9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 2. Kitap Sayfa 56 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)

Dersnotu · Ağustos 5, 2026, 11:09öö

Sayfa rehberi

Bu sayfada üçgenlerde benzerlik, orantılı bölme ve orta taban kavramları çözümlü örneklerle açıklanmıştır.

Problem Konusu: ABC üçgeni şeklinde modellenen bir dağda C ve B noktalarından tırmanan dağcıların konumları üzerinden dağın yüksekliği ve ara yükseklikler hesaplanmaktadır.
Verilen Oranlar:
- C noktasındaki dağcı için |AC| \cdot \frac{3}{5} = |DC| \Rightarrow \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{3}{5}'tir.
- B noktasındaki dağcı için |EB| = \frac{|AB|}{2} \Rightarrow \frac{|AE|}{|BE|} = 1 (E noktası [AB] kenarının orta noktasıdır).
Çözüm Adımları:
- a) Dağın Zirve Yüksekliği (|AH|):
  - D noktasındaki dik uzaklık |DG| = 1500\text{ m} olarak veriliyor.
  - [AH] \perp [BC] çizildiğinde açılardan dolayı \widehat{CGD} \sim \widehat{CHA} benzerliği elde edilir.
  - Benzerlik oranından: \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|DG|}{|AH|} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{1500}{|AH|} \Rightarrow |AH| = 2500\text{ m} (Zirve yüksekliği) bulunur.
- b) E Noktasının Yüksekliği (|EF|):
  - [EF] \perp [BC] çizildiğinde \widehat{EBF} \sim \widehat{ABH} benzerliği elde edilir.
  - Benzerlik oranından: \frac{|BE|}{|BA|} = \frac{|EF|}{|AH|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|EF|}{2500} \Rightarrow |EF| = 1250\text{ m} bulunur.

Problem Konusu: ABC üçgeninde kenar uzunlukları ve bir açı verilerek istenen m(\widehat{DEC}) açısının bulunması.
Verilenler: D \in [AC], E \in [BC], |AD| = |DC|, |AB| = 6\text{ birim}, |BE| = 10\text{ birim}, |EC| = 4\text{ birim}, m(\widehat{ABC}) = 70^\circ.
Çözüm Adımları:
- [AB] kenarına paralel olacak şekilde D noktasından [DK] doğru parçası çizilir (K \in [BC]).
- \widehat{CDK} \sim \widehat{CAB} (A.A. benzerliği) elde edilir.
- Yöndeş açılardan m(\widehat{DKC}) = m(\widehat{ABC}) = 70^\circ olur.
- Kenar oranları: \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|CK|}{|CB|} = \frac{|DK|}{|AB|} = \frac{1}{2} eşitliğinden;
  - |CB| = 10 + 4 = 14\text{ birim} olduğundan \frac{|CK|}{14} = \frac{1}{2} \Rightarrow |CK| = 7\text{ birim} bulunur.
  - \frac{|DK|}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow |DK| = 3\text{ birim} bulunur.
- K noktası [BC] üzerinde C’den 7\text{ birim} uzaklıktadır. |EC| = 4\text{ birim} olduğu için |KE| = 7 - 4 = 3\text{ birim} kalır.
- |KE| = |DK| = 3\text{ birim} olduğundan DKE bir ikizkenar üçgendir.
- K, E, C noktaları doğrusal olduğundan \widehat{DKE} açısının tepe açısı m(\widehat{DKE}) = m(\widehat{DKC}) = 70^\circ’dir.
- DKE ikizkenar üçgeninin taban açıları m(\widehat{KDE}) = m(\widehat{DEK}) = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ olur.
- Bütünler açıdan m(\widehat{DEC}) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ olarak elde edilir.

Tanım: Bir üçgenin iki kenarının orta noktasını birleştiren doğru parçasına üçgenin orta tabanı denir.
Kural: Orta taban, üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenar uzunluğunun yarısına eşittir.