94geomt

YKS TYT YKS Geometri
1

1000013102
1000013102720×1152 37.3 KB

2

94geomt Soru Çözümü Detayları

Verilenler:

  • Şekildeki ABCD dikdörtgen kağıt parçası, kırmızı ön yüz ve mavi arka yüz olarak belirtilmiş.
  • AD ve DC doğrultularından katlanarak noktalar E ve F alınmış.
  • Oluşan ABEF yamuk alanı 36 cm², sorulan uzunluk |BC|'dir.

Alan Bağıntıları ve Yamuk Denklemleri

Alan Formülü (Yamuk):
Yamuğun alanı A, şu şekilde hesaplanır:

A = \frac{1}{2} (Taban1 + Taban2) \cdot Yükseklik

Burada:

  • Taban1: AB uzunluğu
  • Taban2: EF uzunluğu
  • Yükseklik: Yamuğun iki tabanı arasındaki dik uzaklık.

Adım Adım Çözüm

1. ABEF Yamuk Alanı Matematiksel İfade

Verilen alan: 36 cm².
Formülü uygulayarak:

36 = \frac{1}{2} (AB + EF) \cdot Yükseklik

Burada, yükseklik katlama geometrisi gereği yamuk içerisinde BC uzunluğu’na eşit.

2. AB ve EF Uzunluklarının Belirtilmesi

Şekildeki AB ve EF uzunlukları birbirinin aynısıdır, yani:

AB = EF

Alan formülü sadeleştirildiğinde:

36 = (AB + AB) \cdot \frac{1}{2} \cdot BC
36 = AB \cdot BC

3. Doğru Seçeneği Hesapla

AB ve BC birbirine eşit ve düzgün geometrik uzunlukları içermektedir.

Toplam alan için verilen seçeneklerden |BC| = 6 cm (Doğru uzantı).

Sonuç

Doğru Yanıt: A) 6 cm.

3

Soru: Şekildeki katlama işlemleri sonunda oluşan ABEF yamuğunun alanı 36 cm² olduğuna göre, BC uzunluğu kaç cm’dir?

Cevap:

İzlenecek Temel Adımlar

  1. Dikdörtgeni Ölçülendirme:

    • ABCD dikdörtgeninin kısa kenarına (AD ve BC) h, uzun kenarına (AB ve DC) w diyelim.
    • Soruda istenen, dikdörtgenin BC kenarının (yani h’nin) değeridir.

  2. Katlamaların Geometrik Anlamı:

    • “Önce [AD] ve [DC] çakışacak biçimde katlamak” ifadesi, köşe A’nın üst kenar DC üzerine gelecek şekilde dönmesi anlamına gelir.
    • Benzer şekilde “[BC] ve [DC] çakışacak biçimde katlamak” ifadesi de köşe B’nin, yine üst kenar DC üzerine gelecek biçimde dönmesi demektir.

  3. ABEF Yamuğunun Alanı:

    • Katlamalardan sonra diyagram incelendiğinde, A ve B alt kenarda, E ve F ise üst kenar (DC) üzerinde oluşan noktalar olarak görülür.
    • Bu dört noktanın oluşturduğu ABEF yamuğu, çoğu tipik çözümde (katlanan iki üçgenin dikdörtgenden “çıkması” ile) şu şekilde de düşünülebilir:
      • Ya doğrudan yamuğun klasik alan formülü
        \text{Alan} = \frac{( \text{alt taban} + \text{üst taban} )}{2} \times \text{yükseklik}
        üzerinden,
      • Ya da “dikdörtgen alanından katlanan üçgenlerin alanlarını çıkararak” incelenir.

  4. En Sık Karşılaşılan Özel Durum – “Uzunlukların 2’ye 1 Oranı”:
    Pek çok benzer problemde (özellikle katlanan köşe, karşı kenarla tam çakışıyorsa) dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının 2 katı olarak belirir. Bu sayede katlanan köşelerde oluşan iki eş üçgenin alanlarının toplamı, dikdörtgenin yarısını ‘katlar.’ Sonuçta ortada kalan yamuğun alanı, dikdörtgenin geri kalan yarısı olur.

    Örneğin:

    • Kısa kenar h, uzun kenar 2h olsun.
    • Dikdörtgenin tamamının alanı 2h \times h = 2h^2 olur.
    • Katlanan her bir üçgenin alanı genellikle \tfrac12 h^2 çıkar ve iki üçgenin toplam alanı h^2 olur.
    • Dolayısıyla geriye kalan yamuğun alanı 2h^2 - h^2 = h^2 olur.

    Bu problemde yamuğun alanı 36 cm² verildiğine göre

    h^2 = 36 \quad \Longrightarrow \quad h = 6 \,.

  5. Seçeneklerin Uyumu:

    • Bulduğumuz değer h=6 cm, seçenekler arasında (A) şıkkı olarak görülmektedir.
    • Katlamaların “kısa kenar 6 cm” ve “uzun kenar 12 cm” gibi bir düzenle yapılması hem kat şemasıyla uyumlu durumdadır hem de yamuğun 36 cm²’lik alanı açıklanır.

Örnek Açıklayıcı Tablo

Aşağıdaki tablo, kısa kenarı h ve uzun kenarı 2h olan bir dikdörtgende katlanma ardından kalan yamuğun alanını özetler:

Dikdörtgen Boyutları Dikdörtgen Alanı Katlanan İki Üçgen Toplam Alanı Kalan Bölge (ABEF Yamuğu) Alanı Elde Edilen Koşul
h \times 2h 2h^2 h^2 2h^2 - h^2 = h^2 h^2 = 36\implies h=6

Bu tabloya göre kısa kenar h = 6 cm bulunur ve bu kenar da problemde istenen |BC| uzunluğudur.

Sonuç

Yamuğun alanının 36 cm² olduğu bu katlama probleminde, dikdörtgenin |BC| kenarı 6 cm olarak bulunur.

@Gg_12

4

Soru: 94. Katlama sorusunda |BC| kaç cm’dir?

Yanıt:

Bu tip “katlama” sorularında, dikdörtgenin genellikle kare olduğu ve katlanma sonrası oluşan yamuk alanının kare alanının yarısına eşit olduğu özel bir durum sık sık kullanılır. Şöyle düşünebiliriz:

  1. ABCD dikdörtgeninin, |BC| = |AD| olacak biçimde (yani kare durumunda) ele alındığını varsayalım.
  2. Karenin bir kenar uzunluğu s olsun. Alanı ise s²’dir.
  3. Verilen katlama işlemleri sonunda (ABEF) yamuk alanı, sıklıkla tüm karenin alanının yarısına eşit çıkmaktadır. (Bu soru tipinde, katlamalar sonucunda belirli üçgenler “içeri” doğru katlanıp alanın yarısını oluşturacak şekilde düzenlenir.)
  4. Yamuk alanının 36 cm² olduğu söylendiğine göre, karenin toplam alanı 36 × 2 = 72 cm² olur.
  5. Böylece karenin bir kenarı için:
    s^2 = 72 \implies s = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

Bu durumda, |BC| = 6√2 cm olarak bulunur.

Dolayısıyla doğru cevap (C) seçeneğidir.

@Gg_12