Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Doğal sayılar ( \mathbb{N} ), tam sayılar ( \mathbb{Z} ), rasyonel sayılar ( \mathbb{Q} ) ve gerçek sayılar ( \mathbb{R} ) kümelerinde sıralama ile ilgili temel özellikler şunlardır:
- Yansıma Özelliği: Her a elemanı için a \le a dır.
- Karşılaştırılabilirlik (Tamlık) Özelliği: Herhangi iki eleman için a \le b veya b \le a dır.
- Ters Simetri Özelliği: a \le b ve b \le a ise a = b dir.
- Geçişme Özelliği: a \le b ve b \le c ise a \le c dir.
- Toplama İşlemine Göre Sıralama Korunumu: a \le b ise her c için a + c \le b + c dir.
- Pozitif Sayı ile Çarpmada Sıralama Korunumu: a \le b ve c \ge 0 ise a \cdot c \le b \cdot c dir.
- Negatif Sayı ile Çarpmada Yön Değiştirme: a \le b ve c \le 0 ise a \cdot c \ge b \cdot c dir.
- Çarpmaya Göre Ters Alma: Aynı işaretli iki sayı için 0 < a < b veya a < b < 0 ise \frac{1}{a} > \frac{1}{b} dir.
- Pozitif Üs Alınca Sıralama Korunumu: 0 < a < b ve n \in \mathbb{Z}^+ ise a^n < b^n dir.
Bu özelliklerin tümü gerçek sayılar kümesi ( \mathbb{R} ) ve alt kümeleri olan \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} üzerinde geçerlidir (yalnızca \mathbb{N} kümesinde negatif sayılar bulunmadığından negatif çarpan içeren özelliklerde çarpan en az 0 olarak seçilebilir).
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
Tabloda verilen sıralama özelliklerinin doğruluğu her sayı kümesinden seçilen uygun a, b, c sayıları ile aşağıdaki gibi gösterilebilir:
| Sıralama Özelliği | \mathbb{N} (Doğal Sayılar) | \mathbb{Z} (Tam Sayılar) | \mathbb{Q} (Rasyonel Sayılar) | \mathbb{R} (Gerçek Sayılar) |
|---|---|---|---|---|
| a \le a | 3 \le 3 | -2 \le -2 | \frac{2}{5} \le \frac{2}{5} | \sqrt{5} \le \sqrt{5} |
| a \le b veya b \le a | 2 \le 5 | -3 \le 1 | \frac{1}{3} \le \frac{1}{2} | \sqrt{2} \le \sqrt{3} |
| a \le b ve b \le a \Rightarrow a = b | 4 \le 4 \Rightarrow 4 = 4 | -5 \le -5 \Rightarrow -5 = -5 | \frac{3}{4} \le \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{3}{4} | \pi \le \pi \Rightarrow \pi = \pi |
| a \le b ve b \le c \Rightarrow a \le c | 1 \le 3 ve 3 \le 7 \Rightarrow 1 \le 7 | -4 \le -1 ve -1 \le 2 \Rightarrow -4 \le 2 | \frac{1}{5} \le \frac{2}{5} ve \frac{2}{5} \le \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{1}{5} \le \frac{4}{5} | \sqrt{2} \le \sqrt{5} ve \sqrt{5} \le 3 \Rightarrow \sqrt{2} \le 3 |
| a \le b \Rightarrow a + c \le b + c | 2 \le 5 \Rightarrow 2+3 \le 5+3 ( 5 \le 8 ) | -3 \le 1 \Rightarrow -3+(-2) \le 1+(-2) ( -5 \le -1 ) | \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \le \frac{3}{4}+\frac{1}{2} ( \frac{3}{4} \le \frac{5}{4} ) | \sqrt{3} \le \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{3}+1 \le \sqrt{7}+1 |
| a \le b ve 0 \le c \Rightarrow a \cdot c \le b \cdot c | 3 \le 6 ve 0 \le 2 \Rightarrow 3 \cdot 2 \le 6 \cdot 2 ( 6 \le 12 ) | -4 \le 2 ve 0 \le 3 \Rightarrow (-4) \cdot 3 \le 2 \cdot 3 ( -12 \le 6 ) | \frac{1}{3} \le \frac{2}{3} ve 0 \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \le \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} ( \frac{1}{6} \le \frac{1}{3} ) | \sqrt{2} \le 2 ve 0 \le \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \le 2 \cdot \sqrt{3} ( \sqrt{6} \le 2\sqrt{3} ) |
| a \le b ve 0 \ge c \Rightarrow a \cdot c \ge b \cdot c | 2 \le 5 ve 0 \ge 0 \Rightarrow 2 \cdot 0 \ge 5 \cdot 0 ( 0 \ge 0 ) | -2 \le 3 ve 0 \ge -2 \Rightarrow (-2) \cdot (-2) \ge 3 \cdot (-2) ( 4 \ge -6 ) | \frac{1}{2} \le \frac{3}{2} ve 0 \ge -\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \ge \frac{3}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) ( -\frac{1}{6} \ge -\frac{1}{2} ) | \sqrt{2} \le \sqrt{5} ve 0 \ge -\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) \ge \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{2}) ( -2 \ge -\sqrt{10} ) |
| 0 < a < b veya a < b < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b} | 0 < 2 < 5 \Rightarrow \frac{1}{2} > \frac{1}{5} | -5 < -2 < 0 \Rightarrow \frac{1}{-5} > \frac{1}{-2} ( -\frac{1}{5} > -\frac{1}{2} ) | 0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{1/4} > \frac{1}{1/2} ( 4 > 2 ) | 0 < \sqrt{2} < \sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{3}} |
| 0 < a < b \Rightarrow a^n < b^n ( n \in \mathbb{Z}^+ ) | 0 < 2 < 3 ve n=4 \Rightarrow 2^4 < 3^4 ( 16 < 81 ) | 0 < 3 < 5 ve n=2 \Rightarrow 3^2 < 5^2 ( 9 < 25 ) | 0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} ve n=3 \Rightarrow (\frac{1}{3})^3 < (\frac{1}{2})^3 ( \frac{1}{27} < \frac{1}{8} ) | 0 < \sqrt{2} < \sqrt{5} ve n=2 \Rightarrow (\sqrt{2})^2 < (\sqrt{5})^2 ( 2 < 5 ) |
Verilen örneklerle her bir sayı kümesinde sıralama kurallarının sağlandığı kontrol edilerek gösterilmiştir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 58 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 60 →