Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri:
- Tanım Kümesi (D_f): Tank boşken zaman t = 0 dakikadır. Yüksekliği 200\text{ cm} olan tank, dakikada 1\text{ cm} dolduğundan tamamının dolması 200 dakika sürer. Dolayısıyla zamana bağlı tanım kümesi D_f = [0, 200] aralığıdır.
- Görüntü Kümesi (E_f): Suyun yüksekliği 0\text{ cm} ile 200\text{ cm} arasında değerler alır. Dolayısıyla görüntü kümesi E_f = [0, 200] aralığıdır.
b) Cebirsel Temsil:
- Zaman t (dakika) olmak üzere, her 1 dakikada su yüksekliği 1\text{ cm} artmaktadır.
- Tanktaki su yüksekliğini veren fonksiyon cebirsel olarak f(t) = t (0 \le t \le 200) biçiminde ifade edilir.
c) Grafik Temsili:
- Eksenler: Yatay eksen zaman t (dk.), düşey eksen su yüksekliği y (cm).
- Başlangıç noktası (0, 0) ve bitiş noktası (200, 200) olan doğru parçası çizilir.
ç) Bire Birlik İncelemesi:
- D_f = [0, 200] aralığındaki her farklı t_1, t_2 değeri için t_1 \neq t_2 \implies f(t_1) \neq f(t_2) olur. Grafik üzerinde yatay doğru testi uygulandığında doğrular grafiği tek noktada keser. Bu nedenle fonksiyon tanımlı olduğu aralıkta bire birdir.
d) Sıfırı ve İşareti:
- Fonksiyonun Sıfırı: f(t) = 0 \implies t = 0 değeridir.
- İşareti: t = 0 için f(0) = 0 olup nötrdür. t \in (0, 200] aralığındaki tüm değerler için f(t) > 0 yani pozitiftir.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
a) Tanım-Görüntü Kümeleri ve Cebirsel Temsil:
- Çevre Formülü: Dikdörtgenin kenarları 4\text{ cm} ve x\text{ cm} olduğundan çevre Ç = 2 \cdot (4 + x) = 2x + 8 olur.
- Cebirsel Temsil: f(x) = 2x + 8
- Tanım Kümesi (D_f): Soruda x \ge 1 verildiğinden D_f = [1, \infty) aralığıdır.
- Görüntü Kümesi (E_f): x = 1 için f(1) = 2(1) + 8 = 10 bulunur. x \ge 1 için f(x) \ge 10 olduğundan görüntü kümesi E_f = [10, \infty) aralığıdır.
b) Grafik Temsili:
- Yatay eksen x (kenar uzunluğu), düşey eksen y (çevre uzunluğu) olarak alınır.
- Grafik, (1, 10) noktasından başlayan ve eğimi 2 olan bir ışındır (x \ge 1).
c) İşaret İncelemesi:
- x \ge 1 için f(x) = 2x + 8 \ge 10 > 0 olduğu için fonksiyon tanımlı olduğu tüm aralıkta pozitiftir.
ç) Artan / Azalan Olduğu Aralıklar:
- Her x_1 < x_2 için 2x_1 + 8 < 2x_2 + 8 \implies f(x_1) < f(x_2) olduğundan fonksiyon [1, \infty) aralığında kesin artandır.
d) Bire Birlik İncelemesi:
- Tanım kümesindeki her farklı x_1 \neq x_2 için f(x_1) \neq f(x_2) şartı sağlandığından fonksiyon tanımlı olduğu aralıkta bire birdir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 160 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 162 →