x ve y Doğal Sayıları İçin x! \cdot 24 = y Eşitliğini Sağlayan x + y Toplamı En Az Kaçtır?
Problem Çözümü
-
Verilen Sorunun Analizi:
- ( x! \cdot 24 = y )
- ( x ) ve ( y ) doğal sayılar.
- Amaç, ( x + y ) toplamını en az yapmak.
-
Factoriyel Değerlerini Belirleme:
Factoriyel ((!)) bir sayının tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin:
[
\begin{align*}
4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \
5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \
\end{align*}
] -
Denklemi Sağlayan Değerlerin Bulunması:
- ( 4! = 24 ) olduğuna göre, ( x = 4 ) ve ( x! \cdot 24 = 24 \cdot 24 = 576 ). Burada ( y = 576 ).
- Bu durumda ( x + y = 4 + 576 = 580 ).
-
Diğer Olası Değerleri Kontrol Etme:
- ( 3! \cdot 24 = 6 \cdot 24 = 144 ), ( x = 3 ) ve ( y = 144 ) olduğunda ( x + y = 3 + 144 = 147 ).
- ( 2! \cdot 24 = 2 \cdot 24 = 48 ), ( x = 2 ) ve ( y = 48 ) olduğunda ( x + y = 2 + 48 = 50 ).
-
En Küçük Toplamı Bulma:
- Bu değerlere baktığımızda, ( x = 1 ) çalışılırsa:
[
1! \cdot 24 = 1 \cdot 24 = 24 \quad (y = 24)
]
O zaman,
[
x + y = 1 + 24 = 25
]
- Bu değerlere baktığımızda, ( x = 1 ) çalışılırsa:
Sonuç
Soruyu doğru çözerek, en küçük ( x + y ) toplamının 25 olduğu sonucuna vardık.
Doğru cevap: A) 25
Sorudaki diğer şıklar muhtemelen hatalardan kaynaklanıyor, ancak en mantıklısı bu çözümle 25 sonucudur.