Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
“a, b ve c gerçek sayılar olmak üzere b, a dan büyük ve c, b den büyük ise a, c den küçüktür.” önermesinin sembolik mantık ve matematiksel sembollerle ifadesi:
(a, b, c \in \mathbb{R} \land b > a \land c > b) \Rightarrow a < c
veya sıralama bağıntısının geçişme özelliği olarak:
\forall a, b, c \in \mathbb{R}, (a < b \land b < c \Rightarrow a < c)
Sembolik gösterimde önerme, hipotezlerin (b > a ve c > b) doğruluk değeri sağlandığında hükmün (a < c) de doğru olduğunu ifade eder.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
a) Matematiksel sembollerle yazımı:
\forall a, x, y \in \mathbb{R}, (a > 1 \land x < y) \Rightarrow a^x < a^y
b) Cebirsel ispatı:
- a > 1 olduğundan a - 1 > 0 yani a sayısı 1’den büyüktür.
- x < y ise y - x > 0 pozitif bir gerçek sayıdır.
- Tabanı 1’den büyük olan bir sayının pozitif kuvveti 1’den büyüktür: a^{y-x} > 1.
- Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir değer olan a^x ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirmez:
a^x \cdot a^{y-x} > a^x \cdot 1 \implies a^y > a^x - Buradan a^x < a^y olduğu cebirsel olarak ispatlanmış olur.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
- \sqrt{45} = 3\sqrt{5} sayısı veriliyor. a sayısı bu sayının toplama işlemine göre tersi olduğundan a = -3\sqrt{5} olur.
- b sayısı \frac{\sqrt{5}}{12} sayısının çarpma işlemine göre tersi olduğundan b = \frac{12}{\sqrt{5}} olur.
- İstenen ifade tam kare özdeşliğidir: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
- a + b toplamı hesaplanır:
a + b = -3\sqrt{5} + \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{-15 + 12}{\sqrt{5}} = \frac{-3}{\sqrt{5}} - Karesi alınır:
(a + b)^2 = \left(\frac{-3}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{9}{5}
Kısa cevap
\frac{9}{5}
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
-
İkinci şekildeki çarpım işleminden K bulunur:
\left(a - \frac{1}{2}\right) \cdot K = a^2 - \frac{1}{4} = \left(a - \frac{1}{2}\right)\left(a + \frac{1}{2}\right) \implies K = a + \frac{1}{2}
K = \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} verildiğine göre a = \frac{\sqrt{3}}{2} olur. -
Üçüncü şekildeki çarpım işleminden L bulunur:
L \cdot (a - 2b) = a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2 \implies L = a - 2b
L = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} verildiğine göre a - 2b = 4\sqrt{3} olur. -
a = \frac{\sqrt{3}}{2} değeri yerine yazılarak b bulunur:
\frac{\sqrt{3}}{2} - 2b = 4\sqrt{3} \implies 2b = \frac{\sqrt{3}}{2} - 4\sqrt{3} = -\frac{7\sqrt{3}}{2} \implies b = -\frac{7\sqrt{3}}{4} -
a \cdot b çarpımı hesaplanır:
a \cdot b = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{7\sqrt{3}}{4}\right) = -\frac{21}{8}
Kısa cevap
-\frac{21}{8}
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
- Verilen 4xy + (x - y)^2 ifadesi açılıp düzenlenir:
4xy + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 - x = 4026 ve y = 2374 değerleri toplanır:
x + y = 4026 + 2374 = 6400 - Karesi alınır:
(6400)^2 = 40\,960\,000
Kısa cevap
40\,960\,000
Soru 6
Örnek cevap / çözüm yolu
- Çarpımdaki terimler (3 - \sqrt{n}) biçimindedir (n = 1, 2, 3, \dots, 30).
- n = 9 için çarpanlardan biri (3 - \sqrt{9}) = (3 - 3) = 0 olur.
- Yutan eleman olan 0 çarpanı nedeniyle bütün çarpımın sonucu 0 çıkar.
Kısa cevap
0
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 79 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 81 →