Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
- Toplama ve Çıkarma: Dereceleri ve kök içleri aynı olan köklü ifadelerde katsayılar toplanır veya çıkarılır.
- Çarpma: Dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılırken kök içindeki sayılar çarpılır ve ortak derece altında yazılır: \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}.
- Bölme: Dereceleri aynı olan köklü ifadeler bölünürken kök içindeki sayılar birbirine bölünür ve ortak derece altında yazılır: \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}.
- İç İçe Kökler: Kök dereceleri çarpılarak tek bir kök altında birleştirilebilir: \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Tablo 2 için elde edilen önermeler:
- a \sqrt[n]{x^m} + b \sqrt[n]{x^m} = (a+b) \cdot \sqrt[n]{x^m} olur.
- a \sqrt[n]{x^m} - b \sqrt[n]{x^m} = (a-b) \cdot \sqrt[n]{x^m} olur.
- a \sqrt[n]{x^m} + b \sqrt[n]{x^m} - c \sqrt[n]{x^m} = (a+b-c) \cdot \sqrt[n]{x^m} olur.
- \sqrt[n]{x^m} \cdot \sqrt[n]{y^m} = \sqrt[n]{(x \cdot y)^m} olur.
- \frac{\sqrt[n]{x^m}}{\sqrt[n]{y^m}} = \sqrt[n]{\left(\frac{x}{y}\right)^m} olur.
- \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x} olur.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
-
Salonun Kenar Uzunluğu ve Alanının Bulunması:
- Mutfak kare şeklinde ve alanı 20\text{ m}^2 olduğundan kenar uzunluğu: \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ m}.
- Kiler kare şeklinde ve alanı 5\text{ m}^2 olduğundan kenar uzunluğu: \sqrt{5}\text{ m}.
- Salonun bir kenar uzunluğu mutfak ve kilerin kenar uzunlukları toplamına eşit olduğundan:
2\sqrt{5} + \sqrt{5} = (2+1)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\text{ m}. - Salon kare şeklinde olduğundan alanı: (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\text{ m}^2.
-
Toplam Parke Alanı ve Ücret Hesaplaması:
- Toplam kaplanacak alan: 20 + 5 + 45 = 70\text{ m}^2.
- Metrekaresi 975\text{ TL} olduğundan toplam ahşap parke fiyatı:
70 \cdot 975 = 68.250\text{ TL}.
-
Sağladığı Kolaylıklar:
- Köklü ifadelerle toplama kuralı (2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}), salonun kenar uzunluğunu tam olarak belirlemeyi sağladı.
- Bu önermeler; irrasyonel kenar uzunluklarına sahip mimari, mühendislik ve geometrik alan-çevre hesaplama problemlerinde kolaylık sağlar.
Kısa cevap
68.250\text{ TL}
Soru 6
Örnek cevap / çözüm yolu
Matematiksel Doğrulama (Üslü İfade Kuralları İle):
- Toplama/Çıkarma: a \sqrt[n]{x^m} \pm b \sqrt[n]{x^m} = a \cdot x^{\frac{m}{n}} \pm b \cdot x^{\frac{m}{n}} = (a \pm b) \cdot x^{\frac{m}{n}} = (a \pm b)\sqrt[n]{x^m}.
- Çarpma: \sqrt[n]{x^m} \cdot \sqrt[n]{y^m} = x^{\frac{m}{n}} \cdot y^{\frac{m}{n}} = (x \cdot y)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(x \cdot y)^m}.
- Bölme: \frac{\sqrt[n]{x^m}}{\sqrt[n]{y^m}} = \frac{x^{\frac{m}{n}}}{y^{\frac{m}{n}}} = \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\left(\frac{x}{y}\right)^m}.
- İç İçe Kök: \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{x}.
Değerlendirme: Köklü gösterimleri üslü biçimde yazarak üslü sayı özelliklerini uygulamak, genel geçer ve oldukça kullanışlı bir doğrulama yöntemidir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 26 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 28 →