9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 1. Kitap Sayfa 157 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)

Dersnotu · Ağustos 5, 2026, 11:06öö

Soru 1

f) Oluşturduğunuz genellemeyi sözel, cebirsel ve grafiksel olarak değerlendiriniz.

Sözel Değerlendirme: Mutlak değerli bir ifadenin başka bir fonksiyona eşitliği veya eşitsizliği incelenirken, mutlak değer tanımı gereği içerideki ifadenin işaretine göre parçalı durumlar ele alınır. Uzunluk ve mesafe kavramları daima pozitif olduğundan mutlak değer sıfırdan küçük olamaz.
Cebirsel Değerlendirme: |f(x)| = g(x) eşitliğinde g(x) \ge 0 şartı altında f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x) durumları incelenir. Eşitsizliklerde ise g(x) ifadesinin durumuna göre aralık analizi yapılır.
Grafiksel Değerlendirme: y = |f(x)| fonksiyonunun grafiği, y = f(x) grafiğinin x ekseninin altında kalan kısmının x eksenine göre simetriği alınarak çizilir. y = |f(x)| ile y = g(x) grafiklerinin kesişim noktaları denklem çözümünü; bir grafiğin diğeri üstünde kaldığı aralıklar ise eşitsizlik çözümünü verir.

2. Problem: g(x) < h(x) eşitsizliğini sağlayan gerçek sayı değerleri kaçtır? (1. problem için verilen adımları 2. problem için uygulayınız.)

Fonksiyonları Tanımlama ve Grafik Çizimi: y = g(x) ve y = h(x) fonksiyonlarının grafikleri aynı analitik düzlemde çizilir.
Grafiksel İnceleme: g(x) grafiğinin, h(x) grafiğinin altında kaldığı x değer aralığı grafik üzerinden görsel olarak tespit edilir.
Cebirsel Çözüm: g(x) - h(x) < 0 eşitsizliği cebirsel olarak çözülerek kökler ve işaret tablosu yardımıyla çözüm aralığı belirlenir.
Doğrulama ve Sonuç: Cebirsel çözüm kümesi ile grafiksel çözümün örtüştüğü kontrol edilerek çözüm kümesi \mathbb{R} üzerindeki uygun aralık biçiminde ifade edilir.

x = 4 olup karenin bir kenar uzunluğu 11\text{ cm}'dir.

13. ÖRNEK - a) Karenin bir kenar uzunluğunu mutlak değerli denklemler yardımıyla belirleyiniz.

Karenin alanı A = (4x^2 + 12x + 9)\text{ cm}^2 = (2x + 3)^2\text{ cm}^2 şeklinde tam kare ifadeye dönüştürülür.
Bir kenar uzunluğu alanın karekökü olduğundan \sqrt{(2x + 3)^2} = |2x + 3|\text{ cm} olur.
Karenin verilen kenar uzunluğu (3x - 1)\text{ cm} olduğuna göre |2x + 3| = 3x - 1 denklemi kurulur.
x > \frac{1}{3} verildiğinden 2x + 3 > 0 olur ve mutlak değer dışına 2x + 3 olarak çıkar:
2x + 3 = 3x - 1

3 + 1 = 3x - 2x

x = 4
x = 4 > \frac{1}{3} şartını sağlar. Kenar uzunluğu 3(4) - 1 = 11\text{ cm} bulunur.

13. ÖRNEK - b) Bulduğunuz sonucu grafik temsilleriyle doğrulayınız.

f(x) = |2x + 3| mutlak değer fonksiyonu ile g(x) = 3x - 1 doğrusal fonksiyonunun grafikleri aynı koordinat sisteminde çizilir.
f(x) = |2x + 3| fonksiyonunun köşe (kırılma) noktası \left(-\frac{3}{2}, 0\right)'dır.
g(x) = 3x - 1 doğrusu x eksenini \left(\frac{1}{3}, 0\right) ve y eksenini (0, -1) noktasında keser.
Bu iki grafiğin kesiştiği nokta f(x) = g(x) denkleminin çözümü olan (4, 11) noktasıdır. Grafik üzerindeki kesişim noktası cebirsel olarak bulunan x = 4 ve kenar uzunluğu olan 11 değerini doğrular.

13. ÖRNEK - c) Problemin farklı çözüm yöntemlerini ilişkilendirerek elde ettiğiniz çıkarımları değerlendiriniz.

Geometrik ve Cebirsel İlişki: Geometride uzunluk ve alan daima pozitif gerçek sayılarla ifade edilir. Çarpanlara ayırma sonucu ulaşılan karekök ifadesinin cebirsel karşılığı mutlak değerdir (\sqrt{a^2} = |a|). Bu durum geometrik uzunluk tanımı ile tam uyum gösterir.
Grafiksel ve Cebirsel İlişki: Mutlak değerli denklemlerin cebirsel çözümü ile fonksiyon grafiklerinin kesişim noktaları bire bir eşleşmektedir.
Çıkarım: Cebirsel modelleme, geometrik özellikler ve grafik temsilleri aynı matematiksel gerçeği farklı yollarla doğrulamaktadır. x > \frac{1}{3} tanım kümesi kısıtlaması, kenar uzunluğunun pozitif kalmasını garanti etmektedir.