Soru 1
Üçgen şeklinde bir kâğıt, iki kenarının orta noktasını birleştiren doğru boyunca kesiliyor ve yeni bir üçgen oluşturuluyor. Oluşan üçgenin ilk üçgene benzer olmasının nedenini benzerlik koşullarından yararlanarak açıklayınız.
Örnek cevap / çözüm yolu
ABC üçgeninde AB kenarının orta noktası D, AC kenarının orta noktası E olsun. Kâğıt DE boyunca kesildiğinde oluşan yeni üçgen ADE üçgenidir.
-
Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Kuralı ile:
- A açısı her iki üçgende de ortak açıdır: m(\widehat{A}) = m(\widehat{A}).
- D ve E kenar orta noktaları olduğundan |AD| = \frac{1}{2}|AB| ve |AE| = \frac{1}{2}|AC| olur.
- Kenar oranları \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{1}{2} olarak elde edilir.
- İki kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açı eşit olduğu için K.A.K. benzerlik kuralına göre ADE \sim ABC olur.
-
Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Kuralı ile:
- İki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçası (orta taban), üçüncü kenara paralel ve uzunluğu bu kenarın yarısı kadardır: |DE| = \frac{1}{2}|BC|.
- Karşılıklı üç kenarın oranı da eşittir: \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{1}{2}.
- Bütün karşılıklı kenar uzunlukları orantılı (benzerlik oranı k = \frac{1}{2}) olduğu için K.K.K. benzerlik kuralına göre ADE \sim ABC olur.
Çözüm kontrolü:
Orta noktaların birleştirilmesiyle elde edilen üçgenin tüm kenar uzunlukları, başlangıçtaki üçgenin ilgili kenar uzunluklarının tam yarısıdır. Kenar oranları eşit ve sabit (1/2) olduğundan iki üçgen kesinlikle benzerdir.
Soru 2
Rüzgâr, yaz tatilinde gidecekleri illerin konumlarını 1/2 000 000 ölçekli haritada işaretleyip ABC üçgeni oluşturuyor. Oluşturduğu ABC üçgeninin çevre uzunluğunu 39 cm olarak ölçüyor. Buna göre Rüzgâr’ın tatilde izleyeceği rotanın kuş uçuşu mesafesinin kaç km olduğunu bulunuz.
Kısa cevap
780\text{ km}
Örnek cevap / çözüm yolu
-
Haritadaki oran (ölçek) kavramı:
Harita ölçeği 1 / 2\,000\,000 olduğundan haritadaki her 1\text{ cm}, gerçekteki 2\,000\,000\text{ cm} uzunluğa karşılık gelir. -
Gerçek çevre uzunluğunun bulunması:
\text{Gerçek Çevre} = 39 \times 2\,000\,000 = 78\,000\,000\text{ cm} -
Birim çevirme (cm → km):
1\text{ km} = 100\,000\text{ cm} olduğundan santimetre cinsinden bulunan değer 100\,000’e bölünür:\text{Mesafe} = \frac{78\,000\,000}{100\,000} = 780\text{ km}
Çözüm kontrolü:
780\text{ km} = 78\,000\,000\text{ cm} yapar. Bu değer 2\,000\,000’a bölündüğünde haritada ölçülen 39\text{ cm} çevreyi verir. İşlem doğrudur.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 44 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 46 →