9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 1. Kitap Sayfa 81 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)

Dersnotu · Ağustos 5, 2026, 11:03öö

Soru 7

18{,}5\text{ cm}^2 (veya \frac{37}{2}\text{ cm}^2)

Şekildeki özdeş 4 küçük karenin bir kenar uzunluğu x\text{ cm}, ortadaki karenin bir kenar uzunluğu y\text{ cm}'dir.
Karenin köşegen uzunluğu kenar uzunluğunun \sqrt{2} katıdır. Şeklin en dıştaki A ve B köşeleri arasındaki |AB| doğru parçası, küçük karelerin ve büyük karenin köşegenlerinin toplamından oluşur:
|AB| = x\sqrt{2} + y\sqrt{2} + x\sqrt{2} = (2x + y)\sqrt{2}
|AB| = 7\text{ cm} olarak verildiğinden:
(2x + y)\sqrt{2} = 7 \implies 2x + y = \frac{7}{\sqrt{2}}
Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında:
(2x + y)^2 = \left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2 \implies 4x^2 + 4xy + y^2 = \frac{49}{2}
Şeklin toplam alanı, 4 adet küçük kare ile 1 adet orta karenin alanlarının toplamıdır:
\text{Alan} = 4x^2 + y^2
Soruda x \cdot y = \frac{3}{2} verildiğinden 4xy = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 olur.
4x^2 + y^2 + 6 = \frac{49}{2} denkleminden:
\text{Alan} = \frac{49}{2} - 6 = \frac{37}{2} = 18{,}5\text{ cm}^2

48\text{ TL}

Zeminin ve Seramiklerin Alanı:
- Kare zeminin alanı: 256 \times 256 = (2^8)^2 = 2^{16}\text{ cm}^2
- 1 adet seramiğin alanı: 64 \times 64 = (2^6)^2 = 2^{12}\text{ cm}^2
- 4 adet seramiğin toplam alanı: 4 \times 2^{12} = 2^2 \times 2^{12} = 2^{14}\text{ cm}^2
Maviye Boyanan Alan:
\text{Mavi Alan} = 2^{16} - 2^{14} = 2^{14}(2^2 - 1) = 3 \cdot 2^{14}\text{ cm}^2
Mavi Alanın Metrekareye Çevrilmesi:
- 1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 = 10^4\text{ cm}^2 \implies 1\text{ cm}^2 = 10^{-4}\text{ m}^2
- \text{Mavi Alan (m}^2) = 3 \cdot 2^{14} \cdot 10^{-4} = 3 \cdot 2^{14} \cdot 2^{-4} \cdot 5^{-4} = 3 \cdot 2^{10} \cdot 5^{-4}\text{ m}^2
1\text{ m}^2 Boya Ücretinin Hesaplanması:
- Toplam ücret: 2^{14} \cdot 3^2 \cdot 5^{-4}\text{ TL}
- 1\text{ m}^2 ücreti = \frac{\text{Toplam Ücret}}{\text{Toplam Mavi Alan (m}^2)}
\text{Birim Ücret} = \frac{2^{14} \cdot 3^2 \cdot 5^{-4}}{3 \cdot 2^{10} \cdot 5^{-4}} = \frac{2^{14}}{2^{10}} \cdot \frac{3^2}{3} = 2^4 \cdot 3 = 16 \times 3 = 48\text{ TL}

(4x^2 - 16)\text{ cm}^2

ED'C Dik Üçgeninin Kenar Uzunluğunun Bulunması:
- Dikdörtgenin DC kenarı BC üzerine katlandığında ED'C ikizkenar dik üçgen oluşturur (ED' = D'C = AB = h).
- İkizkenar dik üçgenin alanı \frac{h^2}{2}'dir.
\frac{h^2}{2} = 2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4) = 2(x + 2)^2

h^2 = 4(x + 2)^2 \implies h = 2(x + 2) = 2x + 4\text{ cm}
ABD'E Dikdörtgeninin Kenar Uzunlukları ve Alanı:
- ABD'E dikdörtgeninin dikey kenarı AB = 2x + 4\text{ cm}'dir.
- Çevresi 8x\text{ cm} olarak verildiğinden:
  \text{Çevre} = 2 \cdot (AB + AE) = 8x \implies AB + AE = 4x
  
  (2x + 4) + AE = 4x \implies AE = 2x - 4\text{ cm}
- ABD'E dikdörtgeninin alanı:
  \text{Alan} = AB \cdot AE = (2x + 4)(2x - 4) = 4x^2 - 16\text{ cm}^2