Soru 1
Kısa cevap
m fonksiyonunun sıfırı x = \frac{2}{3}, y-keseni (0, \frac{1}{3}); n fonksiyonunun sıfırı x = 0, y-keseni (0, 0) noktasıdır. Her iki fonksiyonun da maksimum ve minimum değeri yoktur.
Çözüm adımları ve kontrol
-
m(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} fonksiyonu için:
- Sıfırı (x-keseni): m(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = 0 \implies \frac{1}{2}x = \frac{1}{3} \implies x = \frac{2}{3}. Grafik x eksenini (\frac{2}{3}, 0) noktasında keser.
- y-keseni: x = 0 \implies m(0) = \frac{1}{3}. Grafik y eksenini (0, \frac{1}{3}) noktasında keser.
- Maksimum/Minimum değerleri: Tanım kümesi \mathbb{R} ve görüntü kümesi (-\infty, \infty) olan doğrusal bir fonksiyon olduğu için maksimum ve minimum değeri yoktur.
-
n(x) = 6x fonksiyonu için:
- Sıfırı (x-keseni): n(x) = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0. Grafik x eksenini (0, 0) (orijin) noktasında keser.
- y-keseni: x = 0 \implies n(0) = 0. Grafik y eksenini (0, 0) noktasında keser.
- Maksimum/Minimum değerleri: Tanım kümesi ve görüntü kümesi \mathbb{R} olduğundan maksimum ve minimum değeri yoktur.
Soru 2
Kısa cevap
m(x) fonksiyonu \mathbb{R} üzerinde azalan, n(x) fonksiyonu ise \mathbb{R} üzerinde artandır.
Çözüm adımları ve kontrol
-
m(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} fonksiyonu:
- Doğrusal fonksiyonun eğimi a = -\frac{1}{2}'dir.
- Eğim negatif (a < 0) olduğu için m(x) fonksiyonu tüm gerçel sayılar kümesinde (\mathbb{R}) azalandır.
-
n(x) = 6x fonksiyonu:
- Doğrusal fonksiyonun eğimi a = 6’dır.
- Eğim pozitif (a > 0) olduğu için n(x) fonksiyonu tüm gerçel sayılar kümesinde (\mathbb{R}) artandır.
Soru 3
Kısa cevap
Her iki fonksiyon da (m ve n) bire birdir.
Çözüm adımları ve kontrol
-
m(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} fonksiyonu:
- Tanım kümesindeki her farklı x elemanının görüntüsü de farklıdır (a \neq b \implies m(a) \neq m(b)).
- Grafik üzerindeki tüm yatay doğrular grafiği en fazla tek bir noktada kestiği için m(x) bire birdir.
-
n(x) = 6x fonksiyonu:
- Sabit olmayan her doğrusal fonksiyon gibi tanım kümesindeki farklı elemanları farklı görüntülere eşler.
- Dolayısıyla n(x) fonksiyonu da bire birdir.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Artanlık-azalanlık ve bire birlik özellikleri tanım bağıntıları kullanılarak cebirsel olarak doğrulanmıştır.
Çözüm adımları ve kontrol
-
Artanlık ve Azalanlığın Cebirsel Doğrulanması:
-
m(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} için azalanlık kanıtı:
Her a, b \in \mathbb{R} için a < b olsun.
Eşitsizliğin her iki tarafı -\frac{1}{2} ile çarpılırsa yön değiştirir:
-\frac{1}{2}a > -\frac{1}{2}b
Her iki tarafa \frac{1}{3} eklenirse:
-\frac{1}{2}a + \frac{1}{3} > -\frac{1}{2}b + \frac{1}{3} \implies m(a) > m(b)
a < b iken m(a) > m(b) elde edildiğinden m fonksiyonu azalandır. -
n(x) = 6x için artanlık kanıtı:
Her a, b \in \mathbb{R} için a < b olsun.
Eşitsizliğin her iki tarafı 6 ile çarpılırsa yön korunur:
6a < 6b \implies n(a) < n(b)
a < b iken n(a) < n(b) elde edildiğinden n fonksiyonu artandır.
-
-
Bire Birliğin Cebirsel Doğrulanması:
-
m(x) için bire birlik kanıtı:
m(a) = m(b) varsayılsın.
-\frac{1}{2}a + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}b + \frac{1}{3}
Her iki taraftan \frac{1}{3} çıkarılır: -\frac{1}{2}a = -\frac{1}{2}b
Her iki taraf -2 ile çarpılır: a = b
m(a) = m(b) \implies a = b sağlandığı için m fonksiyonu bire birdir. -
n(x) için bire birlik kanıtı:
n(a) = n(b) varsayılsın.
6a = 6b
Her iki taraf 6’ya bölünür: a = b
n(a) = n(b) \implies a = b sağlandığı için n fonksiyonu bire birdir.
-
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
f:[0, 40] \rightarrow [0, 8], f(x) = -0,2x + 8 fonksiyonunun grafiği, (0, 8) noktası ile (40, 0) noktasını birleştiren doğru parçasıdır.
Çözüm adımları ve kontrol
- Eksenleri Kestiği Noktalar:
- y-keseni (x = 0 için): f(0) = -0,2(0) + 8 = 8 \implies (0, 8) noktası.
- x-keseni (f(x) = 0 için): -0,2x + 8 = 0 \implies 0,2x = 8 \implies x = 40 \implies (40, 0) noktası.
- Grafik Çizimi:
- Yatay eksen zamanı x (dakika), düşey eksen derişim miktarını f(x) (mol/kg) temsil eder.
- Tanım kümesi [0, 40] aralığında olduğundan grafik (0, 8) noktasından başlayıp (40, 0) noktasında sonlanan azalan bir doğru parçasıdır.
Soru 6
Örnek cevap / çözüm yolu
İlacın vücuttaki derişim miktarı zaman ilerledikçe sabit bir oranla azalmaktadır.
Çözüm adımları ve kontrol
- Grafiğin Yorumlanması:
- Grafiğin eğimi m = -0,2’dir. Bu değer, geçen her 1 dakikada derişim miktarının 0,2 mol/kg azaldığını gösterir.
- Değişimin Açıklaması:
- x = 0 anında derişim en yüksek seviyesi olan 8 mol/kg değerindedir.
- Zaman ilerledikçe derişim doğrusal olarak düşer ve 40. dakikada 0 mol/kg seviyesine inerek tamamlanır.
Soru 7
Kısa cevap
İlacın etkisinin tamamen kaybolması için gereken zaman 40 dakikadır.
Çözüm adımları ve kontrol
- Denklemin Kurulması:
- İlacın etkisinin tamamen kaybolması, derişim miktarının sıfıra eşit olması demektir (f(x) = 0).
- Hesaplama:
- f(x) = -0,2x + 8 = 0
- 0,2x = 8
- x = \frac{8}{0,2} = 40 dakika bulunur.
- Kontrol:
- x = 40 değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(40) = -0,2(40) + 8 = -8 + 8 = 0 elde edilir ve eşitlik doğrulanır.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 117 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 119 →