Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Doğal sayılar (\mathbb{N}) ve tam sayılar (\mathbb{Z}) kümelerinde herhangi iki eleman arasında her zaman bu kümeye ait başka bir sayı bulunmayabilir. Örneğin 1 ile 2 gibi ardışık tam veya doğal sayılar arasında bu kümelere ait başka bir eleman yoktur. Bu nedenle \mathbb{N} ve \mathbb{Z} kümelerinde “arada olma özelliği” genel olarak geçerli değildir.
Buna karşın, rasyonel sayılar (\mathbb{Q}) ve gerçek sayılar (\mathbb{R}) kümelerinde farklı iki eleman alındığında, bu iki elemanın arasında her zaman yine aynı kümeye ait en az bir sayı (örneğin bu iki sayının aritmetik ortalaması) bulunabilir. Dolayısıyla \mathbb{Q} ve \mathbb{R} kümelerinde arada olma özelliğinin sağlandığı varsayılabilir.
Soru 2
Kısa cevap
Tablodaki boşluklar sayı kümelerinin özelliklerine uygun şekilde doldurulduğunda şu sonuçlar elde edilir:
-
\mathbb{N} Kümesi (Doğal Sayılar):
- 1 ile 3 arası: 2 (Örnekte verilmiştir)
- 0 ile 5 arası: 2 (veya 1, 3, 4)
- 51 ile 60 arası: 55 (veya 52 ile 59 arasındaki herhangi bir doğal sayı)
- 45 ile 46 arası: Yok (-) (Ardışık doğal sayılar arasında doğal sayı yoktur)
- 100 ile 500 arası: 200
- 0 ile 1 arası: Yok (-) (Ardışık doğal sayılar arasında doğal sayı yoktur)
-
\mathbb{Z} Kümesi (Tam Sayılar):
- -2 ile -1 arası: Yok (-) (Örnekte verilmiştir, ardışık tam sayılardır)
- -5 ile -3 arası: -4
- -11 ile 11 arası: 0 (veya -10 ile 10 arasındaki herhangi bir tam sayı)
- 3 ile 4 arası: Yok (-) (Ardışık tam sayılar arasında tam sayı yoktur)
- 5 ile 9 arası: 7 (veya 6, 8)
- -18 ile -16 arası: -17
-
\mathbb{Q} Kümesi (Rasyonel Sayılar):
- 0 ile 1 arası: \frac{1}{8} (Örnekte verilmiştir)
- -3 ile 2 arası: 0 (veya -\frac{1}{2}, 1 vb.)
- -1 ile 0 arası: -\frac{1}{2}
- \frac{1}{3} ile \frac{1}{2} arası: \frac{5}{12} (Çünkü \frac{1}{3} = \frac{4}{12} ve \frac{1}{2} = \frac{6}{12}'dir)
- -2 ile -\frac{3}{2} arası: -\frac{7}{4} (Çünkü -2 = -\frac{8}{4} ve -\frac{3}{2} = -\frac{6}{4}'tür)
- \frac{5}{7} ile \frac{6}{7} arası: \frac{11}{14} (Çünkü \frac{5}{7} = \frac{10}{14} ve \frac{6}{7} = \frac{12}{14}'tür)
-
\mathbb{R} Kümesi (Gerçek Sayılar):
- 2 ile 3 arası: \frac{5}{2} (Örnekte verilmiştir)
- \frac{1}{2} ile \frac{3}{4} arası: \frac{5}{8} veya 0,6 (Çünkü \frac{1}{2} = 0,50 ve \frac{3}{4} = 0,75’tir)
- \sqrt{3} ile 2 arası: 1,8 (Çünkü \sqrt{3} \approx 1,732 olduğundan 1,732 < 1,8 < 2’dir)
- -\sqrt{5} ile 0 arası: -1 (Çünkü -\sqrt{5} \approx -2,236’dır)
- 3,002 ile 3,02 arası: 3,01 (Çünkü 3,002 < 3,010 < 3,020’dir)
- \sqrt{2} ile 1,5 arası: 1,45 (Çünkü \sqrt{2} \approx 1,414 ve 1,414 < 1,45 < 1,5’tir)
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Tablodan elde edilen verilerden hareketle şu genellemeler yapılabilir:
- Doğal Sayılar (\mathbb{N}) ve Tam Sayılar (\mathbb{Z}): Ardışık iki eleman arasında (örneğin 45 ile 46 veya 3 ile 4) bu kümeye ait başka bir eleman yer almaz. Bu yüzden \mathbb{N} ve \mathbb{Z} kümeleri arada olma özelliğine sahip değildir (kesikli/ayrık bir yapı gösterirler).
- Rasyonel Sayılar (\mathbb{Q}) ve Gerçek Sayılar (\mathbb{R}): Birbirinden farklı herhangi iki eleman ne kadar birbirine yakın seçilirse seçilsin (örneğin \frac{5}{7} ile \frac{6}{7} veya 3,002 ile 3,02), aralarında yine aynı kümeye ait sonsuz sayıda eleman bulunur. Bu nedenle \mathbb{Q} ve \mathbb{R} kümeleri yoğun kümelerdir ve arada olma özelliğini sağlar.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Varsayımlar ile tablodan elde edilen genellemeler karşılaştırıldığında oluşturulabilecek önermeler şunlardır:
- Önerme 1: Doğal sayılar (\mathbb{N}) ve tam sayılar (\mathbb{Z}) kümeleri arada olma özelliğine sahip değildir. Ardışık iki eleman arasında aynı kümeye ait başka bir sayı bulunmaz.
- Önerme 2: Rasyonel sayılar (\mathbb{Q}) ve gerçek sayılar (\mathbb{R}) kümeleri arada olma özelliğine sahiptir. Birbirinden farklı her a, b \in \mathbb{Q} (a < b) için a < c < b şartını sağlayan en az bir c \in \mathbb{Q} vardır. Benzer biçimde her a, b \in \mathbb{R} (a < b) için a < d < b şartını sağlayan en az bir d \in \mathbb{R} mevcuttur.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 61 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 63 →