9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 2. Kitap Sayfa 52 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)

Dersnotu · Ağustos 5, 2026, 11:09öö

Soru 8

a) \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3}
b) |AE| = 10\text{ cm} ve |BC| = 6\text{ cm}

Çözüm Adımları:

[DE] // [BC] olduğundan Temel Orantı Teoremi uyarınca \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AE|}{|AC|} eşitliği geçerlidir.
|AB| = |AD| + |DB| = 8 + 4 = 12\text{ cm} bulunur. Oran: \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} olur. Buradan \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} elde edilir.
\frac{|AE|}{|AE| + |EC|} = \frac{2}{3} \implies \frac{|AE|}{|AE| + 5} = \frac{2}{3} \implies 3|AE| = 2|AE| + 10 \implies |AE| = 10\text{ cm} bulunur.
[BE] açıortay olduğundan m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC})'dir. [DE] // [BC] olduğu için iç ters açılardan m(\widehat{DEB}) = m(\widehat{EBC}) olur. Buradan \triangle BDE ikizkenar üçgen çıkar ve |DE| = |DB| = 4\text{ cm} bulunur.
\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies \frac{4}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies |BC| = 6\text{ cm} hesaplanır.

|AE| = 7,5\text{ cm} (veya \frac{15}{2}\text{ cm}) ve \frac{|DE|}{|AB|} = 1,5 (veya \frac{3}{2})

Çözüm Adımları:

[AB] // [DE] olduğundan kelebek benzerliği gereği \triangle ABC \sim \triangle EDC olur.
Benzerlik oranı: \frac{|AC|}{|CE|} = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|ED|} şeklindedir.
Verilenler yerine yazıldığında: \frac{3}{|CE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies |CE| = 4,5\text{ cm} bulunur.
|AE| = |AC| + |CE| = 3 + 4,5 = 7,5\text{ cm} olur.
\frac{|DE|}{|AB|} oranı ise \frac{|CD|}{|BC|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5 olarak bulunur.

\frac{|BE|}{|BC|} = \frac{2}{3} ve \frac{|DA|}{|BD|} = \frac{1}{2}

Çözüm Adımları:

[DE] // [AC] olduğu için \triangle BDE \sim \triangle BAC olur.
Benzerlik oranından \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|AC|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} bulunur.
Aynı benzerlik oranından \frac{|BD|}{|BA|} = \frac{2}{3} olur. Buradan |BA| = \frac{3}{2}|BD| yazılabilir.
|BA| = |BD| + |DA| olduğundan |BD| + |DA| = \frac{3}{2}|BD| \implies |DA| = \frac{1}{2}|BD| elde edilir.
Dolayısıyla \frac{|DA|}{|BD|} = \frac{1}{2} bulunur.

a) |DE| = 6\text{ m}
b) 46,5\text{ m}^2 halı gereklidir.

Çözüm Adımları:

[DE] \perp [AB] ve [CF] \perp [AB] olduğundan dik üçgenlerde açılardan m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{FCB}) eşitliği verilmiştir.
Buradan \triangle AED \sim \triangle CFB benzerliği kurulur.
Benzerlik oranı: \frac{|DE|}{|FB|} = \frac{|AE|}{|CF|} olur. |DE| = |CF| = h dersek; \frac{h}{4} = \frac{9}{h} \implies h^2 = 36 \implies h = 6\text{ m} bulunur.
Halı kaplamasında basamakların toplam yatay uzunluğu |AE| + |DC| + |FB| = 9 + 6 + 4 = 19\text{ m}'dir (|DC| = |EF| = 6\text{ m}).
Basamakların toplam düşey uzunluğu ise yükseliş ve iniş dahil |DE| + |CF| = 6 + 6 = 12\text{ m}'dir.
Halının toplam uzunluğu 19 + 12 = 31\text{ m}, alanı ise 31\text{ m} \times 1,5\text{ m} = 46,5\text{ m}^2 olarak hesaplanır.

x = 20\text{ cm}

Çözüm Adımları:

Her bir çubuğun uzunluğu 48\text{ cm}'dir. Üst uçtan A noktasına kadar olan mesafeye a, B noktası ile alt uç arasındaki mesafeye b diyelim. a + x + b = 48 olur.
Şekil 1’de çubuklar A noktasında kesiştiğinde üstteki ve alttaki üçgenler benzerdir: \frac{a}{48 - a} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \implies 48 - a = 3a \implies 4a = 48 \implies a = 12\text{ cm} bulunur.
Şekil 2’de çubuklar B noktasında kesiştiğinde üst parça uzunluğu a + x = 12 + x, alt parça uzunluğu b = 48 - (12 + x) = 36 - x olur.
Şekil 2’deki benzerlikten: \frac{12 + x}{36 - x} = \frac{16}{8} = 2 \implies 12 + x = 2(36 - x) \implies 12 + x = 72 - 2x \implies 3x = 60 \implies x = 20\text{ cm} bulunur.