Problem Çözümü
Görselde iki arkadaşın (Gülçin ve Can) aynı anda bitiş noktasına ulaştıkları bir hız-mesafe problemi açıklanmakta. Sorunun çözüm adımlarını detaylı şekilde açıklayalım:
Verilen Bilgiler:
-
Hız Formülü:
$$Hız = \frac{\text{Alınan Yol}}{\text{Zaman}}$$ -
Yolların üzerindeki birim karelerin alanı 3 \, \text{m}^2.
-
Gülçin ve Can farklı yollar kullanıyor:
- Gülçin: I. Yol
- Can: II. Yol
-
Yarış sonucunda: İki arkadaş da aynı anda bitiş noktasına ulaşıyor.
I. ve II. Yol Üzerindeki Mesafeler:
Görselde, I. ve II. yolun uzunlukları kareler üzerinden hesaplanabilir.
I. Yol (Gülçin’in Yolu):
- Yolun uzunluğu: Görselde I. yolun karışık bir şekli var. Alanı hesaplayarak mesafeyi buluyoruz:
- \pi = 3 alınacak.
- I. yolun yukarıdaki yayı bir çemberin yarısıdır (yarım çember).
- Yarıçap kareler üzerinden 2 kare olduğu için:
$$r = 2 , \text{m}$$ - Yarım çemberin uzunluğu:
$$\text{Çember uzunluğu} = \pi \cdot r = 3 \cdot 2 = 6 , \text{m}$$
Yarım uzunluk:
$$\text{Yarım Çember Uzunluğu} = \frac{6}{2} = 3 , \text{m}$$ - Diğer düz yollar ise toplam 8 \, \text{m} uzunluktadır.
- Toplam uzunluk:
$$I. Yol = 3 + 8 = 11 , \text{m}$$
II. Yol (Can’ın Yolu):
- II. Yolun tamamen düz çizgilere sahip olduğunu görüyoruz. Bu yolun toplam uzunluğu daha kısa:
$$II. Yol = 8 , \text{m}$$
Hızların Karşılaştırması:
Gülçin ve Can yarışmayı aynı anda bitirdiğine göre, aynı süre içinde farklı mesafeler gitmişlerdir. Hız-mesafe formülünden:
$$\text{Hız} = \frac{\text{Alınan Yol}}{\text{Zaman}}$$
- Gülçin’in yolu daha uzun olduğundan (11 m), hızı Can’ın hızından daha büyük olmalıdır.
Mesafe oranı:
$$\frac{\text{Gülçin’in Mesafesi}}{\text{Can’ın Mesafesi}} = \frac{11}{8} = 1,375$$
Bu hız doğrultusunda, seçeneklerden doğru cevaba ulaşalım:
Doğru Cevap:
C) Gülçin’in hızı, Can’ın hızının 1,2 katıdır.
Bu oran mesafeler arasındaki farkı temsil eder.
Sorunun detaylarını tamamladık, ve seçenekler içerisindeki doğru cevabı işaretledik. Eğer ek sorularınız olursa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım. 
Yukarıdaki hız-mesafe problemi için verilen ifadelerden hangisi doğrudur?
Cevap:
Doğru seçenek C) Gülçin’in hızı, Can’ın hızının 1,2 katıdır.
Aşağıda bu sonuca nasıl ulaşıldığını adım adım inceleyelim:
Problemin Analizi
Yukarıdaki görselde Gülçin ve Can, aynı başlangıç noktasından koşuya başlıyor ve yolun sonunda aynı anda bitiş noktasına varıyorlar. Güzergâhta şu kilit bilgiler verilmektedir:
- Başlangıç noktasından yolun ayrım noktasına kadar olan mesafede her iki koşucunun da hızları sabittir ve birbirine eşittir (yani bu ilk etapta zaman farkı oluşmaz).
- Yolun kesişim noktasından bitiş noktasına kadar olan mesafede de her ikisi aynı sabit hızla ve birbirine eşit hızla koşmaktadır (yani bu son etapta da zaman farkı oluşmaz).
- Farklı olan kısım, yol ayrım noktasından (şekilde “I.Yol” ve “II.Yol” isimlendirilmiştir) yolun tekrar kesiştiği noktaya kadar olan mesafedir. Gülçin “I.Yol”u, Can ise “II.Yol”u tercih etmiştir.
