Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
g(x) = 3x - 5 ve h(x) = |g(x) - 4| kuralları birleştirildiğinde h(x) = |(3x - 5) - 4| = |3x - 9| cebirsel temsili elde edilir. Buna göre 1. problem cebirsel olarak 3x - 5 = |3x - 9| denklemi ile ifade edilir.
Problem bağlamındaki anlamı: g(x) = 3x - 5 doğrusal fonksiyonunun değerinin, g(x) değerinden 4 birim çıkarılarak elde edilen ifadenin mutlak değerine eşit olduğu x gerçek sayı değerini (girdi değerini) bulmaktır.
Soru 2
Kısa cevap
x = \frac{7}{3}
Örnek cevap / çözüm yolu
Eşitliğin sağlanması için 3x - 5 \ge 0 \implies x \ge \frac{5}{3} olmalıdır.
Mutlak değer tanımına göre iki durum incelenir:
-
3x - 9 \ge 0 \implies x \ge 3 için:
3x - 5 = 3x - 9 \implies -5 = -9 elde edilir. Bu durumda çözüm yoktur. -
3x - 9 < 0 \implies x < 3 için:
3x - 5 = -(3x - 9)
3x - 5 = -3x + 9
6x = 14 \implies x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
Bulunan x = \frac{7}{3} değeri x \ge \frac{5}{3} ve x < 3 koşullarını sağladığından problemin cebirsel çözümü x = \frac{7}{3}'tür.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
- problem grafiksel olarak aynı dik koordinat düzleminde y = g(x) = 3x - 5 doğrusu ile y = h(x) = |3x - 9| mutlak değer fonksiyonunun grafiklerinin çizilmesiyle ifade edilir.
Problem bağlamındaki anlamı: y = 3x - 5 doğrusu ile y = |3x - 9| kırılmalı grafiğinin kesiştikleri noktanın veya noktaların apsis (x) değerini belirlemektir.
Soru 4
Kısa cevap
x = \frac{7}{3}
Örnek cevap / çözüm yolu
y = 3x - 5 doğrusu (0, -5) ve \left(\frac{5}{3}, 0\right) noktalarından geçer.
y = |3x - 9| grafiği köşe noktası (3, 0) olan bir “V” şeklidir. x < 3 için bu grafik y = -3x + 9 doğrusunun parçasıdır.
y = 3x - 5 doğrusu ile y = -3x + 9 ışınının kesişim noktası:
3x - 5 = -3x + 9 \implies 6x = 14 \implies x = \frac{7}{3}
Kesişim noktası \left(\frac{7}{3}, 2\right) olduğundan grafik yöntemiyle problemin çözümü x = \frac{7}{3} bulunur.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
Hem cebirsel yöntem hem de grafiksel yöntem x = \frac{7}{3} değerini vermiştir.
Doğrulama:
g\left(\frac{7}{3}\right) = 3 \cdot \frac{7}{3} - 5 = 7 - 5 = 2
h\left(\frac{7}{3}\right) = \left|3 \cdot \frac{7}{3} - 9\right| = |7 - 9| = |-2| = 2
g\left(\frac{7}{3}\right) = h\left(\frac{7}{3}\right) = 2 eşitliği sağlandığı için her iki yöntemle bulunan çözüm doğrulanmıştır. Cebirsel yöntem sonucu doğrudan hesaplamayı sağlarken grafiksel yöntem kesişim noktasının görsel doğrulamasını sunar.
Soru 6
Örnek cevap / çözüm yolu
|f(x)| = g(x) biçimindeki denklem durumları için genelleme:
- Cebirsel Genelleme: Mutlak değerli ifadenin eşit olduğu g(x) fonksiyonunun negatif olmama şartı (g(x) \ge 0) belirlenir. Ardından f(x) = g(x) ve f(x) = -g(x) denklemleri ayrı ayrı çözülerek tanım aralığına uygun kökler bulunur.
- Grafiksel Genelleme: y = |f(x)| ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri aynı koordinat düzleminde çizilir. Grafiklerin kesişim noktalarının apsisleri denklemin köklerini oluşturur.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 155 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 157 →