ki matematiksel işaretlerine yer verebilirsin❤

16

Zor Karekök Soruları

Tabii @Sakine_Süt, senin için zor karekök soruları hazırladım. Bu sorular karekök hesaplamalarını ve problem çözme yeteneklerini geliştirmene yardımcı olacaktır. İşte zorlayıcı birkaç soru:

Soru 1:

Bir dik üçgenin bir kenarı 8 cm ve hipotenüsü 10 cm’dir. Diğer dik kenarının uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Pisagor Teoremi’ni kullanarak:
Hipotenüs (c) = 10 cm
Dik kenar (a) = 8 cm
Diğer dik kenar (b) = ?

Pisagor Teoremi’ne göre:
c² = a² + b²

10² = 8² + b²
100 = 64 + b²
100 - 64 = b²
36 = b²
b = √36
b = 6 cm

Soru 2:

√20 ve √45 sayılarının toplamının sonucunu bulun ve sadeleştirin.

Çözüm:

√20 = √(4 x 5) = 2√5
√45 = √(9 x 5) = 3√5
2√5 + 3√5 = 5√5

Soru 3:

Bir karede bir kenar uzunluğu 13 cm’dir. Bu karenin köşegeninin uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Köşegen uzunluğu bir kenarın uzunluğunun √2 katıdır.
Kenar uzunluğu = 13 cm
Köşegen uzunluğu = 13√2 cm

Soru 4:

√18 + √50 işlemini sadeleştirin ve sonucun karesini bulun.

Çözüm:

√18 = √(9 x 2) = 3√2
√50 = √(25 x 2) = 5√2

3√2 + 5√2 = 8√2

Sonucun karesi:
(8√2)² = 8² x (√2)² = 64 x 2 = 128

Soru 5:

20√3 + 15√12 ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

15√12 = 15√(4 x 3) = 15 x 2√3 = 30√3

Toplam ifade:
20√3 + 30√3 = 50√3

Soru 6:

Bir dikdörtgenin uzun kenarı 15 cm ve kısa kenarı 9 cm ise, bu dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Pisagor Teoremi’ni kullanarak:
Uzun kenar (a) = 15 cm
Kısa kenar (b) = 9 cm
Köşegen (c) = ?

Pisagor Teoremi’ne göre:
c² = a² + b²

c² = 15² + 9²
c² = 225 + 81
c² = 306
c = √306

Soru 7:

Bir üçgenin kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 cm’dir. Bu üçgenin gerektiğinde bir dik üçgen olup olmadığını gösterin.

Çözüm:

Pisagor Teoremi’ni kullanarak:
Hipotenüs (c) en büyük kenar olduğundan 13 cm’dir.
a = 5 cm, b = 12 cm.

Pisagor Teoremi’ne göre:
c² = a² + b²

13² = 5² + 12²
169 = 25 + 144
169 = 169

Sonuç doğru ve bu üçgen bir dik üçgendir.

Soru 8:

√75 + √48 ifadesini sadeleştirin ve sonucun tam kare olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm:

√75 = √(25 x 3) = 5√3
√48 = √(16 x 3) = 4√3

5√3 + 4√3 = 9√3

Sonuç tam kare değildir.

Soru 9:

Bir kare prizmanın taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 10 cm’dir. Bu prizmanın köşegeni kaç cm’dir?

Çözüm:

Tabanda bir kare olduğundan, taban köşegenini önce bulmalıyız:
Taban kenarı (a) = 6 cm
Köşegen (d) = √(a² + a²) = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 cm

Prizmanın köşegeni:
√(d² + h²) = √((6√2)² + 10²) = √(72 + 100) = √172
Prizmanın köşegen uzunluğu √172 cm’dir.

Soru 10:

Bir kürenin yarıçapı 7 cm ise, bu kürenin hacmini ve yüzey alanını bulun.

Çözüm:

Kürenin hacim formülü: V = 4/3 πr³
Kürenin yüzey alanı formülü: A = 4πr²

Yarıçap (r) = 7 cm

Hacim (V):
V = 4/3 π (7)³
V = 4/3 π (343)
V = 4/3 x 3,14 x 343
V ≈ 1436 cm³

Yüzey Alanı (A):
A = 4π (7)²
A = 4π (49)
A = 4 x 3,14 x 49
A ≈ 615,44 cm²

Umarım bu zor sorular senin için faydalı olmuştur, @Sakine_Süt. Başka sorular veya açıklama ihtiyacın olursa çekinmeden sorabilirsin! :heart:

17

Ama 8.sınıf sorularından zor soru istedim♡

18

Zor Karekök Soruları (8. Sınıf)

Özür dilerim @Sakine_Süt, işte 8. sınıf seviyesine uygun zor karekök soruları. Umarım bu sorular ihtiyaçlarını karşılar ve pratik yapmana yardımcı olur.

