Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
Önermelerde kullanılan sembolik ifadelerin anlamları ve mantıksal açıklamaları şu şekildedir:
-
f) \forall a,b \in \mathbb{R} için a > b \Rightarrow b - a > 0’dır.
- Sözel Karşılığı: Her a, b gerçek sayısı için, a > b ise b - a > 0’dır.
- Açıklama: Yanlış bir önermedir; a > b olduğunda b - a < 0 olmalıdır.
-
g) \exists a \in \mathbb{R}, a \neq 0 için \forall b \in \mathbb{R} vardır. Öyle ki a \cdot b = 1’dir.
- Sözel Karşılığı: Sıfırdan farklı en az bir a gerçek sayısı için her b gerçek sayısı ile çarpımı 1’dir.
-
ğ) a \in \mathbb{R} için a \le 0 \land a \ge 0 \Rightarrow a = 0’dır.
- Sözel Karşılığı: Herhangi bir a gerçek sayısı 0’dan küçük veya eşit ve aynı zamanda 0’dan büyük veya eşit ise a = 0’dır.
- Açıklama: Hem \le hem \ge koşulunu sağlayan tek gerçek sayı 0’dır.
-
h) a, b \in \mathbb{R} için a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0’dır.
- Sözel Karşılığı: İki gerçek sayının çarpımının sıfır olması ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olmasına bağlıdır.
-
ı) \forall a, b \in \mathbb{R} için a < b \lor a - b < 0’dır.
- Sözel Karşılığı: Her a, b gerçek sayısı için a < b veya a - b < 0’dır.
-
i) a, b \in \mathbb{R} olmak üzere a \cdot b \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 0 \land b \neq 0’dır.
- Sözel Karşılığı: İki gerçek sayının çarpımının sıfırdan farklı olması ancak ve ancak her iki sayının da sıfırdan farklı olması ile mümkündür.
-
j) a, b \in \mathbb{R} olmak üzere a \cdot b < 0 \Rightarrow a < 0 \underline{\lor} b < 0’dır.
- Sözel Karşılığı: İki gerçek sayının çarpımı sıfırdan küçük ise bu sayılardan ya a ya da b sıfırdan küçüktür (zıt işaretlidirler).
-
k) \forall a \in \mathbb{R}, a \neq 0 için \exists b \in \mathbb{R} vardır. Öyle ki a \cdot b = 1’dir.
- Sözel Karşılığı: Sıfırdan farklı her a gerçek sayısı için çarpımları 1 olan en az bir b gerçek sayısı vardır.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Sözel önermelerin sembolik karşılıkları incelendiğinde:
- Gerçek sayılarda çarpma işlemine göre ters elemanın varlığı (k) şıkkı ile ifade edilir.
- Çarpmada yutan eleman / sıfır ürünü kuralı (h) şıkkı ile ifade edilir.
- Zıt işaretli iki sayının çarpımının negatifliği (j) şıkkındaki “ya da” (\underline{\lor}) bağlacı kullanılarak gösterilir.
Soru 4
Kısa cevap
Tablodaki önermelerin olumsuzları (değilleri) aşağıda verilmiştir:
-
1. Satır (Örnek):
- Önerme: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0
- Değili: \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0
-
2. Satır:
- Önerme: \forall x \in \mathbb{Z}^-, -5 < x < 0
- Değili: \exists x \in \mathbb{Z}^-, (x \le -5 \lor x \ge 0)
-
3. Satır:
- Önerme: \exists x \in \mathbb{N}, 3x - 2 = 0
- Değili: \forall x \in \mathbb{N}, 3x - 2 \neq 0
-
4. Satır:
- Önerme: \forall x, y \in \mathbb{N}, x + y \in \mathbb{N}
- Değili: \exists x, y \in \mathbb{N}, x + y \notin \mathbb{N}
Örnek cevap / çözüm yolu
Önermelerin değili yazılırken niceleyiciler ve semboller şu şekilde değişir:
- \forall (Her) yerine \exists (Bazı) yazılır.
- \exists (Bazı) yerine \forall (Her) yazılır.
- Eşitlik (=) sembolü eşit değildir (\neq) olur.
- Küçüktür (<) sembolü büyük veya eşittir (\ge) olur.
- Elemanıdır (\in) sembolü elemanı değildir (\notin) olur.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
Sembolik Önerme Örnekleri ve Değilleri:
-
Örnek Önerme (p): \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0
- Sözel Karşılığı: Her gerçek sayının karesinin 1 fazlası sıfırdan büyüktür.
- Değili (p'): \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0
- Değilinin Sözel Karşılığı: Karesinin 1 fazlası sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olan en az bir gerçek sayı vardır.
-
Örnek Önerme (q): \exists x \in \mathbb{Z}, 2x + 1 = 7
- Sözel Karşılığı: 2 katının 1 fazlası 7 olan en az bir tam sayı vardır.
- Değili (q'): \forall x \in \mathbb{Z}, 2x + 1 \neq 7
- Değilinin Sözel Karşılığı: Her tam sayının 2 katının 1 fazlası 7’den farklıdır.
Gösterim Değerlendirmesi:
Sembolik gösterimler, dili evrenselleştirdiği, karmaşık ifadeleri daha kısa ve hatasız biçimde özetlediği için mantıksal çıkarımlarda ve matematikte sözel gösterimlere göre daha kullanışlıdır.
Soru 6
Örnek cevap / çözüm yolu
22. Örnek Sorusu ve Çözüm Adımları:
“Her tek doğal sayının karesi tek sayıdır.” önermesi veriliyor.
a) Sembolik Gösterim:
\forall x \in \mathbb{N}, x \text{ tek sayı} \Rightarrow x^2 \text{ tek sayıdır.}
b) Cebirsel İspat:
- Hipotez: x tek doğal sayıdır.
- Hüküm: x^2 tek sayıdır.
- İspat Adımları:
- x tek doğal sayı ise bir a \in \mathbb{N} için x = 2a + 1 şeklinde ifade edilebilir.
- Karesini alalım: x^2 = (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 4(a^2 + a) + 1
- a \in \mathbb{N} olduğundan 4(a^2 + a) ifadesi 4’ün katıdır ve çifttir.
- Çift bir sayıya 1 eklendiğinde sonuç tek sayı olacağından x^2 bir tek sayıdır.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 72 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 74 →