Sorunun Detaylı Analizi ve Çözümü
Soru: Şekildeki sürtünmesiz ray sisteminde K noktasında durmakta olan m kütleli cisme, yalnızca KL aralığında sabit büyüklükte F kuvveti uygulanıyor. Cismin N noktasına kadar çıkabilmesi için F kuvveti, cismin ağırlığının kaç katı olmalıdır?
Çözüm Adımları:
Soruyu çözmek için enerji korunumu ve iş-kinetik enerji prensibi kullanacağız.
1. Enerji Korunumu İlkesi
Sürtünmesiz bir ortamda, sistemde yalnızca kinetik enerji ve potansiyel enerji değişimi göz önüne alınır. N noktasına kadar çıkabilmek için cisim N noktasında durmak zorundadır (yani son kinetik enerjisi sıfır olmalıdır). Şimdi bilinenleri madde madde inceleyelim:
- K noktasındaki enerji durumu: Cismin başlangıç kinetik enerjisi sıfırdır çünkü cisim durmaktadır.
- N noktasındaki enerji durumu: Cisim N noktasına ulaştığında potansiyel enerjisi maksimumdur ve kinetik enerjisi sıfırdır.
Cismin N noktasındaki potansiyel enerji artışını inceleyelim:
Potansiyel enerji artışı:
\Delta E_p = m g h
Burada h, 3h değerindedir, dolayısıyla:
\Delta E_p = m g (3h) = 3mgh
2. İş-Kinetik Enerji Prensibi
cisim, sadece KL aralığında sabit kuvvet F'ten kaynaklanan iş yapılarak enerji kazanmaktadır. KL aralığında yapılan iş (W), kinetik enerji değişimi olarak hesaplanır:
Yapılan iş:
W = F \cdot d
Burada d = KL = 2h uzunluğudur. O hâlde:
W = F \cdot 2h = 2Fh
Bu iş, cismin N noktasına çıkarken ihtiyaç duyduğu potansiyel enerji ile eşitlenmelidir. Çünkü, N noktasına ulaştığında tüm enerji potansiyel enerjiye dönüşür. Yani:
W = \Delta E_p \Rightarrow 2Fh = 3mgh
3. Kuvvetin Ağırlıkla Bağıntısı
Elde edilen bu denklemden $F$’i yalnız bırakıp çözelim:
2Fh = 3mgh
Buradan:
F = \frac{3mgh}{2h}
F = \frac{3mg}{2}
Yani, F kuvveti cismin ağırlığının \frac{3}{2} katı büyüklüğünde olmalıdır.
Sonuç:
Gerekli F kuvvetinin büyüklüğü:
F = \frac{3}{2} \cdot mg
Cismin ağırlığı mg olduğuna göre, F kuvveti ağırlığın \frac{3}{2} (yani 1.5) katı olmalıdır.
Özet Tablo
| Değerler/Durumlar | Hesaplamalar | Sonuçlar |
|---|---|---|
| Cismin potansiyel enerji artışı (\Delta E_p) | \Delta E_p = m g (3h) | 3mgh |
| KL aralığında yapılan iş (W) | W = F \cdot d = F \cdot (2h) | 2Fh |
| Enerji korunumu denkleminden F | 2Fh = 3mgh \Rightarrow F = \frac{3mg}{2} | F = \frac{3}{2} \cdot mg |
Sonuç olarak, F = 1.5 \cdot mg bulunmuştur. Yani F, cismin ağırlığının 1.5 katı olmalıdır.