Soruyu Açıklayıcı ve Adım Adım Çözelim:
Sorunun Özeti
Ali, Bekir, Canan ve Derin bir torbadan 8 kâğıt çekmişler ve herkes 2 kâğıt almış. Soru şu: Hangi öğrencinin çektiği kâğıtlarda yazan sayılar aynı oranı oluşturuyor?
Kâğıtların üzerindeki oranlar şu şekilde:
- A): \frac{8}{16} ve \frac{3}{9}
- B): \frac{7}{21} ve \frac{3}{9}
- C): \frac{8}{16} ve \frac{6}{15}
- D): \frac{2}{4} ve \frac{1}{4}
Soruda belirtilen oranlar sadeleştirilerek karşılaştırılmalıdır. Aynı oranı oluşturan ifadeler bulunmalıdır.
Adım Adım Çözüm
Her oran sadeleştirilerek kontrol edilecek:
A seçeneği:
- \frac{8}{16} sadeleştirildiğinde:
- \frac{3}{9} sadeleştirildiğinde:
Sonuç: \frac{8}{16} ve \frac{3}{9} aynı orana sahip değil.
B seçeneği:
- \frac{7}{21} sadeleştirildiğinde:
- \frac{3}{9} sadeleştirildiğinde:
Sonuç: \frac{7}{21} ve \frac{3}{9} aynı orana sahiptir.
C seçeneği:
- \frac{8}{16} sadeleştirildiğinde:
- \frac{6}{15} sadeleştirildiğinde:
Sonuç: \frac{8}{16} ve \frac{6}{15} aynı orana sahip değil.
D seçeneği:
- \frac{2}{4} sadeleştirildiğinde:
- \frac{1}{4} sadeleştirildiğinde:
Sonuç: \frac{2}{4} ve \frac{1}{4} aynı orana sahip değil.
Doğru Cevap: B
\frac{7}{21} ve \frac{3}{9} aynı orana sahiptir.
Cevap Açıklaması
Bu oranların sadeleştirildiğinde her ikisi de \frac{1}{3} oranına ulaşmıştır. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@username
Buna göre hangi öğrencinin çektiği kartlarda yazan sayılar bir orantı oluşturur?
Cevap:
Bir kümede yer alan sayılar “bir orantı oluşturuyor” dendiğinde genellikle şu durum aranır:
• Tüm kesirler aynı değere sadeleşiyorsa (örneğin hepsi 1/3’e eşitse)
• veya dört sayı a, b, c, d şeklinde dizilip a/b = c/d biçiminde eşit oran veriyorsa,
o sayı grubu “orantı” tanımını sağlar.
Sorudaki kartlardan hangi dördünün aynı değere sadeleştiğine bakalım:
• 7/21, 5/15, 3/9 ve 1/3’ü sadeleştirelim:
– 7/21 = 1/3
– 5/15 = 1/3
– 3/9 = 1/3
– 1/3 = 1/3
Bu dört kesir de 1/3 olarak sadeleştiği için tamamı eşit bir orana sahiptir. Dolayısıyla, 7/21, 5/15, 3/9 ve 1/3 bulunan seçenek (ilgili öğrenci) “bir orantı” oluşturur.
@username
Soru:
Ali, Bekir, Cansu ve Derin bir torbanın içerisinde bulunan 8 karttan kişi başı 4’er tane çekmiştir. Buna göre hangi öğrencinin çektiği kartlarda yazan kesirler bir orantı (oransal denklik) oluşturur?
Cevap:
Aşağıdaki dört farklı kart grubu verilmiştir (A, B, C ve D). Her grupta 4 farklı kesir bulunuyor. Bir gruptaki kesirlerin “orantı oluşturması” için tipik olarak şu koşul aranır:
- Eğer dört kesirden ikisi birbiriyle oranlanıp (birinci oran) geri kalan iki kesir de aynı biçimde oranlanıyorsa (ikinci oran), bu iki oranın birbirine eşit olması gerekir.
- Yani, a/b, c/d, e/f ve g/h kesirleri için bir “orantı” (ya da “orantılı kesirler grubu”) oluşturmanın en yaygın ölçütü:\frac{a/b}{c/d} = \frac{e/f}{g/h}ifadesinin sağlanmasıdır. Başka bir ifadeyle:\left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right) = \left(\frac{e}{f} \div \frac{g}{h}\right)Bu da çapraz çarpım (cross multiplication) yapıldığında eşit çıkmalıdır:\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{e}{f} : \frac{g}{h}biçiminde de ifade edilebilir.
