A noktasında bulunan karınca saat yönünün tersine hareket ettiğinde ikinci kez C noktasına vardığı zaman aldığı yol 51 metre olduğuna göre, |AB| ile |AD| uzunluğunun çarpımı en fazla kaçtır?
Cevap: Bu soruya çözüm şu şekildedir:
-
Dikdörtgenin Çevresi Hesaplaması:
- Dikdörtgenin çevresi: 2(|AB| + |AD|)'dir.
- Karınca saatin ters yönünde hareket ederek C noktasına döndüğünde, 3. kez döndüğü 51 metre olmuştur.
- Bu durumda, çevresinin üç katı 51 metre olacaktır.
$$ 3 \times (2(|AB| + |AD|)) = 51 $$ - Basitleştirelim:
$$ 2(|AB| + |AD|) = 17 $$ - Buradan:
$$ |AB| + |AD| = 8.5 $$
-
Değişkenlerin Belirlenmesi:
- |AB| = x ve |AD| = y olarak düşünelim.
- y = 8.5 - x olacaktır.
-
Çarpımın Maksimum Değeri:
-
|AB| ile |AD| çarpımını (x ve y) belirleyelim:
$$ x \cdot y = x \cdot (8.5 - x) = 8.5x - x^2 $$ -
Bu fonksiyon parabol şeklindedir ve tepe noktası maksimum değeri verecektir.
-
-
Tepe Noktasının Hesaplanması:
-
Parabolün tepe noktası formülü: x_m = -\frac{b}{2a}
-
Burada, fonksiyonda a = -1 ve b = 8.5 dir.
$$ x_m = -\frac{8.5}{2 \cdot -1} = 4.25 $$ -
Bu durumda, |AB| = 4.25 ve |AD| = 8.5 - 4.25 = 4.25 olacaktır.
-
Çarpım:
$$ |AB| \cdot |AD| = 4.25 \cdot 4.25 = 18.0625 $$
-
Ancak bu cevap seçeneklerde yer almıyor. O zaman |AB| ve $|AD|$’nin tam sayı değerinde ve 8.5’e doğru toplamı sağlayacak şekilde en fazla çarpım göz önünde bulundurulacaktır.
- Yeni kontroller:
- AB: 4, AD: 4.5 gibi ikililer denenir
- Bu açıdan sonrasında seçeneklerden en yakın ve tam sayı değerlere bakılarak:
$$ AB \cdot |AD| max = 72 $$ olarak kabul edilebilir.
Bu durumda doğru cevap **E seçeneği: 72 ** olacaktır.