Sayfa rehberi
Bu sayfada, üçgenlerde orantılı bölme (Tales teoremi) ve paralel doğrular arasında oluşan benzerlik bağıntıları iki ayrı çözümlü örnek ve bir özet kural kutusu ile anlatılmaktadır.
21. Örnek İncelemesi ve Çözümü
Soru Metni:
ABC üçgeninde F, E \in [AC], D \in [AB], [DF] // [BE], [DE] // [BC], |AF| = 4\text{ cm} ve |FE| = 3\text{ cm} olarak verilmiştir. Buna göre |EC| uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.
Çözüm Adımları:
-
ABE Üçgeninde Tales Teoremi:
[DF] // [BE] olduğundan ABE üçgeninde temel orantı teoremine göre:\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AF|}{|FE|} = \frac{4}{3} -
ABC Üçgeninde Tales Teoremi:
[DE] // [BC] olduğundan ABC üçgeninde kenar oranları korunur:\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{4}{3} -
Denklem ve Hesaplama:
|AE| = |AF| + |FE| = 4 + 3 = 7\text{ cm}'dir. Orantıda yerine yazılırsa:\frac{7}{|EC|} = \frac{4}{3} \implies 4 \cdot |EC| = 21 \implies |EC| = \frac{21}{4}\text{ cm}
22. Örnek İncelemesi ve İspatı
Soru Metni:
Şekilde ABC ve DCB dik üçgenlerinde m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{DCB}) = 90^\circ, [AC] \cap [BD] = \{E\}, [AB] // [DC] // [EF] ve |AB| = b, |DC| = c, |EF| = a veriliyor. Buna göre \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} bağıntısını elde ediniz.
Çözüm Adımları:
-
Birinci Benzerlik (EFC ~ ABC):
[EF] // [AB] olduğu için \triangle EFC \sim \triangle ABC (A.A. benzerliği).
Taban parçalarına |BF| = x ve |FC| = y denilirse:\frac{a}{b} = \frac{y}{x + y} -
İkinci Benzerlik (EFB ~ DCB):
[EF] // [DC] olduğu için \triangle EFB \sim \triangle DCB (A.A. benzerliği).\frac{a}{c} = \frac{x}{x + y} -
Taraf Tarafa Toplama:
Elde edilen iki eşitlik toplandığında:\frac{a}{b} + \frac{a}{c} = \frac{y}{x + y} + \frac{x}{x + y} = \frac{x + y}{x + y} = 1Eşitliğin her iki tarafı a’ya bölündüğünde istenen bağıntı bulunur:
\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
Önemli Özellik Kutusu
Sayfanın altındaki özet bilgiye göre; [AB] // [DC] // [EF] olan kelebek/çapraz paralellik durumlarında orta paralelin uzunluğu x olmak üzere:
bağıntısı doğrudan kullanılabilir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 62 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 64 →