Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
f(x) = ax + b (a \neq 0), g(x) = |ax + b| ve h(x) = -|ax + b| fonksiyonlarının nitel özellikleri aşağıdaki gibidir (a > 0 durumu esas alınmıştır):
-
En Geniş Tanım Kümesi:
- f(x): \mathbb{R}
- g(x): \mathbb{R}
- h(x): \mathbb{R}
-
Görüntü Kümesi:
- f(x): \mathbb{R}
- g(x): [0, \infty)
- h(x): (-\infty, 0]
-
Fonksiyonun Sıfırı (Kökü):
- f(x): x = -\frac{b}{a}
- g(x): x = -\frac{b}{a}
- h(x): x = -\frac{b}{a}
-
Fonksiyonun İşareti:
- f(x): x > -\frac{b}{a} için pozitif, x < -\frac{b}{a} için negatif (a > 0 için).
- g(x): Tüm x \in \mathbb{R} için g(x) \ge 0 (pozitif veya sıfır).
- h(x): Tüm x \in \mathbb{R} için h(x) \le 0 (negatif veya sıfır).
-
Maksimum Noktası:
- f(x): Yoktur.
- g(x): Yoktur.
- h(x): \left(-\frac{b}{a}, 0\right) mutlak maksimum noktasıdır.
-
Minimum Noktası:
- f(x): Yoktur.
- g(x): \left(-\frac{b}{a}, 0\right) mutlak minimum noktasıdır.
- h(x): Yoktur.
-
Bire Birliği:
- f(x): Bire birdir.
- g(x): Bire bir değildir.
- h(x): Bire bir değildir.
-
Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar (a > 0 için):
- f(x): Tüm \mathbb{R} kümesinde artandır.
- g(x): \left(-\infty, -\frac{b}{a}\right] aralığında azalan, \left[-\frac{b}{a}, \infty\right) aralığında artandır.
- h(x): \left(-\infty, -\frac{b}{a}\right] aralığında artan, \left[-\frac{b}{a}, \infty\right) aralığında azalandır.
Çözümün kontrolü: Mutlak değer tanımı gereği g(x) \ge 0 ve h(x) \le 0 olduğundan görüntü kümeleri ve ekstremum noktaları bu kurallarla tam uyumludur.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
Mutlak değer fonksiyonlarının parçalı gösterimine ilişkin çıkarım:
g(x) = |ax + b| ve h(x) = -|ax + b| fonksiyonlarında mutlak değerin içini sıfır yapan x = -\frac{b}{a} değeri kritik noktadır.
-
Mutlak değer içi pozitif veya sıfır olduğunda (ax + b \ge 0), mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar:
- g(x) = ax + b
- h(x) = -(ax + b)
-
Mutlak değer içi negatif olduğunda (ax + b < 0), mutlak değer dışına -1 ile çarpılarak çıkar:
- g(x) = -(ax + b)
- h(x) = ax + b
Sonuç olarak, mutlak değer fonksiyonları kritik nokta etrafında iki farklı doğrusal kurala sahip parçalı fonksiyonlar olarak tanımlanır.
Soru 3
Kısa cevap
g(x) = |x - 20| = \begin{cases} 20 - x, & 16 \le x < 20 \\ x - 20, & 20 \le x \le 24 \end{cases}
Çözüm ve kontrol açıklaması
Ölçülen sıcaklık x olmak üzere, sapma miktarı g(x) = |x - 20| bağıntısıyla verilir. En düşük sıcaklık 16\text{ }^\circ\text{C}, en yüksek sıcaklık 24\text{ }^\circ\text{C} olduğu için tanım kümesi 16 \le x \le 24 aralığıdır. Kritik nokta x = 20 olduğundan fonksiyon iki parçada yazılır:
- 16 \le x < 20 için x - 20 < 0 olduğundan g(x) = -(x - 20) = 20 - x
- 20 \le x \le 24 için x - 20 \ge 0 olduğundan g(x) = x - 20
Tablodaki değerler kontrol edildiğinde: x = 16 \implies g(16) = 4, x = 20 \implies g(20) = 0, x = 24 \implies g(24) = 4 bulunur ve tabloyla tam örtüşür.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
g(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki özelliklere sahip V şeklinde bir kırıklı çizgidir:
- Tanım Kümesi: [16, 24]
- Köşe (Minimum) Noktası: (20, 0)
- Uç Noktalar: (16, 4) ve (24, 4)
- Sol Parça: x \in [16, 20] aralığında (16, 4) noktasından başlayıp (20, 0) noktasına inen azalan doğru parçası (g(x) = 20 - x).
- Sağ Parça: x \in [20, 24] aralığında (20, 0) noktasından başlayıp (24, 4) noktasına çıkan artan doğru parçası (g(x) = x - 20).
Çözümün kontrolü: Parçalı fonksiyonun her iki kolunun x = 20 noktasındaki değeri 0’dır, dolayısıyla grafik (20,0) noktasında kesintisiz biçimde birleşir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 125 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 127 →