Soru 1
Kısa cevap
f(x) \ge g(x) yani 1{,}4x + 4{,}2 \ge 0 eşitsizliği girilip f(x) < g(x) eşitsizliğinin görünürlüğü kapatıldığında, ekranda x \ge -3 yarı düzlemi taralı bölge olarak elde edilir.
Çözüm açıklaması
GeoGebra yazılımında f(x) = 1{,}4x + 4{,}2 ve g(x) = 0 iken f(x) \ge g(x) eşitsizliği 1{,}4x + 4{,}2 \ge 0 \Rightarrow 1{,}4x \ge -4{,}2 \Rightarrow x \ge -3 eşitsizliğine karşılık gelir. Grafikte x = -3 doğrusu ve bu doğrunun sağ tarafındaki bölge taranarak çözüm aralığı görselleştirilir.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
ax + b = 0 denkleminin kökü ile f(x) = ax + b fonksiyonunun sıfırı aynı değerdir (x = -\frac{b}{a}).
Çözüm açıklaması
Bir f(x) = ax + b fonksiyonunun sıfırı, f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değeridir. g(x) = 0 yazıldığında ax + b = g(x) \Rightarrow ax + b = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x = -\frac{b}{a} kökü bulunur. Dolayısıyla ax + b = 0 denkleminin kökü ile f fonksiyonunun sıfırı (grafiğin x eksenini kestiği noktanın apsisi) tamamen aynı sayıdır.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
a > 0 için işaret tablosunda x < -\frac{b}{a} aralığında f(x) eksi (-) işaretlidir. Görseldeki değerlerde x < -3 için f(x) < 0 olur.
İşaret Tablosu:
- x \in (-\infty, -\frac{b}{a}) için f(x) işareti: -
- x = -\frac{b}{a} için f(x) = 0
- x \in (-\frac{b}{a}, +\infty) için f(x) işareti: +
f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-\infty, -\frac{b}{a}) aralığıdır.
Çözüm açıklaması
Grafikte x ekseninin altında kalan noktaların ordinatları negatiftir. Görsel 2’de a = 1{,}4 > 0 olduğu için kök olan x = -3 değerinin solundaki tüm x değerleri için fonksiyon grafiği x ekseninin altındadır (f(x) < 0). Bu durum ax + b = 0 denkleminin kökünün sol tarafındaki bölgeye karşılık gelir.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
a > 0 için işaret tablosunda x \ge -\frac{b}{a} aralığında f(x) sıfır veya artı (+) değerler alır. Görsel 3’te x \ge -3 için f(x) \ge 0 eşitsizliği sağlanır.
İşaret Tablosu:
- x \in (-\infty, -\frac{b}{a}) için f(x) işareti: -
- x = -\frac{b}{a} için f(x) = 0
- x \in (-\frac{b}{a}, +\infty) için f(x) işareti: +
f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [-\frac{b}{a}, +\infty) yarı açık aralığıdır.
Çözüm açıklaması
Grafikte x ekseninin üzerinde veya üstünde kalan noktalar için f(x) \ge 0 olur. Görsel 3’te kök olan x = -3 noktası ve sağındaki bölge taranmıştır. Böylece ax + b = 0 denkleminin kökü ve bu kökten büyük değerler f(x) \ge 0 şartını sağlar.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
f(x) = 0 denklemi ile f(x) < 0 ve f(x) \ge 0 eşitsizliklerini çözmek için iki temel strateji kullanılır:
-
Cebirsel Strateji (İşaret Tablosu Yöntemi):
- f(x) = ax + b = 0 eşitliğinden kök x = -\frac{b}{a} bulunur.
- Birinci dereceden fonksiyonun işaret tablosu oluşturulur. Tabloda kökün sağına başkatsayı a’nın işareti, soluna ise a’nın zıt işareti yazılır.
- f(x) = 0 için çözüm kümesi ÇK = \{-\frac{b}{a}\} olarak belirlenir.
- a > 0 ise f(x) < 0 için çözüm aralığı (-\infty, -\frac{b}{a}), f(x) \ge 0 için çözüm aralığı [-\frac{b}{a}, +\infty) olur.
-
Grafiksel Strateji:
- y = f(x) doğrusunun x eksenini kestiği kök olan x = -\frac{b}{a} noktası belirlenir.
- Doğrunun x ekseninin altında kalan kısmı f(x) < 0 eşitsizliğinin, x eksenine değdiği veya üstünde kalan kısmı ise f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm aralığını verir.
Çözüm açıklaması
Her iki yöntem de doğrunun eğimi (a’nın işareti) ve x eksenini kestiği kök noktasına dayanır. Cebirsel yöntem tablo ile sistematik çözüm sağlarken grafiksel yöntem çözümü koordinat sisteminde bölge olarak gösterir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 137 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 139 →