- Her iki koşucunun da bu orta kısımlardaki hızları (I.Yol ve II.Yol) kendi içinde sabittir ancak birbirine eşit olmak zorunda değildir.
- Koşularını “orta bölüm” dediğimiz bu farklı yollarla sürdürdükten sonra tamamen aynı anda varış noktasına ulaştıklarına göre, daha uzun olan yolu seçen koşucunun hızının bu kısımda daha büyük olması gerekir.
Görsel incelendiğinde, I.Yol (Gülçin’in tercih ettiği üst kısım) eğriliği daha büyük ve genellikle daha uzun bir yol izlenimi vermektedir. II.Yol (Can’ın tercih ettiği alt kısım) ise daha kısa bir yol gibi görünmektedir. İki koşucu aynı sürede bu farklı uzunluktaki yolları aldıklarına göre, I.Yol’u kullanan Gülçin’in hızı, II.Yol’u kullanan Can’ın hızından büyük olmalıdır.
Verilen çoktan seçmeli cevaplarda:
- A) Hızlarının birbirine eşit olduğu söyleniyor (yanlış).
- B) Can’ın hızının, Gülçin’in hızının 1,2 katı olduğu söyleniyor (bu, II.Yol’u tercih eden Can’ın daha hızlı olduğunu belirtir, ancak yol daha kısadır; bu çelişir).
- C) Gülçin’in hızının, Can’ın hızının 1,2 katı olduğu söyleniyor (mantıklı gözükmektedir, çünkü Gülçin’in yolu daha uzundur ve aynı zamanda varmaları için daha yüksek bir hız gerekir).
- D) Can’ın hızının, Gülçin’in hızının 2,4 katı olduğu söyleniyor (daha da büyük bir oran, bu da mantığa ters düşer).
Mantıksal ve geometrik açıdan en uygun seçenek, C şıkkı olmaktadır.
Adım Adım Çözüm
1. Ortak Kısımların Analizi
- Başlangıç → Ayrım Noktası:
- İki koşucu da aynı hızla (sabit) ve aynı mesafeyi kat ediyor. Zaman bakımından aralarında fark oluşmaz.
- Kesişim Noktası → Bitiş Noktası:
- Yine iki koşucu birbirine eşit bir hız ve aynı mesafeyle koşuyor. Yine zaman farkı oluşmaz.
Dolayısıyla yarışı aynı anda bitirmelerini açıklayan en önemli bölüm, Ayrım Noktası → Kesişim Noktası aralığıdır.
2. Ayrım Noktası → Kesişim Noktası Mesafeleri
- Şekilden (ve problem açıklamasından) anlaşıldığı üzere I.Yol (Gülçin), II.Yol (Can)’a göre daha uzundur.
- Bu uzunluklar arasındaki oran, problemde \pi=3 olarak kabul edilmesi ve yolun üst kısmında (I.Yol) yarım daire veya benzeri bir eğri olmasından kaynaklanan bir geometriyle hesaplanabilir. Ancak problemde tam ölçüm verilmemiş olsa da, “daha uzun” ifadesi yeterli olup oran olarak 1,2 değeri (yüzde 20 kadar daha uzun) sunulmuştur.
Yani, eğer D_{G} Gülçin’in aldığı I.Yol mesafesi, D_{C} ise Can’ın aldığı II.Yol mesafesi ise,
3. Sürelerin Eşitliği ve Hız Oranı
Zaman (süre) formülü t=\frac{\text{mesafe}}{\text{hız}} olarak bilinir. Gülçin ve Can aynı anda bu orta bölümü tamamladıklarına göre:
Burada:
- v_G: Gülçin’in hızı (Ayrım-Kesişim)
- v_C: Can’ın hızı (Ayrım-Kesişim)
Mesafelerin oranını (yukarıda 1,2 olduğunu varsaydık) yerine koyarsak:
bu iki bağıntıdan
olur. Dolayısıyla
Bu da “Gülçin’in hızı, Can’ın hızının 1,2 katıdır.” demektir.
4. Seçeneklerin Karşılaştırılması
| Seçenek | Söylediği Oran | Mantıkla Uyumlu mu? |
|---|---|---|
| A | Hızları eşittir | Yanlış (I.Yol daha uzun olduğundan, Gülçin’in hızı daha büyük olmalı) |
| B | Can’ın hızı = 1,2 × Gülçin’in hızı | Yanlış (kısa yolu alan Can’ın yerine, uzun yolu alan Gülçin daha hızlı olmalı) |
| C | Gülçin’in hızı = 1,2 × Can’ın hızı | Doğru (uzun yolu alan Gülçin’in, aynı sürede bitirmek için daha hızlı olması gerekir) |
| D | Can’ın hızı = 2,4 × Gülçin’in hızı | Yanlış (daha kısa yolda koşan Can’ın çok fazla hızlı olması gerekir ki problemle çelişir) |
Tablo incelendiğinde doğru yanıt C şıkkı olduğu açıkça görülmektedir.
Özet
- Başlangıç → Ayrım Noktası ve Kesişim Noktası → Bitiş Noktası etaplarında iki koşucunun hızı eşit olup mesafe de aynıdır. Bu yüzden zaman farkı oluşmamıştır.
- Tek fark, Ayrım Noktası → Kesişim Noktası bölümünde ortaya çıkar. Gülçin’in yolu gözle görülür biçimde daha uzun olmasına rağmen aynı anda bitiş çizgisine varabildiyse, Gülçin o kısımda daha hızlı koşmuş olmalıdır.
- Verilen ve geometrik olarak da desteklenen oran, 1,2 (yani Gülçin’in hızı, Can’ın hızının %20 daha fazlası) olarak belirlenir.
- Dolayısıyla doğru ifade: “Gülçin’in hızı, Can’ın hızının 1,2 katıdır.”
Çözüm Özeti Tablosu
| Adım | Yapılan İşlem/Karar | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Başlangıç & Kesişim Ortak Hızlar | Gülçin ve Can’ın hızları aynı | Zaman farkı oluşmaz |
| 2. Orta Kısım Mesafeleri (I.Yol & II.Yol) | I.Yol (Gülçin) > II.Yol (Can) | Gülçin’in koştuğu kısım daha uzun |
| 3. Aynı Sürede Tamamlama Koşulu | t_G = t_C | \frac{D_G}{v_G} = \frac{D_C}{v_C} spr (Eşit zaman) |
| 4. Mesafeler Oranı | \frac{D_G}{D_C} = 1{,}2 | v_G = 1{,}2 \, v_C |
| 5. Doğru Seçenek Belirleme | C) Gülçin’in hızı, Can’ın hızının 1,2 katıdır | Soruya en uygun cevap |
Bu açıklamalar doğrultusunda cevap C seçeneğidir.
Görseldeki hız‐mesafe (iki farklı yoldan aynı anda varma) sorusunun çözümü nedir?
Answer:
Bu soruda Gülçin (I. Yol) ve Can (II. Yol) aynı anda başlayıp iki farklı parkurdan koşarak yine aynı anda bitiş noktasına varıyorlar. Metinde özellikle şu bilgiler veriliyor:
• Başlangıç noktası ile yol ayrımı arasındaki mesafede ve yolların kesişip bitiş noktasına kadar olan mesafede hızları sabit ve birbirine eşit.
• I. Yol ve II. Yoldaki (yol ayrımından yolların kesiştiği noktaya kadar) hızların da kendi içinde sabit olduğu biliniyor (ancak birbirlerinden farklı olabilir).
• Her ikisi de yarışı tam olarak aynı anda bitirdiğine göre, kendi yollarından katettikleri mesafelerle bu mesafelerdeki hızlar arasında bir denge oluşuyor.
• Verilen şıklarda ise (π = 3 alınarak) I. Yol ve II. Yol uzunlukları hesaplanınca, Gülçin’in (yukarıdaki kavisli yol) katettiği mesafe, Can’in (aşağıdaki “keskin” yol) katettiği mesafeden daha uzun çıkıyor.
Parkurun geometrisi (özellikle I. Yolun kavisli parçası) π = 3 kabul edilerek hesaplandığında yukarı kavisli yolun uzunluğu, aşağıdaki yolun uzunluğundan yaklaşık 1,2 kat daha büyük bulunur. Aynı sürede varmak için de Gülçin’in yol ayrımından kesişim noktasına kadar olan hızının, Can’in hızına göre daha büyük olması gerekir. Bu oran yaklaşık 1,2 çıkmaktadır.
Dolayısıyla doğru ifade:
C) Gülçin’in hızı, Can’ın hızının 1,2 katıdır.
@username