9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 2. Kitap Sayfa 90 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)

Dersnotu · Ağustos 5, 2026, 11:11öö

Soru 7

a) ABD üçgeninin CBD üçgeni ile eş olduğunun ispatı:

[AC] // EF ve [AC] \perp [DB] olarak verilmiştir. Paralellikten dolayı [DB] \perp EF olur.
Yansıma yasasına göre geliş ve yansıma açıları eşittir: m(\widehat{CDF}) = m(\widehat{ADE}) = \alpha.
[DB] \perp EF olduğundan m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{BDF}) = 90^\circ dir.
Buradan m(\widehat{ADB}) = 90^\circ - \alpha ve m(\widehat{CDB}) = 90^\circ - \alpha elde edilir. Dolayısıyla m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{CDB}) olur.
\triangle ABD ve \triangle CBD üçgenlerinde:
1. [DB] ortak kenardır (|DB| = |DB|).
2. m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{CBD}) = 90^\circ ([AC] \perp [DB] olduğundan).
3. m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{CDB})
Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralı gereğince \triangle ABD \cong \triangle CBD olur.

b) ACD üçgeninin ikizkenar olduğunun doğrulanması:

\triangle ABD \cong \triangle CBD eşliğinden karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir, yani |AD| = |CD| olur.
İki kenar uzunluğu eşit olan \triangle ACD üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

c) Yansımanın boyutu üzerindeki etki:

Düzlem aynada kişinin kendisini tam boy görebilmesi için gerekli ayna boyu ve bakış açısı oranları mesafeden bağımsızdır. Aynadan uzaklaşıldığında üçgensel benzerlik oranları ve |AD| = |CD| eşliği korunduğu için algılanan yansıma boyutu değişmez.

a) 80\text{ cm}
b) 90\text{ cm}
c) 230\text{ cm}

Çözüm adımları:

Bir kenarı 50\text{ cm} olan düzgün altıgende kenara paralel yapılan kesimlerde, kesit uzunluğu L = 50 + s biçimindedir (burada s, yan kenar üzerindeki kesim uzunluğudur).
A parçası için: Çevre = 50 + (50 + s_1) + 2s_1 = 100 + 3s_1 = 190\text{ cm} \implies s_1 = 30\text{ cm}. En uzun kenarı L_1 = 50 + 30 = 80\text{ cm} bulunur.
C parçası için: Çevre = 50 + (50 + s_2) + 2s_2 = 100 + 3s_2 = 220\text{ cm} \implies s_2 = 40\text{ cm}. En uzun kenarı L_2 = 50 + 40 = 90\text{ cm} bulunur.
B parçası için: Üst tabanı 80\text{ cm}, alt tabanı 90\text{ cm}'dir. Yan kenarların toplam uzunluğu (50 - 30) + (50 - 40) = 30\text{ cm} olur. İki yan kenar toplamı 2 \times 30 = 60\text{ cm}'dir. Çevre = 80 + 90 + 30 + 30 = 230\text{ cm} hesaplanır.

|BD| = 30\text{ cm}

Çözüm adımları:

\triangle ABC dik üçgeninde ([AB] \perp [BC]) |AC| = |AD| + |DC| = 70 + 20 = 90\text{ cm}'dir.
|BD| = |BC| = x olsun. Pisagor teoreminden |AB|^2 = 90^2 - x^2 = 8100 - x^2 yazılır.
\triangle ABC üçgeninde [BD] keseni için Stewart Teoremi uygulandığında:
|BC|^2 \cdot |AD| + |AB|^2 \cdot |DC| = |AC| \cdot (|BD|^2 + |AD| \cdot |DC|)

x^2 \cdot 70 + (8100 - x^2) \cdot 20 = 90 \cdot (x^2 + 70 \cdot 20)

70x^2 + 162000 - 20x^2 = 90x^2 + 126000
$$40x^2 = 36000 \implies x^2 = 900 \implies x = 30\text{ cm}$$ bulunur.