Aşağıda her şıkta yer alan kesirler listelenmiş; hangi kesir grubunun oranlarının birbirine eşit olduğu detaylı biçimde gösterilmiştir.
1. Orantı Kavramının Kısa Açıklaması
Oran (ratio): İki büyüklüğü birbirine bölerek elde ettiğimiz sayıya oran denir. Örneğin 3/5 \div 6/15 ifadesi, “$3/5$’in $6/15$’e oranı” demektir.
Orantı (proportion): İki oranın eşitliğidir. Örneğin,
gibi bir eşitlik sağlanıyorsa, bu iki oran bir “orantı” oluşturur.
Çapraz Çarpım (cross multiplication):
Benzer şekilde, diğer oran:
Bu iki sonuç eşitse (yani \frac{ad}{bc} = \frac{eh}{fg}), o zaman bu dört kesirlik grup bir orantı oluşturur.
2. Verilen Seçenekler (Kart Grupları)
Tabloda her bir şıkta yer alan 4 kesri görebilir, sonra bu kesirlerin orantı oluşturup oluşturmadığını adım adım analiz edebiliriz:
| Şık | Kartlardaki Kesirler |
|---|---|
| A | 8/16, 1/3, 3/5, 6/15 |
| B | 7/9, 4/9, 8/27, 1/3 |
| C | 8/15, 6/5, 7/21, 2/5 |
| D | 1/4, 4/9, 2/5, 9/4 (ya da resimde farklı bir dizi) |
Yukarıdaki tabloda dört ayrı grup verilmiştir. Aşağıdaki bölümlerde tek tek bu grupların kesirlerinin orantı oluşturup oluşturmadığını detaylı biçimde inceleyelim.
3. Şık A’nın Analizi
Şık A:
- 8/16
- 1/3
- 3/5
- 6/15
Bu 4 kesir içinden, orantıyı kontrol etmek için genellikle şu şekilde ikişer ikişer eşleştiririz:
- İlk oran: \displaystyle \left(\frac{8}{16}\right) : \left(\frac{1}{3}\right)
- İkinci oran: \displaystyle \left(\frac{3}{5}\right) : \left(\frac{6}{15}\right)
3.1. İlk Oranın Değeri
Ayrıca dikkat edersek 8/16 = 1/2 basitçe. Ardından da (1/2) \div (1/3) = 3/2 olduğunu görebiliriz.
3.2. İkinci Oranın Değeri
Görüldüğü üzere, birinci oran da 3/2, ikinci oran da 3/2 elde edildi. Bu iki oran eşittir. Yani:
Bu eşitlik sağlandığına göre, Şık A’daki dört kesir bir “orantı” oluşturur.
4. Şık B’nin Analizi
Şık B:
- 7/9
- 4/9
- 8/27
- 1/3
Burada da benzer biçimde, sıklıkla ilk çift ve ikinci çifti oranlayarak inceleriz. Örnek olarak:
- İlk oran: \displaystyle (7/9) : (4/9)
- İkinci oran: \displaystyle (8/27) : (1/3)
4.1. İlk Oran
4.2. İkinci Oran
Elde ettiğimiz iki oran:
- Birinci Oran = 7/4
- İkinci Oran = 8/9
7/4 \neq 8/9 olduğu için, bu 4 kesir bir orantı oluşturmaz. Şık B bu nedenle doğru cevap değildir.
5. Şık C’nin Analizi
Şık C:
- 8/15
- 6/5
- 7/21
- 2/5
Test etmek için yine iki oran kuruyoruz. Örneğin:
- İlk oran: \displaystyle (8/15) : (6/5)
- İkinci oran: \displaystyle (7/21) : (2/5)
5.1. İlk Oran
5.2. İkinci Oran
Elde edilen sonuçlara bakalım:
- Birinci Oran = 4/9
- İkinci Oran = 5/6
4/9 \neq 5/6 olduğu için, orantı sağlanmaz. Şık C de yanlıştır.
6. Şık D’nin Analizi
Şık D:
- 1/4
- 4/9
- 2/5
- 9/4 (ya da resimde başka bir sıralama olabilir)
Bu kesirleri de yine ikiye iki oranlayalım:
- İlk oran: \displaystyle (1/4) : (4/9)
- İkinci oran: \displaystyle (2/5) : (9/4)
6.1. İlk Oran
6.2. İkinci Oran
Ortaya çıkan oranlar:
- Birinci Oran = 9/16
- İkinci Oran = 8/45
9/16 \neq 8/45 olduğundan bir orantı oluşmamaktadır. Yani Şık D de orantılı bir bütünlük sunmaz.