Soru 1:

Aşağıda verilen ifadelerin en sade hallerini bulun:
a) √72
b) 3√27 + 2√75
c) 5√50 - √18

Çözüm:

a) √72

  • 72 = 2² x 3²
  • √72 = √(2² x 3²) = 6√2

b) 3√27 + 2√75

  • √27 = √(9 x 3) = 3√3
  • √75 = √(25 x 3) = 5√3
  • 3√27 + 2√75 = 3 x 3√3 + 2 x 5√3 = 9√3 + 10√3 = 19√3

c) 5√50 - √18

  • √50 = √(25 x 2) = 5√2
  • √18 = √(9 x 2) = 3√2
  • 5 x 5√2 - √18 = 25√2 - 3√2 = 22√2

Soru 2:

Bir dikdörtgenin kısa kenarı 8 cm ve uzun kenarı 15 cm’dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Pisagor Teoremi’ni kullanarak:
Uzun kenar (a) = 15 cm
Kısa kenar (b) = 8 cm
Köşegen (c) = ?

Pisagor Teoremi’ne göre:
c² = a² + b²

c² = 15² + 8²
c² = 225 + 64
c² = 289
c = √289
c = 17 cm

Bu durumda köşegen uzunluğu 17 cm’dir.

Soru 3:

Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulun ve sadeleştirin:
a) √144
b) √75 - 2√27
c) 4√20 + 2√45

Çözüm:

a) √144

  • 144 = 12² olduğundan
  • √144 = 12

b) √75 - 2√27

  • √75 = √(25 x 3) = 5√3
  • √27 = √(9 x 3) = 3√3
  • 2 x 3√3 = 6√3
  • 5√3 - 6√3 = -√3

c) 4√20 + 2√45

  • √20 = √(4 x 5) = 2√5
  • √45 = √(9 x 5) = 3√5
  • 4 x 2√5 + 2 x 3√5 = 8√5 + 6√5 = 14√5

Soru 4:

Aşağıdaki ifadenin sonucunu bulun ve sadeleştirin: √(64 x 81)

Çözüm:

√(64 x 81)

  • 64 = 8² ve 81 = 9² olduğundan
  • √(8² x 9²) = √64 x √81 = 8 x 9 = 72
    Bu durumda sonuç 72’dir.

Soru 5:

Bir kare prizmanın taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 10 cm’dir. Bu prizmanın köşegeni kaç cm’dir?

Çözüm:

Tabanda bir kare olduğundan, taban köşegenini önce bulmalıyız.
Taban kenarı (a) = 6 cm
Köşegen (d) = √(a² + a²) = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 cm
Prizmanın köşegeni:
√(d² + h²) = √((6√2)² + 10²) = √(72 + 100) = √172
Prizmanın köşegen uzunluğu √172 cm’dir.

Soru 6:

Bir sayının karekök değeri 5√2 ve √8’dir. Bu sayının ne olduğunu bulun ve sonuçları karşılaştırın.

Çözüm:

5√2 = 5 x 1.414 = 7.07
√8 = √(4 x 2) = 2√2 = 2 x 1.414 = 2.828
Karşılaştırdığımızda:
5√2 > √8

Soru 7:

Bir sayının karekökü, bir başka sayının iki katının kareköküne eşittir. Sayıları bulun:
√a = 2√b

Çözüm:

Denklemimiz:
√a = 2√b

Her iki tarafın karesini alalım:
a = 4b
Bu durumda, eğer b = 1 ise, a = 4 x 1 = 4
Bu durumda sayılar: a = 4, b = 1 olacaktır.

Soru 8:

Bir karenin kenar uzunluğu √50 cm ise, bu karenin alanını ve çevresini bulun.

Çözüm:

Kenar uzunluğu = √50 cm
Alan = (√50)² = 50 cm²
Kenar uzunluğu = √50 olduğundan, çevre = 4 x √50 cm
Çevre = 4√50 cm ≈ 28.28 cm

Soru 9:

Bir üçgenin iki kenarının karekökü; biri 3√5 cm, diğeri 4√5 cm’dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu Pisagor Teoremi kullanarak bulun.

Çözüm:

Dik kenarları baz alalım:
a = 3√5 cm
b = 4√5 cm
c = ?
Pisagor Teoremi’ne göre:
c² = (3√5)² + (4√5)²
c² = 45 + 80
c² = 125
c = √125 = 5√5 cm

Soru 10:

Bir dik üçgenin bir dik kenarı 15 cm ve hipotenüsü 17 cm’dir. Diğer dik kenarının uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Pisagor Teoremi ile:
Hipotenüs (c) = 17 cm
Dik kenar (a) = 15 cm
Diğer dik kenar (b) = ?
Pisagor Teoremi ile:
c² = a² + b²
17² = 15² + b²
289 = 225 + b²
b² = 289 - 225
b² = 64
b = √64
b = 8 cm

Sonuç:

Umarım bu sorular senin için yeterince zor ve faydalı olmuştur, @Sakine_Süt! Eğer başka soruların varsa veya belirli bir konuda daha fazla açıklama istiyorsan, lütfen çekinmeden sor. :heart: