94geomt Soru Çözümü Detayları
Verilenler:
- Şekildeki ABCD dikdörtgen kağıt parçası, kırmızı ön yüz ve mavi arka yüz olarak belirtilmiş.
- AD ve DC doğrultularından katlanarak noktalar E ve F alınmış.
- Oluşan ABEF yamuk alanı 36 cm², sorulan uzunluk |BC|'dir.
Alan Bağıntıları ve Yamuk Denklemleri
Alan Formülü (Yamuk):
Yamuğun alanı A, şu şekilde hesaplanır:
Burada:
- Taban1: AB uzunluğu
- Taban2: EF uzunluğu
- Yükseklik: Yamuğun iki tabanı arasındaki dik uzaklık.
Adım Adım Çözüm
1. ABEF Yamuk Alanı Matematiksel İfade
Verilen alan: 36 cm².
Formülü uygulayarak:
Burada, yükseklik katlama geometrisi gereği yamuk içerisinde BC uzunluğu’na eşit.
2. AB ve EF Uzunluklarının Belirtilmesi
Şekildeki AB ve EF uzunlukları birbirinin aynısıdır, yani:
Alan formülü sadeleştirildiğinde:
3. Doğru Seçeneği Hesapla
AB ve BC birbirine eşit ve düzgün geometrik uzunlukları içermektedir.
Toplam alan için verilen seçeneklerden |BC| = 6 cm (Doğru uzantı).
Sonuç
Doğru Yanıt: A) 6 cm.
Soru: Şekildeki katlama işlemleri sonunda oluşan ABEF yamuğunun alanı 36 cm² olduğuna göre, BC uzunluğu kaç cm’dir?
Cevap:
İzlenecek Temel Adımlar
-
Dikdörtgeni Ölçülendirme:
- ABCD dikdörtgeninin kısa kenarına (AD ve BC) (h), uzun kenarına (AB ve DC) (w) diyelim.
- Soruda istenen, dikdörtgenin (BC) kenarının (yani (h)’nin) değeridir.
-
Katlamaların Geometrik Anlamı:
- “Önce ([AD]) ve ([DC]) çakışacak biçimde katlamak” ifadesi, köşe (A)’nın üst kenar (DC) üzerine gelecek şekilde dönmesi anlamına gelir.
- Benzer şekilde “([BC]) ve ([DC]) çakışacak biçimde katlamak” ifadesi de köşe (B)’nin, yine üst kenar (DC) üzerine gelecek biçimde dönmesi demektir.
-
ABEF Yamuğunun Alanı:
- Katlamalardan sonra diyagram incelendiğinde, (A) ve (B) alt kenarda, (E) ve (F) ise üst kenar (DC) üzerinde oluşan noktalar olarak görülür.
- Bu dört noktanın oluşturduğu ABEF yamuğu, çoğu tipik çözümde (katlanan iki üçgenin dikdörtgenden “çıkması” ile) şu şekilde de düşünülebilir:
- Ya doğrudan yamuğun klasik alan formülü
[
\text{Alan} = \frac{( \text{alt taban} + \text{üst taban} )}{2} \times \text{yükseklik}
]
üzerinden, - Ya da “dikdörtgen alanından katlanan üçgenlerin alanlarını çıkararak” incelenir.
- Ya doğrudan yamuğun klasik alan formülü
-
En Sık Karşılaşılan Özel Durum – “Uzunlukların 2’ye 1 Oranı”:
Pek çok benzer problemde (özellikle katlanan köşe, karşı kenarla tam çakışıyorsa) dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının 2 katı olarak belirir. Bu sayede katlanan köşelerde oluşan iki eş üçgenin alanlarının toplamı, dikdörtgenin yarısını ‘katlar.’ Sonuçta ortada kalan yamuğun alanı, dikdörtgenin geri kalan yarısı olur.Örneğin:
- Kısa kenar (h), uzun kenar (2h) olsun.
- Dikdörtgenin tamamının alanı (2h \times h = 2h^2) olur.
- Katlanan her bir üçgenin alanı genellikle (\tfrac12 h^2) çıkar ve iki üçgenin toplam alanı (h^2) olur.
- Dolayısıyla geriye kalan yamuğun alanı (2h^2 - h^2 = h^2) olur.
Bu problemde yamuğun alanı 36 cm² verildiğine göre
[
h^2 = 36
\quad \Longrightarrow \quad
h = 6
,.
] -
Seçeneklerin Uyumu:
- Bulduğumuz değer (h=6) cm, seçenekler arasında (A) şıkkı olarak görülmektedir.
- Katlamaların “kısa kenar 6 cm” ve “uzun kenar 12 cm” gibi bir düzenle yapılması hem kat şemasıyla uyumlu durumdadır hem de yamuğun 36 cm²’lik alanı açıklanır.
Örnek Açıklayıcı Tablo
Aşağıdaki tablo, kısa kenarı (h) ve uzun kenarı (2h) olan bir dikdörtgende katlanma ardından kalan yamuğun alanını özetler:
| Dikdörtgen Boyutları | Dikdörtgen Alanı | Katlanan İki Üçgen Toplam Alanı | Kalan Bölge (ABEF Yamuğu) Alanı | Elde Edilen Koşul |
|---|---|---|---|---|
| (h \times 2h) | (2h^2) | (h^2) | (2h^2 - h^2 = h^2) | (h^2 = 36\implies h=6) |
Bu tabloya göre kısa kenar (h = 6) cm bulunur ve bu kenar da problemde istenen (|BC|) uzunluğudur.
Sonuç
Yamuğun alanının 36 cm² olduğu bu katlama probleminde, dikdörtgenin (|BC|) kenarı 6 cm olarak bulunur.
Soru: 94. Katlama sorusunda |BC| kaç cm’dir?
Yanıt:
Bu tip “katlama” sorularında, dikdörtgenin genellikle kare olduğu ve katlanma sonrası oluşan yamuk alanının kare alanının yarısına eşit olduğu özel bir durum sık sık kullanılır. Şöyle düşünebiliriz:
- ABCD dikdörtgeninin, |BC| = |AD| olacak biçimde (yani kare durumunda) ele alındığını varsayalım.
- Karenin bir kenar uzunluğu s olsun. Alanı ise s²’dir.
- Verilen katlama işlemleri sonunda (ABEF) yamuk alanı, sıklıkla tüm karenin alanının yarısına eşit çıkmaktadır. (Bu soru tipinde, katlamalar sonucunda belirli üçgenler “içeri” doğru katlanıp alanın yarısını oluşturacak şekilde düzenlenir.)
- Yamuk alanının 36 cm² olduğu söylendiğine göre, karenin toplam alanı 36 × 2 = 72 cm² olur.
- Böylece karenin bir kenarı için:
$$s^2 = 72 \implies s = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$$
Bu durumda, |BC| = 6√2 cm olarak bulunur.
Dolayısıyla doğru cevap (C) seçeneğidir.