Soru 1
Kısa cevap
Tablonun çarpma işlemlerini içeren ilk kısmının sonuçları:
- (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) = 4
- (2\sqrt{2} + 1) \cdot (2\sqrt{2} - 1) = 7
- (3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = 33
Örnek cevap / çözüm yolu
İki kare farkı özdeşliği (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 kullanılarak işlemler tamamlanır:
- (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4
- (2\sqrt{2} + 1) \cdot (2\sqrt{2} - 1) = (2\sqrt{2})^2 - 1^2 = (4 \cdot 2) - 1 = 8 - 1 = 7
- (3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = (3\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (9 \cdot 5) - (4 \cdot 3) = 45 - 12 = 33
Soru 2
Kısa cevap
Tablonun rasyonel yapma işlemlerini içeren ikinci kısmının sonuçları:
- \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}
- \frac{2}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = 2\sqrt{2} - 2
- \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}
- \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}
Örnek cevap / çözüm yolu
Kesirlerin payı ve paydası paydanın eşleniği ile genişletilir:
- \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}
- \frac{2 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2 - 1} = 2\sqrt{2} - 2
- \frac{1 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}
- \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Paydasında iki terimli köklü ifade (\sqrt{x} - \sqrt{y}) veya (\sqrt{x} + \sqrt{y}) bulunan kesirlerde, kesir paydanın eşleniği olan ifade ile genişletilir. İki kare farkı özdeşliği (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 sayesinde köklü terimlerin kareleri alınarak paydadaki karekökler ortadan kaldırılır ve payda rasyonel sayı haline getirilir.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Paydası köklü gösterimlerden oluşan sayıların paydasını rasyonel yapma işlemine dair önermeler:
- Önerme 1: a, b \in \mathbb{R}^+ ve a \neq b olmak üzere \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} ifadesi (\sqrt{a}+\sqrt{b}) ile genişletildiğinde değeri değişmez ve paydası a-b rasyonel sayısı olan \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} ifadesine eşit olur.
- Önerme 2: a, b \in \mathbb{R}^+ ve a \neq b olmak üzere \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} ifadesi (\sqrt{a}-\sqrt{b}) ile genişletildiğinde değeri değişmez ve paydası a-b rasyonel sayısı olan \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} ifadesine eşit olur.
Soru 5
Kısa cevap
İkinci cismin yere düştüğü ana kadar toplam \frac{3\sqrt{5}}{7} saniye geçmiştir.
Örnek cevap / çözüm yolu
-
İlk cismin düşme süresi (t_1):
t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}5}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{1}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{10}{98}} = \sqrt{\frac{5}{49}} = \frac{\sqrt{5}}{7} \text{ sn.} -
İkinci cismin düşme süresi (t_2):
t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{4}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{40}{98}} = \sqrt{\frac{20}{49}} = \frac{2\sqrt{5}}{7} \text{ sn.} -
Toplam geçen süre (t_{\text{toplam}}):
t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{5}}{7} + \frac{2\sqrt{5}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7} \text{ sn.}
Paydanın kök dışına çıkarılması, irrasyonel ifadelerde toplama işleminin ve payda eşitlemenin kolayca yapılmasını sağlamıştır.
Soru 6
Örnek cevap / çözüm yolu
Önermelerin matematiksel doğrulaması iki kare farkı özdeşliğine dayanır. a, b \in \mathbb{R}^+ için (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b elde edilir. Karekökün karesi alındığında karekök sembolü kalktığından sonuç kesinlikle bir rasyonel sayıdır. Kesrin pay ve paydasının aynı ifadeyle çarpılması değerini değiştirmediğinden (kesirlerin genişletilme özelliği), işlem matematiksel olarak doğrudur. Bu yöntem paydadaki karmaşık irrasyonel sayıları sadeleştirerek aritmetik işlemleri ve karşılaştırmaları son derece pratik ve kullanışlı hale getirir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 32 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 34 →