Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Tabanları aynı olan üslü ifadelerde çarpma işlemi yaparken, aynı tabandaki üslerin toplanacağı; bölme işleminde ise payın üssünden paydanın üssünün çıkarılacağı varsayılabilir.
Çözüm ve Kontrol:
x^a \cdot x^b işleminde x sayısı sırasıyla a tane ve b tane kendisiyle çarpıldığı için toplamda a+b tane x’in çarpımı elde edilir. \frac{x^a}{x^b} işleminde ise paydaki a tane x’ten paydadaki b tane x sadeleştiğinde geriye a-b tane x kalır.
Soru 2
Kısa cevap
Tablodaki boşlukların tamamlanmış hâli aşağıda verilmiştir:
Çarpma İşlemleri:
-
(-6)^2 \cdot (-6)^3 \cdot (-6)
- İşlemin Açık Hâli: (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6)
- Sonucun Üslü Gösterimi: (-6)^6
-
(\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{1}{5})^5
- İşlemin Açık Hâli: (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5})
- Sonucun Üslü Gösterimi: (\frac{1}{5})^7
-
5^{-4} \cdot 5^7
- İşlemin Açık Hâli: \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5
- Sonucun Üslü Gösterimi: 5^3
-
(\frac{2}{3})^{-1} \cdot (\frac{2}{3})^5
- İşlemin Açık Hâli: \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}
- Sonucun Üslü Gösterimi: (\frac{2}{3})^4
-
x^a \cdot x^b
- İşlemin Açık Hâli: (x \cdot x \dots x) \cdot (x \cdot x \dots x) (a tane ve b tane)
- Sonucun Üslü Gösterimi: x^{a+b}
Bölme İşlemleri:
-
\frac{11^6}{11^2}
- İşlemin Açık Hâli: \frac{11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11}{11 \cdot 11}
- Sonucun Üslü Gösterimi: 11^4
-
\frac{(-3)^7}{(-3)^4}
- İşlemin Açık Hâli: $\frac{(-3) \cdot (-3)
\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)}$ - Sonucun Üslü Gösterimi: (-3)^3
- İşlemin Açık Hâli: $\frac{(-3) \cdot (-3)
-
\frac{6^3}{6^{-2}}
- İşlemin Açık Hâli: \frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{\frac{1}{6 \cdot 6}} = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6
- Sonucun Üslü Gösterimi: 6^5
-
\frac{x^a}{x^b}
- İşlemin Açık Hâli: \frac{x \cdot x \dots x}{x \cdot x \dots x} (a tane payda, b tane paydada)
- Sonucun Üslü Gösterimi: x^{a-b}
Çözüm ve Kontrol:
Çarpma işlemlerinde aynı tabandaki üslerin toplandığı, bölme işlemlerinde ise payın üssünden paydanın üssünün çıkarıldığı görülür.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Çarpma İşlemi Genellemesi:
Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban aynen yazılır, üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yazılır:
x^a \cdot x^b = x^{a+b}
Bölme İşlemi Genellemesi:
Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban aynen yazılır, payın üssünden paydanın üssü çıkarılarak ortak tabana üs olarak yazılır:
\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} (x \neq 0)
Çözüm ve Kontrol:
Tablodaki tüm sayısal örnekler (2^3 \cdot 2^4 = 2^7, 5^{-4} \cdot 5^7 = 5^3, \frac{11^6}{11^2} = 11^4, \frac{6^3}{6^{-2}} = 6^5) elde edilen bu genel kuralları doğrulamaktadır.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Varsayım ve Genellemelerin Karşılaştırılması:
Soru 1’deki başlangıç varsayımları ile Soru 3’te tablo verilerinden elde edilen genellemeler tamamen örtüşmektedir.
Oluşturulan Önermeler:
- Çarpma Kuralı: x \neq 0 ve a, b \in \mathbb{Z} olmak üzere, tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır (x^a \cdot x^b = x^{a+b}).
- Bölme Kuralı: x \neq 0 ve a, b \in \mathbb{Z} olmak üzere, tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır (\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}).
Çözüm ve Kontrol:
Başlangıçtaki mantıksal varsayımlar, somut tablo örnekleriyle test edilmiş ve matematiksel kesinliği olan genellemelere dönüştürülmüştür.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 16 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 18 →