Soru 1
Erkan’ın Şekil 1’de verilen 3, 5, 6, 8 ve 12 cm uzunluğundaki 5 kaleminden herhangi üçünü kullanarak kaç farklı üçgen oluşturabileceğini bulunuz.
Çözüm adımları
- Verilen kenar uzunlukları kümesi: \{3, 5, 6, 8, 12\} cm.
- 5 kalem arasından 3 tanesi \binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilebilir.
- Küçükten büyüğe sıralı (a, b, c) üçlülerinin üçgen oluşturması için a + b > c eşitsizliği sağlanmalıdır:
- (3, 5, 6) \rightarrow 3 + 5 = 8 > 6 (Üçgen oluşturur)
- (3, 5, 8) \rightarrow 3 + 5 = 8 \ngtr 8 (Oluşturmaz)
- (3, 5, 12) \rightarrow 3 + 5 = 8 \ngtr 12 (Oluşturmaz)
- (3, 6, 8) \rightarrow 3 + 6 = 9 > 8 (Üçgen oluşturur)
- (3, 6, 12) \rightarrow 3 + 6 = 9 \ngtr 12 (Oluşturmaz)
- (3, 8, 12) \rightarrow 3 + 8 = 11 \ngtr 12 (Oluşturmaz)
- (5, 6, 8) \rightarrow 5 + 6 = 11 > 8 (Üçgen oluşturur)
- (5, 6, 12) \rightarrow 5 + 6 = 11 \ngtr 12 (Oluşturmaz)
- (5, 8, 12) \rightarrow 5 + 8 = 13 > 12 (Üçgen oluşturur)
- (6, 8, 12) \rightarrow 6 + 8 = 14 > 12 (Üçgen oluşturur)
Kısa cevap
Üçgen eşitsizliğini sağlayan 5 farklı üçlü bulunmaktadır. Erkan 5 farklı üçgen oluşturabilir.
Soru 2
Erkan, kahverengi (5 cm) ve mavi (6 cm) kalemleri Şekil 2’deki gibi \alpha > 90^\circ olacak biçimde yerleştirmiştir. Erkan’ın Şekil 2’deki üçgeni tamamlayabilmesi için Şekil 1’deki kalemlerden kaç tanesini kullanabileceğini bulunuz.
Çözüm adımları
- Bilinen kenarlar a = 5\text{ cm} ve b = 6\text{ cm}, bilinmeyen üçüncü kenar x olsun.
- Üçgen eşitsizliğine göre: |6 - 5| < x < 6 + 5 \implies 1 < x < 11.
- Açı geniş açı (\alpha > 90^\circ) olduğu için Pisagor bağıntısı genellemesinden:x^2 > 5^2 + 6^2 \implies x^2 > 25 + 36 \implies x^2 > 61 \implies x > \sqrt{61} \approx 7,81
- Üçüncü kenar 7,81 < x < 11 aralığında olmalıdır.
- Şekil 1’deki kalem uzunluklarından (\{3, 5, 6, 8, 12\}) bu eşitsizliği sağlayan tek değer 8 cm’dir.
Kısa cevap
Şartları sağlayan tek kalem 8 cm uzunluğunda olduğu için Erkan 1 tane kalem kullanabilir.
Soru 3
Toplama kafesi suyun içine girerken A ve B noktaları arasındaki çelik halatın uzunluğu azalır mı, artar mı? Yorumlayınız.
Örnek cevap / çözüm yolu
Kafes (B noktası) suya doğru alçaldıkça C noktasındaki ACB açısı büyür. Bir üçgende iki kenar uzunluğu sabitken (|AC| = 12\text{ m} ve |CB| = 20\text{ m}) bu kenarlar arasındaki açı büyüdükçe karşıdaki kenarın (|AB| halat uzunluğu) uzunluğu artar.
Kısa cevap
Toplama kafesi suyun içine girerken A ve B noktaları arasındaki halatın uzunluğu artar.
Soru 4
A ve B noktaları arasında halatın uzunluğunun m cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.
Çözüm adımları
- ABC üçgeninde verilen kenar uzunlukları |AC| = 12\text{ m} ve |CB| = 20\text{ m}'dir.
- |AB| uzunluğu için üçgen eşitsizliği kurulur:|20 - 12| < |AB| < 20 + 128 < |AB| < 32
- |AB| uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri 32’den küçük olan 31’dir.
Kısa cevap
Halatın uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri 31 m’dir.
Soru 5
ACB açısının ölçüsü BAC açısının ölçüsünden büyük değerler almaya başladığında kafesin A noktasına uzaklığı (halat uzunluğu) nasıl değişir? Yorumlayınız.
Örnek cevap / çözüm yolu
- Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
- m(\widehat{ACB}) > m(\widehat{BAC}) durumunda, bu açıların karşılarındaki kenarlar arasında da |AB| > |BC| bağıntısı oluşur.
- |BC| = 20\text{ m} sabit olduğundan, m(\widehat{ACB}) > m(\widehat{BAC}) şartı gerçekleştiğinde halat uzunluğu olan |AB| değeri 20 metreden daha büyük değerler almaya başlar.
Kısa cevap
ACB açısının ölçüsü BAC açısının ölçüsünden büyük olduğunda halatın uzunluğu (|AB|) 20 metrenin üzerine çıkar (artar).
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 196 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 198 →