Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
e) f ve g fonksiyonlarının cebirsel ve grafiksel benzerliklerini, farklılıklarını gözlemleyiniz.
- Benzerlikler: Her iki fonksiyonun da en geniş tanım kümesi gerçek sayılar kümesidir (\mathbb{R}). Her iki fonksiyon da (0,0) orijin noktasından geçer. x \ge 0 olan bölgede (I. bölge) iki fonksiyonun cebirsel kuralı ve grafikleri tamamen çakışır (f(x) = g(x) = x).
- Farklılıklar: x < 0 için f(x) = x negatif değerler alırken g(x) = |x| = -x pozitif değerler alır. f fonksiyonunun görüntü kümesi \mathbb{R} iken g fonksiyonunun görüntü kümesi [0, \infty) aralığıdır. f(x) grafiği sürekli bir doğru iken g(x) grafiği orijinde kırılan V şeklinde bir grafiktir.
Soru 2
Kısa cevap
f) Gözlemlerinizden yola çıkarak g fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit ediniz ve Tablo 2’yi doldurunuz.
Tablo 2 — Fonksiyonların Nitel Özellikleri
- En Geniş Tanım Kümesi: f(x) = x için \mathbb{R} ; g(x) = |x| için \mathbb{R}
- Görüntü Kümesi: f(x) = x için \mathbb{R} ; g(x) = |x| için [0, \infty)
- Fonksiyonun Sıfırı: f(x) = x için x = 0 ; g(x) = |x| için x = 0
- Fonksiyonun İşareti: f(x) = x için x > 0 iken pozitif, x < 0 iken negatif ; g(x) = |x| için x \neq 0 iken daima pozitif, x = 0 iken 0
- Maksimum Noktası: f(x) = x için Yoktur ; g(x) = |x| için Yoktur
- Minimum Noktası: f(x) = x için Yoktur ; g(x) = |x| için (0, 0) noktası (en küçük değer 0)
- Bire Birliği: f(x) = x için Bire birdir ; g(x) = |x| için Bire bir değildir (örneğin g(-2) = g(2) = 2)
- Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar: f(x) = x için \mathbb{R} üzerinde daima artan ; g(x) = |x| için (-\infty, 0] aralığında azalan, [0, \infty) aralığında artandır.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
g) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak g mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
g(x) = |x| fonksiyonunun değeri x bağımsız değişkeninin işaretine göre iki farklı kural oluşturur. Mutlak değer tanımı gereği:
- x \ge 0 durumunda mutlak değerin içi pozitif veya sıfır olduğundan aynen çıkar: g(x) = x.
- x < 0 durumunda mutlak değerin içi negatif olduğundan işaret değiştirerek çıkar: g(x) = -x.
Bu iki durum birleştirildiğinde g(x) fonksiyonunun parçalı biçimi:
şeklinde elde edilir.
Soru 4
Kısa cevap
3. a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişkenin sıfıra eşit olduğunu bulunuz.
h(x) = -|x| fonksiyonunda bağımlı değişken y = h(x)'tir.
Bağımsız değişken x = 0 değeri için bağımlı değişken sıfıra eşit olur.
Soru 5
Kısa cevap
3. b) Bağımsız değişkenin hangi aralıktaki değerleri için bağımlı değişkenin aldığı değerlerin negatif veya pozitif olduğunu bulunuz.
Her x \in \mathbb{R} için |x| \ge 0 olduğundan h(x) = -|x| \le 0 olur.
- x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} (yani sıfır hariç tüm gerçek sayılar) için h(x) < 0 (negatif) değerler alır.
- Bağımlı değişken hiçbir x gerçek sayı değeri için pozitif olamaz.
Soru 6
Kısa cevap
3. c) Bağımlı değişkenin alabileceği en büyük veya en küçük değerin kaç olduğunu bulunuz.
Her x \in \mathbb{R} için -|x| \le 0 olduğundan h(x) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer x = 0 için h(0) = 0’dır. Fonksiyon alt sınır olmaksızın -\infty’a kadar küçüldüğü için en küçük değeri yoktur.
Soru 7
Kısa cevap
3. ç) Bağımsız değişkenin aldığı değerler artarken h fonksiyonunun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini belirleyiniz.
- (-\infty, 0] aralığında x değerleri arttıkça h(x) değerleri de artar (fonksiyon bu aralıkta artandır).
- [0, \infty) aralığında x değerleri arttıkça h(x) değerleri azalır (fonksiyon bu aralıkta azalandır).
Soru 8
Örnek cevap / çözüm yolu
3. d) Bağımsız değişkenin aldığı iki farklı değer için h fonksiyonunun aldığı değerler birbirinden farklı mıdır? Bu durumun bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerler için geçerli olup olmadığını açıklayınız.
Her zaman farklı değildir. Örneğin x_1 = -3 ve x_2 = 3 iki farklı bağımsız değişken değeridir ancak:
olduğundan h(-3) = h(3) = -3 bulunur. Bu durum tanım kümesindeki tüm değerler için geçerli değildir; dolayısıyla h fonksiyonu bire bir bir fonksiyon değildir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 121 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 123 →