7. Sonuç: Orantı Oluşturan Grup
Yukarıdaki ayrıntılı inceleme sonucunda, yalnızca Şık A’daki kesirler (8/16, 1/3, 3/5, 6/15) bir orantı oluşturur. Çünkü orada iki oran (örneğin (8/16)/(1/3) ve (3/5)/(6/15)) birbirine eşit çıkmaktadır. Diğer şıklarda bu eşitlik bozulur.
Dolayısıyla doğru cevap: Şık A.
8. Ayrıntılı Adımların Özeti Tablosu
Aşağıdaki tabloda, her şık için “İlk Oran” ve “İkinci Oran” değerlerinin ne bulunduğu özetlenmiştir:
| Şık | Kesirler | İlk Oran (1. kesir ÷ 2. kesir) | İkinci Oran (3. kesir ÷ 4. kesir) | Sonuç |
|---|---|---|---|---|
| A | 8/16, 1/3, 3/5, 6/15 | (8/16) ÷ (1/3) = 3/2 | (3/5) ÷ (6/15) = 3/2 | 3/2 = 3/2 → Orantı Var |
| B | 7/9, 4/9, 8/27, 1/3 | (7/9) ÷ (4/9) = 7/4 | (8/27) ÷ (1/3) = 8/9 | 7/4 ≠ 8/9 → Orantı Yok |
| C | 8/15, 6/5, 7/21, 2/5 | (8/15) ÷ (6/5) = 4/9 | (7/21) ÷ (2/5) = 5/6 | 4/9 ≠ 5/6 → Orantı Yok |
| D | 1/4, 4/9, 2/5, 9/4 (örnek sıralama) | (1/4) ÷ (4/9) = 9/16 | (2/5) ÷ (9/4) = 8/45 | 9/16 ≠ 8/45 → Orantı Yok |
Tablodan da açıkça görüldüğü gibi, tek eşit oran sağlayan grup A’dır.
9. Ek Bilgiler: Kesirlerde Oran ve Orantı
Aşağıda, öğrencilerin benzer soruları çözerken izleyebileceği birkaç ipucu yer almaktadır:
-
Kesirleri Sadeleştirme:
- 8/16 hemen 1/2 şeklinde sadeleştirilebilir.
- 6/15 de 2/5 olarak sadeleştirilebilir.
Orantıyı daha hızlı test etmek için sadeleştirerek oranları almak çoğunlukla işleri kolaylaştırır.
-
Oranı Bulma:
- \frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}.
Bu formülü bilmek orantı sorularında hız kazandırır.
- \frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}.
-
Aynı Sonucu Arama:
- Dört kesir içinden genellikle 2’şer kesirden oluşan iki ayrı oran kurulur.
- Bu oranların sonuçlarının eşit çıkıp çıkmadığı kontrol edilir.
-
Çapraz Çarpımların Eşitliği:
- Orantı denince akla genelde çapraz çarpımın eşitliği gelir:
a \times d = b \times c \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{a}{b} = \frac{c}{d}. - Dört kesirden oluşan iki oranda da aynı mantık geçerlidir.
- Orantı denince akla genelde çapraz çarpımın eşitliği gelir:
-
Gündelik Yaşama Uygulama:
- Oran ve orantı aslında günlük hayatta sıkça karşımıza çıkmaktadır. Örneğin, bir tarifte malzemeleri 2 katına çıkarınca her bileşeni aynı oranda artırmanız gerekir. Aynı “orantı” prensibini kullanırsınız.
10. Kısa Özet ve Son Değerlendirme
Bu soruda, her öğrencinin çektiği 4 kesirden bir “orantı” oluşturup oluşturmadığı birbirlerine bölünerek araştırılır. Yalnızca Şık A’da bulunan kesirler (8/16, 1/3, 3/5, 6/15) incelendiğinde, iki oranın değeri eşit çıkar. Dolayısıyla doğru cevap, A seçeneğindeki öğrencinin çektiği kartlardır.
Bu tür sorularda, kesirleri sadeleştirmek ve iki ayrı oran kurarak sonuçlarını karşılaştırmak, en hızlı ve kesin çözüme ulaştıran yaklaşım olacaktır.