Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
[FD] ⊥ [CE] ve [GH] ⊥ [AE] olacak şekilde C, D, A, E doğrusal hattı üzerinde iki dik üçgen (FDA ve GHA) modellenir. |CD| = 25 cm, |FD| = 75 cm ve |CE| = 200 cm bilgileri modele işlenir. [AC] parçasının A noktası etrafında dönmesiyle |AF| = |AC| = 25 + |AD| eşitliği kurulur. |AE| parçasının dönmesiyle de |AG| = |AE| eşitliği gösterilir.
Çözüm ve kontrol: Dik üçgende hipotenüs yatağın dönen parçasına eşittir. Verilen uzunluklar model üzerine yerleştirilerek dönme açılarının eşitliği iki dik üçgenin benzerliği şeklinde ifade edilir.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
Strateji şu adımlardan oluşur:
- Şekil 1’deki FDA dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak |AD| ve yatağın sol parçasının |AC| = |AF| uzunluğu bulunur.
- Toplam uzunluk olan |CE| = 200 cm’den |AC| çıkarılarak yatağın sağ parçasının |AE| = |AG| uzunluğu hesaplanır.
- İki konumdaki döndürülme açıları eşit olduğundan FDA ile GHA dik üçgenlerinin A.A. benzerlik kuralına göre benzer olduğu belirlenir.
- Üçgen benzerliği oranı kurularak |GH| uzunluğu hesaplanır.
Çözüm ve kontrol: Pisagor bağıntısı ve dik üçgenlerdeki benzerlik kullanılarak bilinmeyen kenara ulaşma stratejisi doğrulanmıştır.
Soru 3
Kısa cevap
45 cm
Örnek cevap / çözüm yolu
-
FDA dik üçgeninde |AD| = x denirse |AF| = |AC| = x + 25 cm olur.
Pisagor bağıntısından:
75^2 + x^2 = (x + 25)^2
5625 + x^2 = 625 + 50x + x^2
50x = 5000 \implies x = 100\text{ cm} (|AD| = 100 cm)
|AF| = |AC| = 100 + 25 = 125 cm bulunur. -
Yatağın sağ parçasının uzunluğu:
|AE| = |CE| - |AC| = 200 - 125 = 75 cm.
Şekil 2’de |AG| = |AE| = 75 cm olur. -
Dönme açıları eşit olduğundan FDA ~ GHA benzerliği yazılır:
\frac{|GH|}{|FD|} = \frac{|AG|}{|AF|}
\frac{|GH|}{75} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}
|GH| = 75 \times \frac{3}{5} = 45\text{ cm} bulunur.
Çözüm ve kontrol: 75^2 + 100^2 = 125^2 (3-4-5 üçgeninin 25 katı) ve GHA üçgeninde 45^2 + 60^2 = 75^2 (3-4-5 üçgeninin 15 katı) ilişkisi çözümü doğrular.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Çözüm, dik üçgendeki açının sinüs oranı kullanılarak da kontrol edilebilir:
\sin(\alpha) = \frac{|FD|}{|AF|} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}
Şekil 2’deki GHA dik üçgeninde aynı açı kullanıldığında:
\sin(\alpha) = \frac{|GH|}{|AG|} \implies \frac{3}{5} = \frac{|GH|}{75} \implies |GH| = 45\text{ cm}
Farklı çözüm yolları (benzerlik ve trigonometri) aynı sonucu vermektedir.
Çözüm ve kontrol: Geometrik benzerlik oranı ile trigonometrik oranların aynı sonucu vermesi çözümün doğruluğunu teyit eder.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
ABC dik üçgeninde A dik açı köşesidir (|AB| = 12, |AC| = 9). Kesilen dikdörtgenin A köşesindeki kenarları |AD| = 2k ve |AF| = 3k olarak modellenir. E noktası hipotenüs [BC] üzerinde yer aldığından BDE ve EFC dik üçgenleri oluşturulur ve model üzerinde kenar uzunlukları ile alan bağıntıları gösterilir.
Çözüm ve kontrol: Dikdörtgen kesildikten sonra geriye kalan BDE ve EFC dik üçgenlerinin dik kenarları k parametresine bağlı olarak modellenmiştir.
Soru 6
Kısa cevap
4 (veya 1/4)
Örnek cevap / çözüm yolu
-
Dikdörtgenin kenarları |AD| = 2k ve |AF| = 3k olsun.
E noktası [BC] üzerinde olduğundan BDE ~ BAC benzerliğinden:
\frac{|DE|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|BA|} \implies \frac{3k}{9} = \frac{12 - 2k}{12}
\frac{k}{3} = \frac{12 - 2k}{12} \implies 12k = 36 - 6k \implies 18k = 36 \implies k = 2 bulunur. -
Kenar uzunlukları ve alanlar:
Dikdörtgen için: |AD| = 4\text{ birim}, |AF| = 6\text{ birim}.- BDE üçgeninin dik kenarları: |BD| = 12 - 4 = 8\text{ birim}, |DE| = 6\text{ birim}.
\text{Alan}(BDE) = \frac{8 \times 6}{2} = 24\text{ birimkare}. - EFC üçgeninin dik kenarları: |EF| = 4\text{ birim}, |FC| = 9 - 6 = 3\text{ birim}.
\text{Alan}(EFC) = \frac{4 \times 3}{2} = 6\text{ birimkare}.
- BDE üçgeninin dik kenarları: |BD| = 12 - 4 = 8\text{ birim}, |DE| = 6\text{ birim}.
-
Alanların oranı:
\frac{\text{Alan}(BDE)}{\text{Alan}(EFC)} = \frac{24}{6} = 4 bulunur.
Çözüm ve kontrol: Tüm üçgenlerin alanları toplamı \text{Alan}(ABC) = \frac{12 \times 9}{2} = 54 birimkaredir. Dikdörtgenin alanı 4 \times 6 = 24, geriye kalan üçgenlerin alanları 24 ve 6’dır (24 + 6 + 24 = 54). Toplam alan kontrolü çözümü doğrular.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 92 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 94 →