Soru: ABCD dikdörtgeninin A ve B köşeleri x eksenindedir, C ve D köşeleri ise (y = 9 - x^2) parabolü üzerindedir. Buna göre ABCD dikdörtgeninin alanı en büyük, uzunluğu x eksenine paralel olacak şekilde köşelerin koordinatlarının çarpımı kaçtır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için aşağıdaki adımları takip edeceğiz:
Adım 1: Verilen bilgilerin analizi
- (A(x_1, 0)) ve (B(x_2, 0)): Dikdörtgenin x ekseni üzerinde olan köşeler.
- (C(x_1, y_1)) ve (D(x_2, y_2)): Dikdörtgenin üst köşeleri parabolde yer alıyor. Bu noktaların koordinatları; parabol üzerinde olduğundan, (y = 9 - x^2) denkleminden bulunur:
[
y_1 = 9 - x_1^2 \quad \text{ve} \quad y_2 = 9 - x_2^2.
]
Adım 2: Dikdörtgenin alan formülünün yazılması
Dikdörtgenin alanı, taban uzunluğu ile yükseklik çarpımına eşittir:
[
\text{Alan} = \text{taban uzunluğu} \times \text{yükseklik}.
]
- Taban uzunluğu: ( |x_2 - x_1| ),
- Yükseklik: ( y = 9 - x^2 ), yani üst noktaların ordinatı (y koordinatları).
Bu durumda, dikdörtgenin alanı şu şekilde ifade edilir:
[
A = |x_2 - x_1| \times |9 - x_1^2|.
]
Adım 3: Alanı en büyük yapan koşullar
Parabol simetriktir ve (y = 9 - x^2) denklemindeki maksimum genişlik, (x = 0) eksenini merkez alarak oluşur. Bu nedenle, simetrik bir bölge üzerinden en büyük alanı araştırırız. Alanı maksimum yapan (x_1) ve (x_2) değerlerini belirleyelim.
Simetri sebebiyle, (x_1 = -a) ve (x_2 = a) şeklinde seçebiliriz (burada (a > 0)).
- Taban uzunluğu:
[
|x_2 - x_1| = |a - (-a)| = 2a.
] - Yükseklik:
[
|9 - x_1^2| = |9 - a^2|, \quad \text{ve} \quad |9 - x_2^2| = |9 - a^2|.
]
Bu durumda, yükseklik aslında sabit kalır: (9 - a^2). Alan şu hale gelir:
[
A = 2a \times (9 - a^2).
]
Adım 4: Maksimum alanı bulmak için türev alalım
Burada (A(a)) fonksiyonunu maksimum yapan (a) değerini bulmamız gerekiyor:
[
A(a) = 2a \cdot (9 - a^2).
]
Çarpımı açarsak:
[
A(a) = 18a - 2a^3.
]
Alanı maksimum yapan (a) değerini bulmak için türev alıp (A’(a) = 0) durumunu çözelim:
[
A’(a) = 18 - 6a^2.
]
[
18 - 6a^2 = 0 \quad \implies \quad a^2 = 3 \quad \implies \quad a = \sqrt{3}.
]
Adım 5: Alanı hesaplama
Bulduğumuz (a = \sqrt{3}) değerini alan formülünde yerine koyalım:
[
A = 2a \cdot (9 - a^2) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (9 - (\sqrt{3})^2).
]
[
A = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (9 - 3) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}.
]
Sonuç: Köşelerin çarpımı
Koordinatlar şu şekildedir:
- (A(-\sqrt{3}, 0)),
- (B(\sqrt{3}, 0)),
- (C(-\sqrt{3}, 9 - 3 = 6)),
- (D(\sqrt{3}, 6)).
Köşelerin çarpımı:
[
(-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \cdot (0 \cdot 6) = -3.
]
Cevap: -3
@username